Представления групп и алгебр Ли (задача)

[Munin]

Смотря что там в многоточии.

[_Er]

green5 в сообщении #893405 писал(а):

Хотел спросить, для SU(2)
утверждение (что не существует представления группы...) справедливо ?

green5,сформулируйте, пожалуйста, Ваш вопрос полностью. И на всякий случай перечитайте условие задачи.

[green5]

Если бы существовало такое представление как в условии задачи,
то группа бы была коммутативной.
Так?

[Munin]

Почему вдруг?

[mishafromusa]

green5 в сообщении #893405 писал(а):

Хотел спросить, для SU(2)
утверждение (что не существует представления группы...) справедливо ?

Нет, группа $SU(2)$ односвязна, поэтому ветвления быть не может, и каждое представление её алгебры Ли интегрируется в однозначное представление всей группы. У группы $SO(3)$ двузначные представления появляются потому, что она не односвяэна, её фундаментальная группа равна $Z_2$.

[Munin]

mishafromusa
Даже представление действительными бесследовыми антисимметрическими матрицами $3\times 3$?

[mishafromusa]

Munin, я говорил о соответствии представлений группы и её алгебры Ли, не цепляйтесь.

[Munin]

Ну и? У алгебры Ли $\mathfrak{su}(2)$ есть замечательное представление действительными бесследовыми антисимметрическими матрицами $3\times 3.$ Покажите, как оно "интегрируется в однозначное представление всей группы".

[mishafromusa]

Каждому кватерниону $g$ единичной длины канонически соответствует трёхмерный поворот, так как этот кватернион действует сопряжением, переводящим $w$ в $gwg^*$ на кватернионы, оставляя пространство чистых кватернионов инвариантным, и это генерирует поворот, вот как.

-- 05.08.2014, 10:46 --

Ещё один стособ: трёхмерная сфера канонически проектируется на трёхмерное проективное пространство, вот вам и представление, о котором Вы спрашивали. Вообще тут всё дело в (не)односвязности.

[mihail-ro]

Отличие от тех уравнений для $g(t)$, что здесь предлагались раньше, в том, что теперь матрица $A$ из алгебры $su(2)$ (или из $so(3)$) зависит от $t$ в том смысле, что она не фиксирована, а выбирается определенным образом в каждой новой точке кривой $g(t)$.
Так вот таким способом вроде бы можно восстановить всю группу по алгебре. забор спб
о тогда с учетом изоморфизма алгебр $su(2)$ и $so(3)$ можно ожидать изоморфизм и между восстановленными таким способом группами. Но на деле этого изоморфизма нет и каждой матрице $R \in SO(3)$ можно поставить в соответствие две матрицы из $SU(2): U$ и $-U$.

[heltyrj]

Hапример петля, соответствующая повороту какой-нибудь из этих прямых на 180 градусов, в точку не стягивается, т.к. она поднимается в незамкнутый путь в . Точно так же, петля в , соответствующая повороту на 360 градусов