Еще, вроде бы я об этом забыл сказать, была у меня раньше такая мысль по этой задаче. Когда мы восстанавливаем указанным мною ранее способом элементы групп по их алгебрам, то применяя эту операцию к обоим частям равенства:
![$$\widetilde{T}(1+\varepsilon B) = 1+\varepsilon f(B)$$ $$\widetilde{T}(1+\varepsilon B) = 1+\varepsilon f(B)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/f/25f51c8d714e15c3b20c4453de4296eb82.png)
мы получаем справа все элементы группы
![$SU(2)$ $SU(2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/8/3185b11ae139ce51dd16473653fe911382.png)
, а слева все возможные операторы вида
![$\widetilde{T}(R)$ $\widetilde{T}(R)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/9/6d94b8d9befafdcdccdcae45d88cde0182.png)
, где
![$R \in SO(3)$ $R \in SO(3)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/3/2b37bfc568216f57838c2dc6b6e77d7c82.png)
. Дальше я хочу сказать вот, что: в группе
![$SO(3)$ $SO(3)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/2/e321ed13231c25efccaf7d291cd69d0382.png)
"в два раза меньше" элементов чем в группе
![$SU(2)$ $SU(2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/8/3185b11ae139ce51dd16473653fe911382.png)
– каждому
![$R \in SO(3)$ $R \in SO(3)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/3/2b37bfc568216f57838c2dc6b6e77d7c82.png)
соответствует пара
![$U,-U \in SU(2)$ $U,-U \in SU(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/4/8b419660f9d521ab272551c7fcc7f47282.png)
. Поэтому и различных операторов
![$\widetilde{T}(R)$ $\widetilde{T}(R)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/9/6d94b8d9befafdcdccdcae45d88cde0182.png)
в левой части будет "в два раза меньше", чем различных матриц
![$U$ $U$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/a/6bac6ec50c01592407695ef84f45723282.png)
в правой части. Поэтому для того, чтобы это равенство сохранялось нужно допустить неоднозначность отображения
![$\widetilde{T}$ $\widetilde{T}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/b/d7bc0015581a5cd3264f6c127a65f47782.png)
, чего допустить нельзя по определению представления. Думаю, идея понятна. Конечно, нельзя говорить "в два раза меньше", учитывая, что мы имеем дело с бесконечными группами. Можно даже привести пример такой же ситуации когда многозначность отображения не требуется: счетность множества целых чисел без нуля. Но возможно здесь есть какие-то ограничения, которые такое не разрешат.
-- 31.07.2014, 14:46 --Нет, например, в ваших алгебрах возможны циклические перестановки трёх базисных векторов.
Насчет перестановок уже заметил. Умножение одного или двух элементов базиса на
![$-1$ $-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/1/e11a8cfcf953c683196d7a48677b227782.png)
тоже не меняет структурных констант. Вообще посмотрел на возможные решения системы уравнений для
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
, получающейся из условия сохранения коммутации при равных структурных константах в двух алгебрах: похоже, что все-таки есть бесконечное число возможных
![$\alpha_{ij}$ $\alpha_{ij}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/7/8175b4b012861c57d7f99a503fdcaa7282.png)
при которых
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
будет изоморфизмом алгебр.
Кстати, ни циклические перестановки, ни умножение на
![$-1$ $-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/1/e11a8cfcf953c683196d7a48677b227782.png)
для нас несущественны: в том месте, что нас интересует, коэффициенты
![$\gamma_i$ $\gamma_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/2/9925e4d3a0486c8d876c6c8eec9e256d82.png)
входят только в виде суммы квадратов
![$\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2$ $\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/9/dc9f4dd84a6ea81cf45a2fbbff68b74082.png)
.