Беседа об интегралах (осознанности взятия оных)

[Профессор Снэйп]

Отделено отсюда.

Munin в сообщении #639327 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #639260 писал(а):

...можно поговорить об управлении рисками. Что это такое толком и сам не понимаю, но применяю...

А что тут такого парадоксального. Подобная ситуация ("не понимаю, но применяю") возникает повсеместно.

Первое, что пришло на ум: студенты берут определённые интегралы, совершенно не представляя, что такое интеграл Лебега или хотя бы интеграл Римана. Меж тем они владеют кучей технических приёмов вычисления значений этих интегралов

[Munin]

В данном контексте звучит скорее как "что такое руль в автомобиле, толком не понимаю, но применяю".

[olenellus]

Нет, ну что такое интеграл Римана они должны понимать.

[Профессор Снэйп]

olenellus в сообщении #639583 писал(а):

Нет, ну что такое интеграл Римана они должны понимать.

Предел последовательнсти сумм... при стремящейся к нулю мелкости шага суммирования... Что Вы? Они обычно понимают, что интеграл - это такая закорючка

[Dan B-Yallay]

А может они сразу по Даниэлю интегрируют.

[Munin]

Я тут всё больше прихожу к мнению, что твердить, что интеграл - это предел, что Римана, что Лебега, вообще вредно и замутняет суть. Интеграл - это чисто алгебраическая штучка, произведение цепи на коцепь, и так его понять гораздо проще.

[Dan B-Yallay]

Это Вы так шутите или серьезно предлагаете изучать в школах $C^*$ группы ?

[Munin]

По-моему, в них нет ничего такого сложного, уж тем более по сравнению с тем, что по традиции в школьную программу впихнуто. Вообще математическая программа сильно страдает от исторических причин её возникновения: чем современней вещи, тем позже они изучаются, хотя по простоте они могут стоять раньше многого другого. Уж линал точно по силам восьмиклассникам, например, а вместо этого им рассказывают про страшно сложную штуку квадратный корень из двух. Кто мешает работать в поле $\mathbb{Q}$ до тех пор, пока по физике решать квадратные уравнения не понадобится? А заодно потом сразу познакомить и с $\sqrt{2},$ и с $\sqrt{-1},$ и с $\sqrt{\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right)}$...

Впрочем, отчасти шучу, конечно...

-- 03.11.2012 17:20:30 --

Ещё одна вещь, от которой страдает программа по математике: из-за желания всё делать строго (всё равно смехотворного в школе, а то и на первых курсах вуза), намного позже даются простые и ясные образы, к которым надо привыкать сызмальства. Сопряжённое пространство и коцепь, кстати, из этой серии. Какая долгая история: сначала рассказывать про устранимые точки разрыва, и что физические рассуждения про точечные заряды и поверхностные плотности точного математического смысла не имеют, потом про дельта-функцию, обобщённые функции и теорию меры, и только потом оказывается вдруг, что всё просто и имеет элементарный смысл. (Если студент до этого ещё доживёт. Везёт только студентам мехматов, да ещё, может быть, и не всех направлений.) Зачем кружные пути к истине?

[ewert]

Munin в сообщении #639614 писал(а):

Интеграл - это чисто алгебраическая штучка, произведение цепи на коцепь, и так его понять гораздо проще.

Понять абстрактно -- возможно, но это нисколько не стимулирует его применение к практическим задачкам; более того -- блокирует его. На самом деле интеграл -- это всего лишь сумма жутко большого количества жутко маленьких слагаемых.

Профессор Снэйп в сообщении #639597 писал(а):

Предел последовательнсти сумм... при стремящейся к нулю мелкости шага суммирования... Что Вы? Они обычно понимают, что интеграл - это такая закорючка

Они всегда чётко понимают, что интеграл -- это площадь, и никакого другого понимания даже и не просвечивает. Меня всегда это раздражало, но последнее время как-то попривык: хоть шерсти клок, знаете ли...

[Munin]

Update: убрал тег "офтопик", он больше не уместен.

ewert в сообщении #640522 писал(а):

Понять абстрактно -- возможно, но это нисколько не стимулирует его применение к практическим задачкам; более того -- блокирует его.

Кому как :-)

ewert в сообщении #640522 писал(а):

На самом деле интеграл -- это всего лишь сумма жутко большого количества жутко маленьких слагаемых.

Это тоже не стимулирует (хотя я не буду заявлять, что блокирует).

ewert в сообщении #640522 писал(а):

Они всегда чётко понимают, что интеграл -- это площадь, и никакого другого понимания даже и не просвечивает. Меня всегда это раздражало, но последнее время как-то попривык: хоть шерсти клок, знаете ли...

Как ни странно, такого же понимания придерживались великие матфизики, и успешно... Хотя что кого раздражает - не мне решать, разумеется.

И непонятно, зачем выступать с такими дискуссионными комментариями в теме, где они заведомо офтопик?..

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #640532 писал(а):

И непонятно, зачем выступать с такими дискуссионными комментариями в теме, где они заведомо офтопик?..

я, конечно, жутко извиняюсь; но кто первым начал-то?...

[Munin]

ewert в сообщении #640538 писал(а):

я, конечно, жутко извиняюсь; но кто первым начал-то?...

Как всегда, Профессор Снэйп :-)

Офтопиком это начал называть я, виноват, но тут уж просто не посмотрел на предыдущую страницу.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Юмор, поздравления, сходки» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: предложено участником.

[Munin]

ewert в сообщении #640522 писал(а):

Понять абстрактно -- возможно, но это нисколько не стимулирует его применение к практическим задачкам; более того -- блокирует его. На самом деле интеграл -- это всего лишь сумма жутко большого количества жутко маленьких слагаемых.

Поясню.

1. Задача научиться интегрировать. Здесь представление интеграла как суммы не помогает. Разве что на самом начальном этапе, когда в режиме рукомашества можно показать на примере аналогии с суммой арифметической прогрессии, что $\int_a^bx\,dx=\left.x^2/2\right|_a^b.$ Дальше вся таблица интегралов вычисляется "подбором" на основании того, что интегрирование обратно дифференцированию, и мы знаем производные некоторых функций. Для введения интегрирования по частям необходимо думать о площади и только о площади. Дальше вообще никаких представлений не нужно, только игра с символами.

2. Задача обнаруживать интеграл в различных задачах математики и физики. Здесь в основном используются три представления:
- интеграл - это площадь или объём. Позволяет искать площади плоских фигур и поверхностей, объёмы тел.
- интеграл - это произведение цепи на коцепь. Позволяет искать массы, потоки, циркуляции - большинство физических интегралов.
- интеграл - это прообраз производной. Позволяет искать "накопленные" величины в случае кинематики или других процессов во времени: суммарный угол поворота, суммарное прошедшее количество (воды, заряда и т. п.), и т. п.

[Eau]

Цитата:

- интеграл - это произведение цепи на коцепь.

а че это?