Ну а сейчас это огромный мэйнстрим с множеством направлений, школ и т.д. Вопчим, как вы выразились "презирать" все эти точно решаемые модели будет возможно несколько неадекватно.
У меня сложилось (дилетантское) впечатление, что эта наука почти полностью сводится к алгебре.
Ну и какая-то экспоненциально возрастающая сложность чисто алгебраических вычислений при генерации более сложных интегрируемых уравнений; может быть, какие-то алгебраисты могли бы навести порядок.
На первом шаге - нахождение представления нулевой кривизны - это действительно алгебра, хотя наличие в этой алгебре операторов интегро-дифференцирования придает ей специфику.
Порядок периодически наводят, раскладывая все результаты аккуратно по полочкам например классификации Дынкина-Кокстера для алгебр конечного роста. Но потом опять появляются нарушители и говорят, что полочек не хватает. Иногда прибегают кватернионщики и октонионщики и говорят, что у них кватернионные собственные значения и пора теорию ФКП выбрасывать, а Clifford Calculus вбрасывать.
g______d в [url=http://dxdy.ruе/post892175.html#p892175]сообщении #892175[/url] писал(а):
Та же знаменитая теорема про решение КдФ с помощью МОЗР с помощью некой алгебры сводится к задаче Римана, а сама разрешимость задачи Римана (теорема Гохберга-Крейна, кажется) – некоторый "чёрный ящик
На втором шаге - нахождения решения - это действительно задача Римана, но нередко из за многолистности с таким спектром, что на фоне конечнозонных частей есть отдельные полюса и туда же еще непрерывный спектр наползает.
С другой стороны, в теории квантовых систем (в основном дискретных) точно решаемые модели, насколько мне известно, очень популярны, всякие цепочки Тоды и т. д.
Из цепочек Тоды давно развилась отдельная наука со всевозможными комбинациями дискретности и непрерывности и залезающая даже в клеточные автоматы.
Мой комментарий в основном относился к тому, что неправильно говорить, что там, где заканчиваются точные решения, начинаются численные методы (если Вы не говорили этого, то и ладно). Между этими областями работают очень много людей; подозреваю, что больше, чем в области интегрируемых систем.
Я понимаю, но когда я листаю недавно изданные книжки по УЧП и вспоминаю что я видел в старых книжках, то какого-то прорыва не вижу.
Случайное уравнение (пусть даже с достаточно регулярными коэффициентами) с вероятностью 1 не интегрируемо,
Я тоже долго так думал. Но потом стало получаться так, что уравнения возникающие из физики, т.е. не случайные, стали у меня решаться довольно часто. Есть подозрение, что за такими НЕ случайными уравнениями и полной интегрируемостью стоит некая общая сущность.
а методы, разработанные для интегрируемых уравнений, плохо выдерживают малые изменения параметров, при которых интегрируемость разваливается; в отличие (тоже, наверное, не всегда) от методов работы с общими уравнениями.
Разумеется, точные решения мы в этот момент обычно теряем
Если деформировать интегрируемые уравнения не наугад, а "по законам жанра", то из того же КдВ можно наполучать массу других интегрируемых уравнений.
-- 01.08.2014, 00:49 --всетаки, наитболее содержательные задачи связаны с неинтегрируемыми системаи, с хаосом. А интегрируемые системы в этом смысле интересны тем, что одним из способов изучать хаос является возмущение интегрируемых систем.
Немного перефразируя g_____d можно сказать...
Мой комментарий в основном относился к тому, что неправильно говорить, что там, где заканчиваются точные решения...
... начинается хаос. Между этими областями есть довольно большая ничейная область. А для хаоса нужно пройти некоторый порог по сложности, или даже порог по "вредности". Иначе система может просто рассыпаться во все стороны без хаоса.