Представления групп и алгебр Ли (задача)

[mishafromusa]

_Er в сообщении #891535 писал(а):

Или сразу такой вопрос: за счет чего можно получить отсутствие изоморфизма у групп, восстановленных по изоморфным алгебрам, в этом конкретном случае (т.е. для групп $SO(3)$ и $SU(2)$)?

У $SO(3)$ центр тривиальный, а у $SU(2)$ -- нет. $SU(2)$ односвязна, т.е. любая петля стягивается в точку, т.к. эта группа изоморфна группе единичных кватернионов, которая гомеоморфна трёхмерной сфере, а $SO(3)$ неодносвязна, т.к. она гомеоморфна трёхмерному проективному пространству, т.е. пространству проходящих через начало прямых в 4-мерном пространстве; например петля, соответствующая повороту какой-нибудь из этих прямых на 180 градусов, в точку не стягивается, т.к. она поднимается в незамкнутый путь в $SU(2)$. Точно так же, петля в $SO(3)$, соответствующая повороту на 360 градусов, в точку не стягивается, т.к. она поднимается в дугу большого круга в $SU(2)$, соединяющую $1$ и $-1$.

Собственно говоря, в этом и причина того, что частицы со спином половина -- фермионы.

-- 29.07.2014, 13:42 --

Посмотрите ещё вот эту заметку: post870877.html#p870877

[_Er]

mishafromusa в сообщении #891552 писал(а):

_Er в сообщении #891535 писал(а):

Или сразу такой вопрос: за счет чего можно получить отсутствие изоморфизма у групп, восстановленных по изоморфным алгебрам, в этом конкретном случае (т.е. для групп $SO(3)$ и $SU(2)$)?

У $SO(3)$ центр тривиальный, а у $SU(2)$ -- нет. $SU(2)$ односвязна, т.е. любая петля стягивается в точку, т.к. эта группа изоморфна группе единичных кватернионов, которая ...

Еще раз напишу: я в группах последнее дно, знаком с ними недавно. Геометрия, которую вы здесь рассказываете, мне слабо представляется, потому что я с вещами, о которых вы пишете, еще не сталкивался. Вы скинули ссылку на литературу: в том списке есть глава 3 из книги Рубакова – так вот это все, что я знаю о группах и алгебрах ли (и о группах вообще). То что вы здесь пишете, я, к сожалению, воспринимаю лишь как повторение того факта, что $SU(2)/Z_2=SO(3)$, о чем здесь уже много раз было написано.

Я немного поясню и уточню свой вопрос. У нас есть две изоморфные алгебры. Т.е. между их элементами можно установить однозначное соответствие. Я указал способ, по которому вроде бы можно восстановить по алгебре все элементы соответствующей ей группы. При таком восстановлении мы интегрируя по $t$ получаем кривые $U(t) \in SU(2)$ и $R(t) \in SO(3)$. Из изоморфизма алгебр следует, что между каждой парой таких кривых можно поставить некоторое соответствие. Так вот задача состоит в том, чтобы показать, что такое соответствие не будет взаимооднозначным. Раньше я говорил об изоморфизме, когда формулировал процитированный вами вопрос. Но, я думаю, достаточно просто показать, что такое соответствие не будет взаимооднозначным. Пример того, что я хотел бы получить я написал раньше:

_Er в сообщении #891535 писал(а):

для этих кривых должно получиться при некоторых $t_1,t_2$ следующее:

$U(t_1)=U_0, U(t_2)=-U_0=-U(t_1)$
$R(t_1)=R_0, R(t_2)=R_0$

По поводу литературы, что вы скинули. К сожалению, уже поздно: я итак слишком много времени потратил на разборки с этими группа Ли (фактически на 3 задачи из книги). У меня еще целая бочка литературы и я полагаю, что разумнее будет заняться ей. Единственное что, так это вот эта задача про представления – я слишком много времени потратил на нее чтобы просто так взять и кинуть. Поэтому периодически буду о ней вспоминать еще.

[mishafromusa]

Если Вы не разберетесь хотя бы с $SU(2)$, $SO(3)$ и их топологией и связью с кватернионами, то вся остальная бочка литературы будет Вам не впрок. В качестве примера кривых, которые Вас интересуют, можно взять поворот на 360 градусов и его связный прообраз в $SU(2)$.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #891647 писал(а):

связью с кватернионами

Это лесом и в мусор. Незачем.

[mishafromusa]

Кватернионы существенно упрощают всю эту тематику и придают ей наглядный геометрический смысл. Можно конечно и без них, но это затуманивает суть дела.

[_Er]

mishafromusa в сообщении #891647 писал(а):

вся остальная бочка литературы будет Вам не впрок

Литература не только по группам. И я полагаю, что того я уже узнал по ним, будет достаточно.

mishafromusa в сообщении #891647 писал(а):

их топологией и связью с кватернионами.

Вот этим я сейчас точно не собираюсь заниматься. Просто потому, что ни с топологией, ни с кватернионами еще не сталкивался. Учитывая объем запланированной работы и то, что до конца лета остался какой-то жалкий месяц и потом нужно будет заниматься уже другими вещами, думаю, было бы большой ошибкой сосредоточить все силы и потратить все время на то, чтобы разобрать какие-то проблемы связанные с группами Ли. Рубаков меня заверил в начале книги, что того, что он написал в 3-й главе, будет достаточно для нормального понимания остального материала книги. Кроме Рубакова у меня еще есть другая литература, в которой все эти группы в принципе не используются.

mishafromusa в сообщении #891647 писал(а):

В качестве примера кривых, которые Вас интересуют, можно взять поворот на 360 градусов и его связный прообраз в $SU(2)$.

Понимаете, дело в том, что в том варианте доказательства, что я пытаюсь реализовать, нет никаких поворотов. Нет и четкого прообраза у этого поворота, т.к. изоморфизм между группами не фиксирован, он полагается произвольным. У меня есть чудесное решение этой задачи, в конце которого ошибка, описанная выше, которая сводит все усилия на нет. Для того, чтобы Вы понимали, в каком духе решается задача, какие объекты в ней используются, о чем там стоит говорить, а о чем нет, я могу скинуть Вам это решение. Тогда нам будет проще говорить о задаче.
Это же предложение у меня ко всем, у кого еще не отпало окончательно желание помочь мне решить задачу.

[Munin]

_Er в сообщении #891712 писал(а):

Кроме Рубакова у меня еще есть другая литература, в которой все эти группы в принципе не используются.

А какая, кстати?

[mishafromusa]

Вы можете написать предлагаемое решение связно и указать на ошибку, чтобы не надо было всё это по кусочкам собирать?

[mishafromusa]

_Er в сообщении #889905 писал(а):

Вроде бы каждому элементу из $SO(3)$ соответствует два из $SU(2)$: $U$ и $-U$.

В этом и всё дело.

[ChaosProcess]

По поводу гомоморфизма $SU(2)$ в $SO(3)$ гляньте книгу Виленкина "Специальные функции и теория представлений". Там написано все, что сказал type2b, возможно вам будет понятнее.

[_Er]

mishafromusa в сообщении #891829 писал(а):

Вы можете написать предлагаемое решение связно и указать на ошибку, чтобы не надо было всё это по кусочкам собирать?

Вот ссылка на файл с "решением"

mishafromusa в сообщении #891875 писал(а):

_Er в сообщении #889905 писал(а):

Вроде бы каждому элементу из $SO(3)$ соответствует два из $SU(2)$: $U$ и $-U$.

В этом и всё дело.

Так вот я хотел бы это получить как-то из того, что я использую в своем решении. Та идея о сопоставлении кривых, которую я высказал выше, как раз для этого и задумана — если бы получилось вывести это из того, что я предлагал, то я бы получил, что $\tilde{T}(R)=U_1$ и $\tilde{T}(R)=U_2 \ne U_1$ и этого было бы достаточно.

[mishafromusa]

Неплохо было бы понять, каким может быть "инфинитезимальное вращение" $\Omega$ из формулы $f(\Omega)=\tau$ в Вашем решении. Если окажется, что $exp(\pi \Omega)$ = поворот на 360 градусов, то задача будет решена.

[_Er]

mishafromusa в сообщении #891988 писал(а):

Неплохо было бы понять, каким может быть "инфинитезимальное вращение" $\Omega$ из формулы $f(\Omega)=\tau$ в Вашем решении. Если окажется, что $exp(\pi \Omega)$ = поворот на 360 градусов, то задача будет решена.

Мы как раз это и получили для частного случая изоморфизма $f$, который использовался выше ($f(B)=A \Rightarrow b_i=-2a_i$). В том-то и проблема здесь, что этот изоморфизм полагается произвольным, т.е $\Omega$ может быть каким угодно. Поэтому я думал, что стоит попробовать показать это в общем случае. Вариант, как это можно было бы сделать, я предложил выше. Если соотнести его с тем частным случаем, в котором мы получили результат, то получается, что $R(0)=R(\pi)=1, U(0)=1, U(\pi)=-1$, т.е. $t_1=0,t_2=\pi$.

[mishafromusa]

_Er в сообщении #892018 писал(а):

В том-то и проблема здесь, что этот изоморфизм полагается произвольным, т.е $\Omega$ может быть каким угодно.

Вы уверены в этом? Это же изоморфизм алгебр Ли, а не просто векторных пространств.

[_Er]

mishafromusa в сообщении #892019 писал(а):

_Er в сообщении #892018 писал(а):

В том-то и проблема здесь, что этот изоморфизм полагается произвольным, т.е $\Omega$ может быть каким угодно.

Вы уверены в этом? Это же изоморфизм алгебр Ли, а не просто векторных пространств.

Недавно я начал в этом сильно сомневаться. Ну понятно, что оно не может быть совершенно произвольным, должны сохраняться операции алгебры и все такое. Но я думал, что это не налагает никаких серьезных ограничений на выбор $f$. Фактически я считал, что если положить изоморфизм $f$ следующим:$f(B)=A \Rightarrow b_i=\alpha_{ij}a_j$ то выбрать коэффициенты $\alpha_{ij}$ можно далеко не единственным способом.
Я изменил свое мнение вот почему. Я посмотрел на общие решения уравнений:

$\dot{U}(t)=A\cdot U(t)$
$U(0)=1$
и
$\dot{R}(t)=B\cdot R(t)$
$R(0)=1$

,где $A=\gamma_ia_i, a_i$ –элементы базиса алгебры $su(2)$, $B=\gamma_ib_i, b_i$ –элементы базиса алгебры $so(3)$. Так вот, при любых коэффициентах $\gamma_i$ получается, что для $t_0=\pi/\sqrt{(\gamma_1)^2+(\gamma_2)^2+(\gamma_3)^2}$:

$$R(0)=R(2t_0)=1, U(0)=1, U(t_0)=-1$$

Если теперь удастся показать, что коэффициенты $\gamma_i$ должны браться с весом $\pm2$ (тогда получится $R(t_0)=1$) для кривых из группы $SO(3)$, то задача будет решена. Вот пробую сейчас показать, что в ином виде изоморфизм не может быть задан. Еще один момент: соотношения $R(2t_0)=1, U(t_0)=-1$ сохраняются при любых перестановках коэффициентов $\gamma_i$.
И еще. Я тут говорю про вес $\pm2$ – он появляется из-за того, что изначально выбраны два базиса со структурными константами отличающимися в 2 раза. Если выбрать базисы с равными структурными константами, то эта двойка не нужна и получается $R(t_0)=1, U(t_0)=-1$.

-- 31.07.2014, 11:39 --

В принципе, если посмотреть несколько с иной стороны, полагая просто, что в алгебрах выбраны два каких-то базиса, между которыми ставится соответствие, т.е. изоморфизм $f$ таков:$f(B)=A \Rightarrow b_i=a_i$, то отсюда сразу следует, что структурные константы в этих базисах должны совпадать. Но тогда такой вопрос: единственным ли образом можно получить в алгебре базис с какими-то заданными структурными константами? Мне кажется, что нет.
Просто соотношения $R(t_0)=1, U(t_0)=-1$ я получил только для одной конкретной пары базисов.