Мат. аппарат квант. мех.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #546531 писал(а):

Из того, что в данном контексте несуществена

О каком контексте идёт речь? Разве не о преподавании квантовой механики?

Alex-Yu в сообщении #546531 писал(а):

Физический смысл "физического пространства" в квантовой области радикально изменяется. В нем лежат лишь континуальные индексы одного из базисов состояний частицы (или, в более продвинутом варианте, индексы, различающие разные пси-операторы). Но не сама частица.

Это бы хорошо бы. Но возникает вопрос, а где тогда частица. Куда подевалась?

Я предпочитаю смотреть на это иначе. Частица - никуда не девалась, вот она, в нашем "физическом пространстве". Просто меняется смысл вопросов "где", и "как движется", и вид ответов на них: на "где" ответ не точка, а функция, на "как движется" - не время $\to$ точка, а время $\to$ функция.

Alex-Yu в сообщении #546531 писал(а):

Бывает же ситуация, когда конкретные координаты частицы (и при этом именно неделимой частицы!) неопределены, не имеют смысла.

Разумеется. Проблема в том, что в вашем варианте трудно понять, что такое "неделимая частица", и как мы вообще о ней рассуждаем как о предмете, аналогичном частице классической. В моём варианте, всё просто: достаточно отвлечься от движения частицы, и рассматривать её саму по себе, например, её строение, ориентацию, взаимодействия. Разумеется, их проквантовать придётся тоже. Но это всё равно позволяет себе всё это представлять, а не втыкаться в тупик.

Alex-Yu в сообщении #546531 писал(а):

Да ну? Если увеличить амплитуду классической волны, скажем, в два раза это будет то же состояние или другое? А для "квантовой волны"? Вообще где какие-то там вероятности для классических волн? Ни чуть-чуть не такой смысл.

Это частности. Кстати, про вероятности я вообще речи не заводил. Волна комплексная. А общего намного больше, чем отличий: имеют смысл понятия бегущих волн и стоячих, пакетов, падения из бесконечности и ухода на бесконечность, резонансов, функции Грина, теории возмущений... Что есть содержание квантовой механики, как не это всё? Чтобы понять атом, надо понять резонатор, а не правило Борна для вероятностей.

Человек попадает в новый незнакомый мир. Надо научить его, чего бывает и не бывает в этом мире. Что важно и неважно. Например, почему симметрии, которые в классической механике были в основном источником игры ума, приобретают такую огромную роль. А проекция всего этого на "вероятности" - это для слабых духом, которые готовы всю жизнь цепляться за подол классики, и не сделать по новому миру ни одного самостоятельного шага.

Alex-Yu в сообщении #546531 писал(а):

В общем мы об этом уже как-то беседовали. На счет разницы между полевой функцией и квантовой "волновой функцией". Вы упорно хотели их отождествить (хотябы в ограниченном сммысле). А на самом деле между ними вообще ничего общего нет.

Математические свойства у них общие есть.

А если собака лает, как Будда, и кусает, как Будда, значит, она что?..

Alex-Yu в сообщении #546531 писал(а):

Во-первых, только линейные ДУ.

Ну, давайте каламбурить. А нелинейные ДУ опирались на нелинейную алгебру. Вы же прекрасно знаете, что это не так, теория нелинейных ДУ - развитие теории линейных, а не отрицание основ.

Alex-Yu в сообщении #546531 писал(а):

Во-вторых, линейная алгебра при этом ИСПОЛЬЗУЕТСЯ, но она вполне имеет право на существование и безотносительно к линейным ДУ.

Согласен. И в КМ используется как линал, так и ДУ.

ewert в сообщении #546547 писал(а):

Это не тонкости -- это аксиоматика

Вы не поверите, аксиоматика в физике - и есть тонкости. А расчётные методы - основное.

[ewert]

Munin в сообщении #546593 писал(а):

Вы не поверите, аксиоматика в физике - и есть тонкости. А расчётные методы - основное.

Нет, не поверю. Это утверждение из разряда: в интегральном исчислении главное -- это техника интегрирования. А знание того, что такое интеграл, его свойств и таблицы интегралов -- это уже тонкости.

[Munin]

ewert в сообщении #546597 писал(а):

Нет, не поверю. Это утверждение из разряда: в интегральном исчислении главное -- это техника интегрирования. А знание того, что такое интеграл, его свойств и таблицы интегралов -- это уже тонкости.

В интегральном исчислении - может быть, и не так. Но в применении интегрального исчисления на практике - да, главное техника интегрирования. Свойства и таблицы интегралов нужны, но как часть техники интегрирования: знать, что можно и что нельзя делать, что стоит попробовать, к чему стоит стремиться.

Я же говорил, не поверите. У меня у самого бурный внутренний протест вызывает. Но я знаю, что это правда.

Отсюда и анекдоты.

Теоретическая физика - это умение два раза брать интеграл по частям. Фок был великий теорфизик - он умел три раза брать по частям.

Фейнман умел брать интегралы лучше всех своих коллег, к нему часто шли за помощью. Потому что он научился дифференцировать под знаком интеграла.

[ewert]

Munin в сообщении #546608 писал(а):

Но в применении интегрального исчисления на практике - да, главное техника интегрирования.

Это будет потом. А сначала нужно знать, что в этом месте нужен именно интеграл. Т.е. знать определение интеграла.

"Вот так же и птички."

[Munin]

ewert в сообщении #546611 писал(а):

Это будет потом. А сначала нужно знать, что в этом месте нужен именно интеграл. Т.е. знать определение интеграла.

Определение - да. Но не аксиоматику. И под словом "определение" здесь понимается немножко не то. Надо знать не Римана, Дарбу, Лебега и Стилтьеса, а то, что "интеграл - это объём". Се ля ви.

[ewert]

Munin в сообщении #546616 писал(а):

Определение - да. Но не аксиоматику.

Это в данном случае одно и то же. Т.е. вещи одного порядка.

Munin в сообщении #546616 писал(а):

, а то, что "интеграл - это объём". Се ля ви.

Вот уж боже упаси. Никакой это не объём, это -- сумма. (Тонкостей определений знать действительно не обязательно.)

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #546597 писал(а):

Munin в сообщении #546593 писал(а):
Вы не поверите, аксиоматика в физике - и есть тонкости. А расчётные методы - основное.

Нет, не поверю. Это утверждение из разряда: в интегральном исчислении главное -- это техника интегрирования. А знание того, что такое интеграл, его свойств и таблицы интегралов -- это уже тонкости.

В физике так и есть. Именно потому, что физика изучает реальный мир. А ни про один РЕАЛЬНЫЙ объект невозможно вполне логически удовлетворительно сказать что это такое. Логически удовлетворительные (полностью!) утверждения можно делать о несуществующих реально объектах (например об интегралах). Этим занимается математика. А о реальных объектах можно говорить лишь приближенно и при этом не известна (!!!) степень приближения. Этим занимается физика.

И тогда какой физику толк от логически безупречного ответа на вопрос "что такое интеграл"??? Все равно такой ответ, даже абсолютно безупречный, ничего безупречного не говорит о реальном объекте. А только этот реальный объект физика и интересует. До "математического интеграла" физику просто нет никакого дела! Ну пусть он (безупречный интеграл) будет где-то там в математике. Физика это просто не интересует, это не его предмет исследования.

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #546627 писал(а):

До "математического интеграла" физику просто нет никакого дела!

Интеграл тут совершенно не при чём, это была лишь иллюстрация. Невозможно заниматься интегрированием, не зная определения интеграла (неважно на каком уровне строгости). Ровно так же невозможно заниматься и КМ, не зная определения спектра (опять же неважно насколько строгого), раз уж это в данной теории -- ключевое понятие.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #546597 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #546531 писал(а):
Физический смысл "физического пространства" в квантовой области радикально изменяется. В нем лежат лишь континуальные индексы одного из базисов состояний частицы (или, в более продвинутом варианте, индексы, различающие разные пси-операторы). Но не сама частица.

Это бы хорошо бы. Но возникает вопрос, а где тогда частица. Куда подевалась?

Я предпочитаю смотреть на это иначе. Частица - никуда не девалась, вот она, в нашем "физическом пространстве". Просто меняется смысл вопросов "где", и "как движется", и вид ответов на них: на "где" ответ не точка, а функция, на "как движется" - не время $\to$ точка, а время $\to$ функция.

Это все, конеччно, очень трудные вопросы. Мы тут уходим из области компетенции физики как таковой. Но, увы, это неизбежно если не превращаться в "считающего робота". Понимая "скользкость" таких вопросов, попробую (не настаивая на своей правоте) немного порассуждать. Ничего более конкретного, думаю, тут просто невозможно сказать.

Мне всегда казался странным некий дуализм ньтоновской картины, которую СТО и ОТО лишь несколько изменили, не затрагивая концептуальной сущности. Этот дуализм заключается в том, что есть пространство, как бы само по себе, и есть материя (которая тоже сама по себе), которая в этом пространстве находится и движется. В ОТО материя влияет на свойства пространства, но это не так уж принципиально, все равно остается две сущности: пространство и материя В ЭТОМ ПРОСТРАНСТВЕ (то, что в пространстве-времени тут не важно, думаю понимаете).

На мой взгляд это абсолютно неудовлетворительная точка зрения. Я представляю себе это иначе: существует материя и только материя, и она, эта материя, обладает некоторыми геометрическими свойствами. Эти геометрические свойства и предстают как пространство. Но это пространство не есть что-то само по себе, отдельное. Нет ничего кроме материи, и именно совокупность специфических (геометрических) свойств самой материи является как физическое пространство. Здесь $R^3$ или прмое произведение этих $R^3$ (фазовое, конфигурационное..) -- дело десятое как именно математически мы это будем описывать.

Но дальше возникает следующий вопрос: а в любых ли условиях материя обладает неизменными геометрическими свойствами? На качественном уровне, тут не важно что пространство гнется под действием материи. От "гнутья" риманово пространство не перестает быть римановым пространством. На мой взгляд квантовая физика дает скорее отрицательный ответ. Особенно ярко это проявляется если выйти за рамки КМ и перейти к КТП. Спрашивается, а есть ли пространство (в ньютоновском или, если хотите, эйнштейновском смысле) в ящике, в котором строгий (!) КТП-вакуум??? Для простоты будем считать, что невырожденный. Замечу, что вакуумный вектор состояния вообще не обладает какой-либо геометрической структурой и относится к нашему ящику целиком без подразделения внутренности этого ящика на некие "точки". А что такое пространство, если не совокупность точек? Метрика и все такое это потом, сначала точки нужны. Я не могу себе представить, какой бы смысл можно было бы придать выражению "пространство в ящике есть" до тех пор, пока в этом ящике не начнут рождаться частицы. Естествено, тут подразумевается физический, а не математический смысл. Точкам надо сопоставить физические объекты! А их нет... Тут можно говорить только о точке (точнее луче) пространства состояний нашего ящика целиком. Вот тут никаких проблем, вполне себе точка вполне себе пространства. Только бесконечномерного.

Кстати, эа проблема не новая. Еще Лейбниц спорил с Ньютоном по этому поводу, когда о квантах и слыхом никто не слыхал.

[Munin]

ewert в сообщении #546617 писал(а):

Вот уж боже упаси. Никакой это не объём, это -- сумма. (Тонкостей определений знать действительно не обязательно.)

Это тоже была цитата. Из Фаддеева, если что. А если моё лично мнение, то интеграл - это произведение цепи на коцепь.

Alex-Yu в сообщении #546639 писал(а):

Замечу, что вакуумный вектор состояния вообще не обладает какой-либо геометрической структурой и относится к нашему ящику целиком без подразделения внутренности этого ящика на некие "точки". А что такое пространство, если не совокупность точек? Метрика и все такое это потом, сначала точки нужны.

В теории поля точки - это степени свободы поля. В КТП они, безусловно, есть. И геометрическая структура есть моментально, как только мы пишем гамильтониан. Хотите отложить геометрию на потом - придумайте, как написать гамильтониан поля без неё. Вообще, эта поляна крайне истоптана, и предгеометрия Уилера, и суперсимметрия, и некоммутативная геометрия, и возникновение частиц в КТП. Даже струнщики о чём-то таком поговаривают.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #546732 писал(а):

Это тоже была цитата. Из Фаддеева, если что.

Из какого конкретно?...

Ну не важно. Он просто по памяти воспроизвёл студенческое определение, причём воспроизвёл неверно. Любой студент (после первого курса) на вопрос о том, что такое интеграл, уверенно отвечает: "Это площадь". Опытный факт. Впрочем, мы с Вами это уже обсасывали.

[Munin]

ewert в сообщении #546771 писал(а):

Ну не важно. Он просто по памяти воспроизвёл студенческое определение, причём воспроизвёл неверно. Любой студент (после первого курса) на вопрос о том, что такое интеграл, уверенно отвечает: "Это площадь". Опытный факт. Впрочем, мы с Вами это уже обсасывали.

Л. Д. Насчёт того, что он чего-то воспроизвёл, причём неверно, я бы постеснялся. Скорее, он дал своё понимание, причём в работе показавшее свою действенность.

[Doil-byle]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #546771 писал(а):

Любой студент (после первого курса) на вопрос о том, что такое интеграл, уверенно отвечает: "Это площадь".

Не думаю, что любой. Думаю, что, напротив, ни один студент-математик нормального вуза так не думает. Всем же ясно говорят, что интеграл Римана - это такой предел, как можно после этого считать, что тебя обманули и заявлять, что это площадь?

[ewert]

(Оффтоп)

Doil-byle в сообщении #547068 писал(а):

Не думаю, что любой. Думаю, что, напротив, ни один студент-математик

Любой-любой. Т.е про математиков не скажу, а инженер -- практически любой. Многократно проверено на опыте. И это, в общем, не так уж и плохо (хоть что-то говорят). Но и далеко не идеально.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #547074 писал(а):

И это, в общем, не так уж и плохо (хоть что-то говорят). Но и далеко не идеально.

Далеко не факт, что ответ "это сумма" лучше. И совсем пиши пропало, если ответ "это предел".