2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 08:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
Не нужно пока ничего. Обозначьте $\pi p/n=x$, Вам не надоело его таскать? (букву в знаменателе сменила нарочно).
И докажите утверждение Terraniux для $n=3$. Сперва как можете, потом с помощью формулы Муавра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 08:59 
Аватара пользователя


04/06/14
580
Выше доказано для любых нечетных n.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
Где? что-то не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:07 
Аватара пользователя


04/06/14
580
Поправил.
$\sin n(p\pi/q)=n\cos^{n-1} (p\pi/q) \sin (p\pi/q) -n!3!^{-1}(n-3)!^{-1}\cos^{n-3} (p\pi/q) \sin (p\pi/q)+...+\sin^n (p\pi/q)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
Но Вы же видите, что справа нет многочлена от синуса в таком виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:10 
Аватара пользователя


04/06/14
580
Нету. Просто показал, что верно утверждение "для нечетных n верно $\sin nx=P(sin x)$

-- 06.01.2015, 10:12 --

$\sin q(p\pi/n)=q\cos^{q-1} (p\pi/n) \sin (p\pi/n) -q!3!^{-1}(q-3)!^{-1}\cos^{q-3} (p\pi/n) \sin (p\pi/n)+...+\sin^q (p\pi/n)$

-- 06.01.2015, 10:12 --

Переобозначил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
Ладно, если Вы понимаете, почему справа многочлен именно от синуса, а не полином от синуса и косинуса, то Бога ради. Выполняйте теперь программу от ex-math, эту, из трех пунктов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:17 
Аватара пользователя


04/06/14
580
Нет, походу так и не понял.

-- 06.01.2015, 10:18 --

А, понял о чём вы. Косинус в точках $p\pi$.

-- 06.01.2015, 10:20 --

Но мне непонятно, что это даёт. Вроде бы тривиально, а вроде и нет. Ну есть факт, что $\sin nx=P(\sin x)$, но как отсюда следует, что $\sin nx$ алгебраическое?

-- 06.01.2015, 10:22 --

Понятно, что коэффициенты рациональные (биноминальные коэффициенты), умноженные на $\pm1$, и что главный член отличен от 0 тоже очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
maximk в сообщении #957134 писал(а):
Косинус в точках $p\pi$.

Почему в таких?
maximk в сообщении #957134 писал(а):
Но мне непонятно, что это даёт. Вроде бы тривиально, а вроде и нет. Ну есть факт,

Не, я не согласна дальше, пока мы этот факт полностью для себя не установим.
...
Я ж Вам говорю, докажите, что $\sin \frac\pi 5$ - алгебраическое число, не прибегая к его явному виду. Станет яснее, что и зачем.
Неважно как, с помощью того, что выше, без этой помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:36 
Аватара пользователя


04/06/14
580
Потому что, то рассматривали $\sin (n p\pi/q)$ при n=q.

$\sin q(\pi/5)=q\cos^{q-1} (\pi/5) \sin (\pi/5) -q!3!^{-1}(q-3)!^{-1}\cos^{q-3} (\pi/5) \sin (\pi/5)+...+\sin^q (\pi/5)$. Это имеем при $p=1, n=5$. И опять путаница, непонимание остаётся вне зависимости от того, общий случай или нет. По-моему в общем случае даже попроще будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
У Вас $q$ то в числителе, то в знаменателе. :(
maximk в сообщении #957138 писал(а):
$\sin q(\pi/5)=q\cos^{q-1} (\pi/5) \sin (\pi/5) -q!3!^{-1}(q-3)!^{-1}\cos^{q-3} (\pi/5) \sin (\pi/5)+...+\sin^q (\pi/5)$

И что тут можно сделать, чтобы осталось уравнение, зависящее только от $\sin (\pi/5)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 09:57 
Аватара пользователя


04/06/14
580
Пока не вижу.

-- 06.01.2015, 10:58 --

В данном случае использовал последнюю запись в общем виде.
Биноминальные коэффициенты и степени сбивают с толку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 10:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
не сюда

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6460
Вам никакие степени с коэффициентами не должны мешать. Это необходимый атрибут многочлена. Что мешает, чтобы все уравнение было уравнением именно от нужного синуса и только от него?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение06.01.2015, 10:09 
Аватара пользователя


04/06/14
580
А, понял. Осталось догадаться, почему $\cos (p\pi/q)$ рациональное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group