Инвариантность размерности пространства

[arseniiv]

(Оффтоп)

Я вот тоже уже не понял, о чём вы теперь спрашиваете…

[_hum_]

arseniiv
Грубо говоря, я пытаюсь понять, почему наше пространство называют трехмерным. Аргументы типа - из аксимоатики геометрии следует, что оно является трехмерным линейным не совсем подходят, потому что формально любое линейное пространство одной размерности я могу переделать в линейное пространство другой размерности, например, просто тупо используя биективность. Вопрос, что же все-таки такое при этом потеряется, что не позволяет считать такой способ приемлемым (что среди всех возможных структур выделяет именно структуры трехмерного линейного пространства)?
Как вариант я рассматриваю требование, чтобы такая биекция была непрерывной. В этом случае, действительно, тогда нельзя будет ввести структуру линейного пространства другой размерности.

[Oleg Zubelevich]

_hum_ в сообщении #907368 писал(а):

Грубо говоря, я пытаюсь понять, почему наше пространство называют трехмерным.

считать, что наше пространство это $\mathbb{R}^3$ это просто математическая модель, которая хорошо работает в ряде физических теорий.

[_hum_]

Oleg Zubelevich в сообщении #907369 писал(а):

Берем два линейных пространства $\mathbb{R}$ и $C[a,b]$. Между ними существует биекция, однако первое пространство одномерно, а второе континуально-мерно. Еще вопросы есть?

Да нет же! Меня интересует совсем другая сторона вопроса: в каких случаях (для какого класса отображений) биективность между множествами разной алгебраической размерности принципиально невозможна.
Например, я могу сказать, что в вашем приведенном случае невозможно, чтобы биекция обладала свойством непрерывности (в обе стороны), потому как при гомеоморфизме алгебраическая размерность сохраняется.
Вопрос: есть ли какие-то более общие свойства линейных пространств и отображений, которые позволяли бы делать подобные заключения (что если отображение биективно, и у него есть это свойство, то размерность должна сохраняться)?

-- Сб сен 13, 2014 18:55:30 --

Oleg Zubelevich в сообщении #907370 писал(а):

считать, что наше пространство это $\mathbb{R}^3$ это просто математическая модель, которая хорошо работает в ряде физических теорий.

Это не ответ. Точнее, ответ чистого математика :)

[Someone]

Топологическая теория размерности:
П.С.Александров, Б.А.Пасынков. Введение в теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.

Вообще, топологическое понятие размерности вводилось так, чтобы для пространств $\mathbb R^n$ топологическая размерность совпадала с алгебраической. И действительно совпадает.

Поэтому не надо говорить, что размерность никак не связана с непрерывностью.

Подробности ищите в указанной книге.

Что касается алгебраически $n$-мерных пространств над полем действительных чисел, то здесь есть два замечательных факта:
1) для каждого $n$ существует только одно (с точностью до изоморфизма) алгебраически $n$-мерное линейное пространство над полем действительных чисел (доказывается в курсе линейной алгебры на первом курсе);
2) на этом пространстве существует только одна топология, совместимая с алгебраической структурой (о чём Вам уже писали), и основные топологические размерности для этой топологии равны $n$.

_hum_ в сообщении #907296 писал(а):

Меня интересует не "тогда", а "только тогда сохраняет".

_hum_ в сообщении #907371 писал(а):

Например, я могу сказать, что в вашем приведенном случае невозможно, чтобы биекция обладала свойством непрерывности (в обе стороны), потому как при гомеоморфизме алгебраическая размерность сохраняется.
Вопрос: есть ли какие-то более общие свойства линейных пространств и отображений, которые позволяли бы делать подобные заключения (что если отображение биективно, и у него есть это свойство, то размерность должна сохраняться)?

То есть, необходимое условие, когда биекция сохраняет размерность? Это безнадёжная задача. Никто Вам сколько-нибудь общее условие не сформулирует. Можно взять два совершенно произвольных пространства одинаковой мощности и одинаковой размерности и устроить между ними какую угодно биекцию. Что можно сказать о ней содержательного? Да ничего.

[Oleg Zubelevich]

_hum_ в сообщении #907371 писал(а):

Это не ответ. Точнее, ответ чистого математика :)

боюсь, что другого ответа Вы на научном форуме не получите. На эзотерическом, может быть

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #907368 писал(а):

Аргументы типа - из аксимоатики геометрии следует, что оно является трехмерным линейным не совсем подходят, потому что формально любое линейное пространство одной размерности я могу переделать в линейное пространство другой размерности, например, просто тупо используя биективность.

Нельзя переделать линейное пространство в пространство другой размерности, сохранив структуру линейного пространства. Можно переделать только множества их точек.
То есть как просто множества точек трехмерное пространство и одномерное равномощны, но как только мы задали структуру линейного пространства, эти структуры у трехмерного и одномерного пространств разные, их нельзя переделать друг в друга. Потому что у них разная размерность - в одномерном пространстве любые два вектора пропорциональны друг другу, а в трехмерном - нет.
Точно так же, если мы рассматриваем обычную топологию на прямой и в трехмерном пространстве, эти топологии нельзя перевести друг в друга взаимно однозначным и непрерывным в обе стороны отображением.

[_hum_]

Xaositect, так а кто сказал, что структуру надо сохранять? Я же и пытаюсь понять, почему нельзя так делать. Ну, что из того, что то, что было в исходной структуре параллельно,в новой перестанет быть таковым? Зато вместо трех координат у меня станет одна.
Может, дело в том, что при разрывной биекции перестает работать геометрическая аксиома непрерывности, а значит, весь матанализ идет коту под хвост?

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #907378 писал(а):

Xaositect, так а кто сказал, что структуру надо сохранять?

Вы написали "линейное пространство". Линейное пространство - это множество со структурой. Если в какой-то задаче структура не важна, то ее можно не сохранять, и с точки зрения этой задачи $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^3$ отличаться не будут (если какая-то другая структура не будет нужна), но и называть их линейными пространствами в этом случае не надо.

[_hum_]

Xaositect, линейная структура важна в каждом отдельном пространстве, но ее согласованность между ними не принципиальна. Я же говорил, смысл в том, что зачем мне "носить с собой" три координаты расположения клада - я просто все это закодирую одним числом (перейду из $R^3$ в $R$), а потом, когда понадобится все-таки клад откопать, вернусь обратно - восстановлю эти три числа и, пользуясь декартовой системой отсчета, найду клад.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #907378 писал(а):

Я же и пытаюсь понять, почему нельзя так делать. Ну, что из того, что то, что было в исходной структуре параллельно,в новой перестанет быть таковым? Зато вместо трех координат у меня станет одна.

Зато расстояния не получатся такие, какие вы намеряли. И это ну просто очевидно. (Разумеется, математика не запретит вам использовать неподходящую модель, потому что ей безразлично. Вы не найдёте математического обоснования, почему трёхмерное пространство подходит для описания чего-то там в мире (а для чего-то другого лучше двумерное подходит, или четырёхмерное, или восьми-).)

_hum_ в сообщении #907378 писал(а):

а значит, весь матанализ идет коту под хвост?

Да дался вам этот матанализ. Это всего лишь приятное дополнение.

Аргументы начинают повторяться (если взять три темы, а не только эту) во второй-третий раз. Такое ощущение, что вы ветвите темы в надежде получить в ответ что-нибудь новое.

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #907385 писал(а):

Я же говорил, смысл в том, что зачем мне "носить с собой" три координаты расположения клада - я просто все это закодирую одним числом (перейду из $R^3$ в $R$), а потом, когда понадобится все-таки клад откопать, вернусь обратно - восстановлю эти три числа и, пользуясь декартовой системой отсчета, найду клад.

Ну и получится у Вас то же самое $\mathbb{R}^3$, только неудобно записанное.

Давайте рассмотрим три линейных пространства:
1. Множество векторов - $\mathbb{R}$, операции сложения и умножения на скаляр - обычное сложение и умножение действительных чисел.
2. Множество векторов - $\mathbb{R}^3$, операции сложения и умножения на скаляр - сложение и умножение векторов ($(x_1,x_2,x_3) + (y_1, y_2, y_3) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$, $\lambda (x_1, x_2, x_3) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3)$)
3. Множество векторов - $\mathbb{R}$, операции сложения и умножения заданы с помощью распаковки чисел в векторы, операций с векторами, и упаковки вектора обратно: $x + y = T_{3\to1}(T_{1\to3}(x) + T_{1\to3}(y))$, $\lambda x = T_{3\to1}(\lambda T_{1\to3}(x))$, где $T_{1\to3}$, $T_{3\to1}$ - биекция между $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^3$.

Так вот, третье пространство трехмерно, несмотря на то, что его точка задается одним числом. Потому что структура у второго и третьего пространств одна и та же, просто обозначения точек разные.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #907388 писал(а):

Зато расстояния не получатся такие, какие вы намеряли. И это ну просто очевидно.

Кто мешает ввести на $R$ метрику, индуцированную из $R^3$?

-- Сб сен 13, 2014 19:40:58 --

Xaositect, в таком варианте, как Вы предложили, конечно, получится $R$ с индуцированной из $R^3$ структурой трехмерного пространства. Но для похода за кладом мне не нужно это индуцирование :) Хотя, конечно, Вы правы в том, что если я все равно возвращаюсь в $R^3$, чтобы воспользоваться декартовой системой (то есть, линейной структурой), то фактически я от нее и не отказывался.

Я так понимаю, можно говорить о том, что только трехмерная структура естественно согласована с геометрией нашего пространства (с аксиоматикой геометрии) в том смысле, что только в ней абстрактные объекты напрямую соответствуют "осязаемым" в реальности, как то, прямой, плоскости, отрезку и т.п., без чего ориентирование в реальном физическом пространстве невозможно. Так?

[arseniiv]

Это зависит от того, что вы понимаете под «напрямую». Одному, может, будет напрямую, а другому объяснять полгода.

-- Сб сен 13, 2014 22:10:30 --

_hum_ в сообщении #907393 писал(а):

без чего ориентирование в реальном физическом пространстве невозможно

Ну возможно же. Вот, между прочим, даже евклидова плоскость не ориентирована (ориентацию надо вводить отдельно), а поверхность Земли (это уже погрузились в модель) ориентирована, и никаких координат не нужно, чтобы отличить верх и низ. Далее, мы и многое вокруг нас асимметричны, потому при наличии верха-низа начинаем отличать и лево-право. Измерять расстояния и углы, которые неоднократно упоминал Someone, мы тоже умеем. Задолго до изобретения координат люди пользовались только этими вещами и, о ужас, находили свой дом после довольно далёких путешествий.

-- Сб сен 13, 2014 22:11:56 --

И всё это без точек, прямых и координат. С довольно простой моделью. А если модель уточнять, то надо идти дальше трёхмерного пространства и даже дальше четырёхмерного пространства-времени.

[Munin]

_hum_ в сообщении #907368 писал(а):

Грубо говоря, я пытаюсь понять, почему наше пространство называют трехмерным.

Грубо говоря, потому что сначала кирпичи кладут один за другим в ряд, потом эти ряды один за другим, и наконец, в высоту.

(Oleg Zubelevich в этом легко узнает алгебраическую размерность.)