2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение29.07.2014, 19:48 


12/02/14
808
_Er в сообщении #891535 писал(а):
Или сразу такой вопрос: за счет чего можно получить отсутствие изоморфизма у групп, восстановленных по изоморфным алгебрам, в этом конкретном случае (т.е. для групп $SO(3)$ и $SU(2)$)?
У $SO(3)$ центр тривиальный, а у $SU(2)$ -- нет. $SU(2)$ односвязна, т.е. любая петля стягивается в точку, т.к. эта группа изоморфна группе единичных кватернионов, которая гомеоморфна трёхмерной сфере, а $SO(3)$ неодносвязна, т.к. она гомеоморфна трёхмерному проективному пространству, т.е. пространству проходящих через начало прямых в 4-мерном пространстве; например петля, соответствующая повороту какой-нибудь из этих прямых на 180 градусов, в точку не стягивается, т.к. она поднимается в незамкнутый путь в $SU(2)$. Точно так же, петля в $SO(3)$, соответствующая повороту на 360 градусов, в точку не стягивается, т.к. она поднимается в дугу большого круга в $SU(2)$, соединяющую $1$ и $-1$.

Собственно говоря, в этом и причина того, что частицы со спином половина -- фермионы.

-- 29.07.2014, 13:42 --

Посмотрите ещё вот эту заметку: post870877.html#p870877

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение29.07.2014, 23:25 


24/07/14
138
mishafromusa в сообщении #891552 писал(а):
_Er в сообщении #891535 писал(а):
Или сразу такой вопрос: за счет чего можно получить отсутствие изоморфизма у групп, восстановленных по изоморфным алгебрам, в этом конкретном случае (т.е. для групп $SO(3)$ и $SU(2)$)?
У $SO(3)$ центр тривиальный, а у $SU(2)$ -- нет. $SU(2)$ односвязна, т.е. любая петля стягивается в точку, т.к. эта группа изоморфна группе единичных кватернионов, которая ...
Еще раз напишу: я в группах последнее дно, знаком с ними недавно. Геометрия, которую вы здесь рассказываете, мне слабо представляется, потому что я с вещами, о которых вы пишете, еще не сталкивался. Вы скинули ссылку на литературу: в том списке есть глава 3 из книги Рубакова – так вот это все, что я знаю о группах и алгебрах ли (и о группах вообще). То что вы здесь пишете, я, к сожалению, воспринимаю лишь как повторение того факта, что $SU(2)/Z_2=SO(3)$, о чем здесь уже много раз было написано.

Я немного поясню и уточню свой вопрос. У нас есть две изоморфные алгебры. Т.е. между их элементами можно установить однозначное соответствие. Я указал способ, по которому вроде бы можно восстановить по алгебре все элементы соответствующей ей группы. При таком восстановлении мы интегрируя по $t$ получаем кривые $U(t) \in SU(2)$ и $R(t) \in SO(3)$. Из изоморфизма алгебр следует, что между каждой парой таких кривых можно поставить некоторое соответствие. Так вот задача состоит в том, чтобы показать, что такое соответствие не будет взаимооднозначным. Раньше я говорил об изоморфизме, когда формулировал процитированный вами вопрос. Но, я думаю, достаточно просто показать, что такое соответствие не будет взаимооднозначным. Пример того, что я хотел бы получить я написал раньше:
_Er в сообщении #891535 писал(а):
для этих кривых должно получиться при некоторых $t_1,t_2$ следующее:
$U(t_1)=U_0, U(t_2)=-U_0=-U(t_1)$
$R(t_1)=R_0, R(t_2)=R_0$
По поводу литературы, что вы скинули. К сожалению, уже поздно: я итак слишком много времени потратил на разборки с этими группа Ли (фактически на 3 задачи из книги). У меня еще целая бочка литературы и я полагаю, что разумнее будет заняться ей. Единственное что, так это вот эта задача про представления – я слишком много времени потратил на нее чтобы просто так взять и кинуть. Поэтому периодически буду о ней вспоминать еще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение30.07.2014, 00:02 


12/02/14
808
Если Вы не разберетесь хотя бы с $SU(2)$, $SO(3)$ и их топологией и связью с кватернионами, то вся остальная бочка литературы будет Вам не впрок. В качестве примера кривых, которые Вас интересуют, можно взять поворот на 360 градусов и его связный прообраз в $SU(2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение30.07.2014, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
mishafromusa в сообщении #891647 писал(а):
связью с кватернионами

Это лесом и в мусор. Незачем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение30.07.2014, 01:54 


12/02/14
808
Кватернионы существенно упрощают всю эту тематику и придают ей наглядный геометрический смысл. Можно конечно и без них, но это затуманивает суть дела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение30.07.2014, 09:27 


24/07/14
138
mishafromusa в сообщении #891647 писал(а):
вся остальная бочка литературы будет Вам не впрок
Литература не только по группам. И я полагаю, что того я уже узнал по ним, будет достаточно.

mishafromusa в сообщении #891647 писал(а):
их топологией и связью с кватернионами.
Вот этим я сейчас точно не собираюсь заниматься. Просто потому, что ни с топологией, ни с кватернионами еще не сталкивался. Учитывая объем запланированной работы и то, что до конца лета остался какой-то жалкий месяц и потом нужно будет заниматься уже другими вещами, думаю, было бы большой ошибкой сосредоточить все силы и потратить все время на то, чтобы разобрать какие-то проблемы связанные с группами Ли. Рубаков меня заверил в начале книги, что того, что он написал в 3-й главе, будет достаточно для нормального понимания остального материала книги. Кроме Рубакова у меня еще есть другая литература, в которой все эти группы в принципе не используются.

mishafromusa в сообщении #891647 писал(а):
В качестве примера кривых, которые Вас интересуют, можно взять поворот на 360 градусов и его связный прообраз в $SU(2)$.
Понимаете, дело в том, что в том варианте доказательства, что я пытаюсь реализовать, нет никаких поворотов. Нет и четкого прообраза у этого поворота, т.к. изоморфизм между группами не фиксирован, он полагается произвольным. У меня есть чудесное решение этой задачи, в конце которого ошибка, описанная выше, которая сводит все усилия на нет. Для того, чтобы Вы понимали, в каком духе решается задача, какие объекты в ней используются, о чем там стоит говорить, а о чем нет, я могу скинуть Вам это решение. Тогда нам будет проще говорить о задаче.
Это же предложение у меня ко всем, у кого еще не отпало окончательно желание помочь мне решить задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение30.07.2014, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
_Er в сообщении #891712 писал(а):
Кроме Рубакова у меня еще есть другая литература, в которой все эти группы в принципе не используются.

А какая, кстати?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение30.07.2014, 15:10 


12/02/14
808
Вы можете написать предлагаемое решение связно и указать на ошибку, чтобы не надо было всё это по кусочкам собирать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение30.07.2014, 17:11 


12/02/14
808
_Er в сообщении #889905 писал(а):
Вроде бы каждому элементу из $SO(3)$ соответствует два из $SU(2)$: $U$ и $-U$.
В этом и всё дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение30.07.2014, 17:50 


18/02/10
254
По поводу гомоморфизма $SU(2)$ в $SO(3)$ гляньте книгу Виленкина "Специальные функции и теория представлений". Там написано все, что сказал type2b, возможно вам будет понятнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение30.07.2014, 21:06 


24/07/14
138
mishafromusa в сообщении #891829 писал(а):
Вы можете написать предлагаемое решение связно и указать на ошибку, чтобы не надо было всё это по кусочкам собирать?
Вот ссылка на файл с "решением"
mishafromusa в сообщении #891875 писал(а):
_Er в сообщении #889905 писал(а):
Вроде бы каждому элементу из $SO(3)$ соответствует два из $SU(2)$: $U$ и $-U$.
В этом и всё дело.
Так вот я хотел бы это получить как-то из того, что я использую в своем решении. Та идея о сопоставлении кривых, которую я высказал выше, как раз для этого и задумана — если бы получилось вывести это из того, что я предлагал, то я бы получил, что $\tilde{T}(R)=U_1$ и $\tilde{T}(R)=U_2 \ne U_1$ и этого было бы достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 01:49 


12/02/14
808
Неплохо было бы понять, каким может быть "инфинитезимальное вращение" $\Omega$ из формулы $f(\Omega)=\tau$ в Вашем решении. Если окажется, что $exp(\pi \Omega)$ = поворот на 360 градусов, то задача будет решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 09:13 


24/07/14
138
mishafromusa в сообщении #891988 писал(а):
Неплохо было бы понять, каким может быть "инфинитезимальное вращение" $\Omega$ из формулы $f(\Omega)=\tau$ в Вашем решении. Если окажется, что $exp(\pi \Omega)$ = поворот на 360 градусов, то задача будет решена.
Мы как раз это и получили для частного случая изоморфизма $f$, который использовался выше ($f(B)=A \Rightarrow b_i=-2a_i$). В том-то и проблема здесь, что этот изоморфизм полагается произвольным, т.е $\Omega$ может быть каким угодно. Поэтому я думал, что стоит попробовать показать это в общем случае. Вариант, как это можно было бы сделать, я предложил выше. Если соотнести его с тем частным случаем, в котором мы получили результат, то получается, что $R(0)=R(\pi)=1, U(0)=1, U(\pi)=-1$, т.е. $t_1=0,t_2=\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 09:17 


12/02/14
808
_Er в сообщении #892018 писал(а):
В том-то и проблема здесь, что этот изоморфизм полагается произвольным, т.е $\Omega$ может быть каким угодно.
Вы уверены в этом? Это же изоморфизм алгебр Ли, а не просто векторных пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение31.07.2014, 11:32 


24/07/14
138
mishafromusa в сообщении #892019 писал(а):
_Er в сообщении #892018 писал(а):
В том-то и проблема здесь, что этот изоморфизм полагается произвольным, т.е $\Omega$ может быть каким угодно.
Вы уверены в этом? Это же изоморфизм алгебр Ли, а не просто векторных пространств.
Недавно я начал в этом сильно сомневаться. Ну понятно, что оно не может быть совершенно произвольным, должны сохраняться операции алгебры и все такое. Но я думал, что это не налагает никаких серьезных ограничений на выбор $f$. Фактически я считал, что если положить изоморфизм $f$ следующим:$f(B)=A \Rightarrow b_i=\alpha_{ij}a_j$ то выбрать коэффициенты $\alpha_{ij}$ можно далеко не единственным способом.
Я изменил свое мнение вот почему. Я посмотрел на общие решения уравнений:
$\dot{U}(t)=A\cdot U(t)$
$U(0)=1$
и
$\dot{R}(t)=B\cdot R(t)$
$R(0)=1$

,где $A=\gamma_ia_i,   a_i$ –элементы базиса алгебры $su(2)$, $B=\gamma_ib_i,   b_i$ –элементы базиса алгебры $so(3)$. Так вот, при любых коэффициентах $\gamma_i$ получается, что для $t_0=\pi/\sqrt{(\gamma_1)^2+(\gamma_2)^2+(\gamma_3)^2}$: $$R(0)=R(2t_0)=1, U(0)=1, U(t_0)=-1$$Если теперь удастся показать, что коэффициенты $\gamma_i$ должны браться с весом $\pm2$ (тогда получится $R(t_0)=1$) для кривых из группы $SO(3)$, то задача будет решена. Вот пробую сейчас показать, что в ином виде изоморфизм не может быть задан. Еще один момент: соотношения $R(2t_0)=1, U(t_0)=-1$ сохраняются при любых перестановках коэффициентов $\gamma_i$.
И еще. Я тут говорю про вес $\pm2$ – он появляется из-за того, что изначально выбраны два базиса со структурными константами отличающимися в 2 раза. Если выбрать базисы с равными структурными константами, то эта двойка не нужна и получается $R(t_0)=1, U(t_0)=-1$.

-- 31.07.2014, 11:39 --

В принципе, если посмотреть несколько с иной стороны, полагая просто, что в алгебрах выбраны два каких-то базиса, между которыми ставится соответствие, т.е. изоморфизм $f$ таков:$f(B)=A \Rightarrow b_i=a_i$, то отсюда сразу следует, что структурные константы в этих базисах должны совпадать. Но тогда такой вопрос: единственным ли образом можно получить в алгебре базис с какими-то заданными структурными константами? Мне кажется, что нет.
Просто соотношения $R(t_0)=1, U(t_0)=-1$ я получил только для одной конкретной пары базисов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group