2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:11 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Последнее равенство, где $p/q:=q, \pi:=x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Ну пусть так. Теперь возьмем $x=p\pi/q$. Только напишите результат полностью, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:18 
Аватара пользователя


04/06/14
593
А почему нельзя сделать так, как я сделал в прошлом посту?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Там не очень понятно написано, но Вам же многочлен нужен, поэтому дробных степеней лучше избегать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:33 
Аватара пользователя


04/06/14
593
$\sin qp\pi/q=\operatorname{Im}(\cos^{q-1} (p\pi/q) i\sin (p\pi/q) +...+i^{q}\sin^{q} (p\pi/q))=\cos^{q-1} (p\pi/q) \sin (p\pi/q) +\operatorname{Im}(...+i^{q}\sin^{q} p\pi/q)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
В каких степенях в правую часть входит $\cos p\pi/q$, если предположить, что $q$ --- нечетное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:52 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Пусть $q$ нечетное, тогда косинус входит в степенях: $q-1, q-3, ...,2 $.
Пусть $q$ четное, тогда $q-1, q-3, ..., 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Иначе говоря, при нечетном $q$ степени косинуса четные. Нам надо, чтобы был многочлен только от синуса. Как этого достичь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 23:02 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Либо мне не нужно суваться в область исследования алгебраических и трансцендетных чисел, либо я не соображаю, т.к. у меня уже 3 часа ночи)
У нас p и q по сути любые целые, нужно, чтобы при косинусах были нулевые степени, тогда как нужно изменять q в зависимости от всех степеней одновременно? Пока нет идей. Или использовать как-то тригонометрические тождества так, чтобы сумма из произведений синусов и косинусов преобразовалась в функцию от синуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Да, основное тождество используйте, благо степени четные.
Наверное, лучше на свежую голову Вам разбираться.
Нужно:
1. Предъявить многочлен, корнем которого будет $\sin p\pi/q$.
2. Показать, что его коэффициенты рациональны.
3. Показать, что старший коэффициент не равен нулю.
Пока для нечетного $q$. Потом подумайте, что с четным делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 23:12 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Спасибо.
Подумаю.
Отпишусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6740
Для простоты разбирательства можно для начала считать, что $p=1$. Заодно и записывать проще будет.

(А можно и не считать, тогда если получится, то все сразу. :D )

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 23:16 


04/06/12
393
Есть известный факт о том, что $\sin (nx) = P(\sin x)$ для нечетных $n$. Не следует ли сразу отсюда алгебраичность числа $\sin \left(\dfrac{p\pi}{q}\right)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Terraniux
ТС этот факт неизвестен и мы этот $P$ как раз пытаемся получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 08:24 
Аватара пользователя


04/06/14
593
$\sin q(p\pi/q)=q\cos^{q-1} (p\pi/q) \sin (p\pi/q) -q!3!^{-1}(q-3)!^{-1}\cos^{q-3} (p\pi/q) \sin (p\pi/q)+...+\sin^q (p\pi/q)$
Вся сложность в чередовании знаков слагаемых, да и биноминальные коэффициенты "мешаются". Как бы всё это свернуть. Хотя здесь мы и получили тот факт, что $\sin(q p\pi/q)=P(\sin p\pi/q)$.
У нас та $q$, что в биноминальных коэффициентах и в степени (неудачное обозначение) не есть та $q$, что в аргументе вообще говоря, значит при нечетном $q(=n)$ получаем то, что требовалось (пользуясь обозначением Terraniux).

-- 06.01.2015, 09:35 --

Но нужно еще доказать, что $P(\sin p\pi/q)=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group