В том-то и проблема здесь, что этот изоморфизм полагается произвольным, т.е
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
может быть каким угодно.
Вы уверены в этом? Это же изоморфизм алгебр Ли, а не просто векторных пространств.
Недавно я начал в этом сильно сомневаться. Ну понятно, что оно не может быть совершенно произвольным, должны сохраняться операции алгебры и все такое. Но я думал, что это не налагает никаких серьезных ограничений на выбор
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
. Фактически я считал, что если положить изоморфизм
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
следующим:
![$f(B)=A \Rightarrow b_i=\alpha_{ij}a_j$ $f(B)=A \Rightarrow b_i=\alpha_{ij}a_j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/a/c3acda18a1654c157c4aaae8c70262bd82.png)
то выбрать коэффициенты
![$\alpha_{ij}$ $\alpha_{ij}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/7/8175b4b012861c57d7f99a503fdcaa7282.png)
можно далеко не единственным способом.
Я изменил свое мнение вот почему. Я посмотрел на общие решения уравнений:
,где
![$A=\gamma_ia_i, a_i$ $A=\gamma_ia_i, a_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fe28f7afdfe7d2f6bbc6268d764feba82.png)
–элементы базиса алгебры
![$su(2)$ $su(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/c/4bc108662b0d03063d0d998efd96b62482.png)
,
![$B=\gamma_ib_i, b_i$ $B=\gamma_ib_i, b_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/f/cdf0524c2537453316c398b5fd6a4b8382.png)
–элементы базиса алгебры
![$so(3)$ $so(3)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277a7422da5a3983fbe4e53c68333e9682.png)
. Так вот, при любых коэффициентах
![$\gamma_i$ $\gamma_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/2/9925e4d3a0486c8d876c6c8eec9e256d82.png)
получается, что для
![$t_0=\pi/\sqrt{(\gamma_1)^2+(\gamma_2)^2+(\gamma_3)^2}$ $t_0=\pi/\sqrt{(\gamma_1)^2+(\gamma_2)^2+(\gamma_3)^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/2/9124a2376ebaf81b98d33519be80fba882.png)
:
![$$R(0)=R(2t_0)=1, U(0)=1, U(t_0)=-1$$ $$R(0)=R(2t_0)=1, U(0)=1, U(t_0)=-1$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/5/b75c888cf3e3fc8e4854e182026b3b9382.png)
Если теперь удастся показать, что коэффициенты
![$\gamma_i$ $\gamma_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/2/9925e4d3a0486c8d876c6c8eec9e256d82.png)
должны браться с весом
![$\pm2$ $\pm2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6ed115a5fad942e83a66f780529ebd9d82.png)
(тогда получится
![$R(t_0)=1$ $R(t_0)=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/a/59a18a0a251e72d5305ca53baa82d60182.png)
) для кривых из группы
![$SO(3)$ $SO(3)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/2/e321ed13231c25efccaf7d291cd69d0382.png)
, то задача будет решена. Вот пробую сейчас показать, что в ином виде изоморфизм не может быть задан. Еще один момент: соотношения
![$R(2t_0)=1, U(t_0)=-1$ $R(2t_0)=1, U(t_0)=-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/9/fa9079791c268dc2a9a70d075253b6a282.png)
сохраняются при любых перестановках коэффициентов
![$\gamma_i$ $\gamma_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/2/9925e4d3a0486c8d876c6c8eec9e256d82.png)
.
И еще. Я тут говорю про вес
![$\pm2$ $\pm2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6ed115a5fad942e83a66f780529ebd9d82.png)
– он появляется из-за того, что изначально выбраны два базиса со структурными константами отличающимися в 2 раза. Если выбрать базисы с равными структурными константами, то эта двойка не нужна и получается
![$R(t_0)=1, U(t_0)=-1$ $R(t_0)=1, U(t_0)=-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/3/5339ccb379f93de9ea341da6f05e31c882.png)
.
-- 31.07.2014, 11:39 --В принципе, если посмотреть несколько с иной стороны, полагая просто, что в алгебрах выбраны два каких-то базиса, между которыми ставится соответствие, т.е. изоморфизм
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
таков:
![$f(B)=A \Rightarrow b_i=a_i$ $f(B)=A \Rightarrow b_i=a_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/d/81d264bb144d38764688949793b5ca1182.png)
, то отсюда сразу следует, что структурные константы в этих базисах должны совпадать. Но тогда такой вопрос: единственным ли образом можно получить в алгебре базис с какими-то заданными структурными константами? Мне кажется, что нет.
Просто соотношения
![$R(t_0)=1, U(t_0)=-1$ $R(t_0)=1, U(t_0)=-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/3/5339ccb379f93de9ea341da6f05e31c882.png)
я получил только для одной конкретной пары базисов.