Квантовая механика.Коллапс волновой функции.

[Prikol]

chislo_avogadro в сообщении #891969 писал(а):

Фейнман волновую функцию нигде в лекции не упоминает. Есть подозрение, что вообще нигде.

Вы слишком подозрительны!

После его "КЭД - странной теории" вполне можно взяться за его многотомник ФЛФ. В последних томах волновая функция будет на каждом шагу.

[g______d]

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

3. Есть прямой метод - подставить в уравнение небольшое локализованное в пространстве возмущение.

Собственно, этот прямой метод происходит из наиболее естественного определения скорости. Допустим, у нас есть волновое уравнение, описывающее мембрану. Мы стукнули молотком в её центр – это в точности значит, что задали начальное условие Коши, локализованное в окрестности точки (носитель – около места удара). А дальше смотрим, как быстро распространяется движение мембраны.

Можно спорить о том, что в КМ ударов молотком не бывает, и все частицы надо как-то создавать. Но КМ не описывает мир полностью, и нужно уметь учитывать ситуации, при которых что-то где-то создаётся с помощью какого-то воздействия, внешнего для КМ.

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

4. Есть не такой прямой метод - пробные волны. Достоинства - нужна только алгебра. Весь диапазон Фурье компонент сразу обозрим. Недостаток - неясно насколько он общий.

Это скорее метод получения ответа. Доказать с помощью него, что скорость распространения волны от молотка будет именно такой, не так просто.

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

5. Есть обобщение метода - метод медленно меняющихся амплитуд. Перед экспонентой стоит амплитуда - медленная функция по сравнению с экспонентой. Этот метод уже более общий, чем пробная волна. И как будто дает все, что необходимо. Причем уравнение для амплитуды решать не обязательно. Остается опять только алгера.

Ну он наверняка работает не на всём спектре. Опять же, с помощью него можно получить какой-то ответ и обсуждать его точность (точного решения в виде плоской волны, пусть даже с амплитудой, не будет). И вообще, все такие методы дают какое-то асимптотическое разложение решения, но обоснование асимптотик является куда более сложной задачей. Точные результаты есть в теории ПДО и интегральных операторов Фурье (например, четырёхтомник Хёрмандера).

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

Если коэффициенты непостоянны - это задача рассеяния. Кстати, после того, как задачу рассеяния стали решать применительно к теории солитонов, попутно нашли всякие новые решения и для этой задачи.

Это будет задачей рассеяния только в том случае, если уравнение имеет постоянные коэффициенты на бесконечности (ну или сводится к какому-то другому точно решаемому). Если коэффициенты переменные, то непонятно, с каким "свободным" оператором сравнивать. Но для определения скорости задача рассеяния, вообще говоря, не нужна. Скорость – локальное свойство среды. Как в задаче с молотком, нас вообще не интересует, что происходит за фронтом волны (если скорость конечна).

-- Чт, 31 июл 2014 02:48:19 --

----------------------------------

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

По-моему мы пытаемся обсуждать сразу несколько вопросов, причем некоторые из них могут оказаться побочными.

Собственно, все эти вопросы произошли из того, что я сказал, что скорость распространения вероятности в УШ равна бесконечности и не уточнил, что имел в виду максимально возможную скорость в точном смысле, а не скорость сразу всего пакета (которая, впрочем, может быть сделана сколь угодно большой с помощью даже кулоновского потенциала). Вроде как после уточнения мы особо не спорили.

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #891969 писал(а):

Т.е., утверждается, что КЭД решила "загадку" «корпускулярно-волнового дуализма».
А этот последний, как я понимаю, имеет прямое отношение к коллапсу волновой функции.

Нет, не имеет.

chislo_avogadro в сообщении #891969 писал(а):

Видимо, само представление о волновой функции является источником проблемы.
Фейнман волновую функцию нигде в лекции не упоминает. Есть подозрение, что вообще нигде.

Фейнмановское представление, в конечном счёте, эквивалентно волновой функции. В популярной лекции он об этом не рассказал, но в учебниках это излагается. Базовый учебник (если вы достаточно подготовлены теоретически и математически): Фейнман, Хиббс "Квантовая механика и интегралы по траекториям". Скачать можно где угодно.

-- 31.07.2014 15:43:20 --

Prikol в сообщении #891989 писал(а):

После его "КЭД - странной теории" вполне можно взяться за его многотомник ФЛФ. В последних томах волновая функция будет на каждом шагу.

Это слова человека, не читавшего ФЛФ. Как раз учебник Фейнмана интересен тем, что в нём волновую функцию избегают как только можно, и появляется она только в двух кратких экскурсах в 9 томе, а квантовой механике посвящены два последних тома, 8 и 9.

[Prikol]

g______d в сообщении #892047 писал(а):

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

Если коэффициенты непостоянны - это задача рассеяния. Кстати, после того, как задачу рассеяния стали решать применительно к теории солитонов, попутно нашли всякие новые решения и для этой задачи.

Это будет задачей рассеяния только в том случае, если уравнение имеет постоянные коэффициенты на бесконечности (ну или сводится к какому-то другому точно решаемому). Если коэффициенты переменные, то непонятно, с каким "свободным" оператором сравнивать. Но для определения скорости задача рассеяния, вообще говоря, не нужна. Скорость – локальное свойство среды. Как в задаче с молотком, нас вообще не интересует, что происходит за фронтом волны (если скорость конечна).

Есть задачи с периодическими коэффициентами, в том числе точно решаемые. При этом терминология несколько отличается от задачи рассеяния, но суть - та же.

Для определения скорости не нужна не только задача рассеяния, но и вообще случай переменных коэффициентов. Максимальная скорость, которая и нужна, будет в рассматриваемом уравнении с постоянными коэффициентами. Допустим мы такую скорость и соответствующий набор постоянных коэффициентов уже нашли. Если мы теперь эти коэффициенты просто изменим, оставив постоянными, скорость не увеличится. Если сделаем переменными, тоже не увеличится. Поэтому далее рассматриваем только УЧП с постоянными коэффициентами. Если коэффициенты переменные из за какой-нибудь сферической системы координат - переходим в обычную.

g______d в сообщении #892047 писал(а):

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

3. Есть прямой метод - подставить в уравнение небольшое локализованное в пространстве возмущение.

Собственно, этот прямой метод происходит из наиболее естественного определения скорости. Допустим, у нас есть волновое уравнение, описывающее мембрану. Мы стукнули молотком в её центр – это в точности значит, что задали начальное условие Коши, локализованное в окрестности точки (носитель – около места удара). А дальше смотрим, как быстро распространяется движение мембраны.

Можно спорить о том, что в КМ ударов молотком не бывает, и все частицы надо как-то создавать. Но КМ не описывает мир полностью, и нужно уметь учитывать ситуации, при которых что-то где-то создаётся с помощью какого-то воздействия, внешнего для КМ.

Берем УШ и "молоток" в виде начального П-образного возмущения. Решаем. Видим, что возмущение вообще никуда не движется, а только медленно расползается. Вывод - молоток грубовато, слишком узкий класс возмущений.

g______d в сообщении #892047 писал(а):

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

4. Есть не такой прямой метод - пробные волны. Достоинства - нужна только алгебра. Весь диапазон Фурье компонент сразу обозрим. Недостаток - неясно насколько он общий.

Это скорее метод получения ответа. Доказать с помощью него, что скорость распространения волны от молотка будет именно такой, не так просто.

Конечно не будет именно такой. Возмущение от молотка стоит на месте и медленно расползается, а пробная волна имеет широкий диапазон скоростей.

g______d в сообщении #892047 писал(а):

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

5. Есть обобщение метода - метод медленно меняющихся амплитуд. Перед экспонентой стоит амплитуда - медленная функция по сравнению с экспонентой. Этот метод уже более общий, чем пробная волна. И как будто дает все, что необходимо. Причем уравнение для амплитуды решать не обязательно. Остается опять только алгера.

Ну он наверняка работает не на всём спектре. Опять же, с помощью него можно получить какой-то ответ и обсуждать его точность (точного решения в виде плоской волны, пусть даже с амплитудой, не будет). И вообще, все такие методы дают какое-то асимптотическое разложение решения, но обоснование асимптотик является куда более сложной задачей. Точные результаты есть в теории ПДО и интегральных операторов Фурье (например, четырёхтомник Хёрмандера).

В методе используется именно весь спектр так как волновой вектор - произволен. Если коэффициенты УЧП постоянные, то плоская волна может быть точным решением, причем не только асимптотическим.

g______d в сообщении #892047 писал(а):

Prikol в сообщении #891981 писал(а):

По-моему мы пытаемся обсуждать сразу несколько вопросов, причем некоторые из них могут оказаться побочными.

Собственно, все эти вопросы произошли из того, что я сказал, что скорость распространения вероятности в УШ равна бесконечности и не уточнил, что имел в виду максимально возможную скорость в точном смысле, а не скорость сразу всего пакета (которая, впрочем, может быть сделана сколь угодно большой с помощью даже кулоновского потенциала). Вроде как после уточнения мы особо не спорили.

Собственно, осталось два важных момента.
1. Для определения максимальной скорости не нужны переменные коэффициенты в УЧП.
2. "Молоток" не дает весь спектр значений импульса (волнового вектора) и кроме того нужно решать УЧП, а альтернативный метод дает весь спектр и не требует решения УЧП, нужна только алгебра.

[g______d]

Prikol в сообщении #892087 писал(а):

Видим, что возмущение вообще никуда не движется, а только медленно расползается.

Ну да, только при этом сразу же на бесконечность уходит, хоть и экспоненциально малой частью.

Prikol в сообщении #892087 писал(а):

Конечно не будет именно такой. Возмущение от молотка стоит на месте и медленно расползается, а пробная волна имеет широкий диапазон скоростей.

В этом месте я имел в виду волновое уравнение, в котором она будет именно такой в точном смысле.

Prikol в сообщении #892087 писал(а):

В методе используется именно весь спектр так как волновой вектор - произволен. Если коэффициенты постоянные, то плоская волна может быть точным решением, причем не только асимптотическим.

Речь про переменные коэффициенты. В этом случае плоская волна может быть вообще ни при чём.

Prikol в сообщении #892087 писал(а):

1. Для определения максимальной скорости не нужны уравнения с переменными коэффициентами.

Мне кажется, я (или Вы) ставили вопрос по-другому. Дано уравнение, найти максимальную скорость распространения возмущений. А не найти уравнение с максимально возможной скоростью распространения.

Prikol в сообщении #892087 писал(а):

2. "Молоток" не дает весь спектр значений импульса (волнового вектора) и кроме того нужно решать УЧП, а альтернативный метод дает весь спектр и не требует решения УЧП, нужна только алгебра.

"молоток" – это даже не метод поиска, а определение понятия максимальной скорости для данного уравнения (в точном смысле), имеющее прямой физический смысл. Максимальный радиус корреляции, поделить на время.

"Альтернативный метод" – это способ получения какого-то ответа с помощью подстановки плоских волн; но потом ещё надо доказывать, что этот ответ и является физической скоростью распространения точечных возмущений; что любое решение равно нулю вне круга достаточно большого радиуса, зависящего от $t$.

Давайте рассмотрим для простоты пример волнового уравнения $(\partial_t^2-\Delta)u=0$, где эта скорость конечна.

Каким образом из рассуждения про плоские волны получается, что точечные возмущения в принципе не могут распространяться быстрее скорости плоской волны?

Дальше, давайте заменим $-\Delta$ на $-\partial_i g^{ij}(x)\partial_j$, где $g^{ij}(x)$ – риманова метрика, не сводящаяся заменой переменных к какой-то известной системе координат. Можете с помощью метода плоских волн получить точную оценку на скорость распространения возмущений и доказать, что за пределы этой скорости ничего никогда не вылезет? Она будет переменной, конечно, и зависеть от $g$. Меня даже интересует не столько формула (которую можно написать эвристически, заморозив коэффициенты), а доказательство, что это именно максимально возможная скорость, а не какой-то первый член асимптотики.

[chislo_avogadro]

Munin в сообщении #892070 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #891969 писал(а):

Т.е., утверждается, что КЭД решила "загадку" «корпускулярно-волнового дуализма».
А этот последний, как я понимаю, имеет прямое отношение к коллапсу волновой функции.

Нет, не имеет.

Для начала не соглашусь :) Вспомним ещё раз фейнмановское описание "корпускулярно-волнового дуализма":

Цитата:

волновая теория предсказала,
что «щелчки» фотоумножителя будут становиться все
тише и тише, в то время как они сохраняли полную силу, и только
раздавались все более редко

Разве это не описание коллапса?

Уравнение Шрёдингера описывает, скажем, сферическую электронную волну, амплитуда уменьшается с удалением от центра, а регистрироваться электрон будет всё равно целиком. Хоть и реже. Об этом Фейнман и пишет.

Munin в сообщении #892070 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #891969 писал(а):

Видимо, само представление о волновой функции является источником проблемы.
Фейнман волновую функцию нигде в лекции не упоминает. Есть подозрение, что вообще нигде.

Фейнмановское представление, в конечном счёте, эквивалентно волновой функции. В популярной лекции он об этом не рассказал, но в учебниках это излагается. Базовый учебник (если вы достаточно подготовлены теоретически и математически): Фейнман, Хиббс "Квантовая механика и интегралы по траекториям". Скачать можно где угодно.

Положа руку на сердце - даст эта книга что-то большее, чем та, что я цитирую, в отношении этой темы? :)

Т.е. в фейнмановской формулировке квантовой механики (конечно, эквивалентной шрёдингеровской), как я понимаю, имеется начальное состояние частицы, имеются пути по которым она следует в точку регистрации, и по ним определяется вероятность регистрации. Коллапса нет. Это, видимо, и есть то,

Цитата:

как эта загадка была в конце концов «разрешена»

Почему-то в кавычках :)

[Prikol]

g______d в сообщении #892091 писал(а):

Мне кажется, я (или Вы) ставили вопрос по-другому. Дано уравнение, найти максимальную скорость распространения возмущений. А не найти уравнение с максимально возможной скоростью распространения.

Про "найти уравнение" я не говорил. Переменные коэффициенты возникают обычно из за неоднородности среды. Поэтому точнее сказать - найти параметры среды при заданном уравнении. А еще лучше сказать - рассмотрим вакуумное решение. В вакууме групповые скорости получаются вроде бы максимальными. Если же среда принципиально важна, то рассматриваем случай однородной среды - коэффициенты постоянны.

g______d в сообщении #892091 писал(а):

"молоток" – это даже не метод поиска, а определение понятия максимальной скорости для данного уравнения (в точном смысле), имеющее прямой физический смысл. Максимальный радиус корреляции, поделить на время.

Проблема в том, что хвосты экспоненциально малы. Если аналитического решения УЧП нет, а в численном решении хвосты потонули в ошибках округления, то в точном смысле не получится. (Пару-тройку первых членов асимптотики не предлагать!)

g______d в сообщении #892091 писал(а):

Давайте рассмотрим для простоты пример волнового уравнения $(\partial_t^2-\Delta)u=0$, где эта скорость конечна.

Каким образом из рассуждения про плоские волны получается, что точечные возмущения в принципе не могут распространяться быстрее скорости плоской волны?

Если для такого уравнения точечные возмущения можно разложить в спектр Фурье, то вроде должно получиться. Если нельзя, то кто знает? Можно только сказать, что методом Фурье доказать это вряд ли удастся.

Интересно было бы увидеть какой-нибудь ВАШ пример точечного или другого возмущения, которое имеет скорость больше, чем любая его Фурье компонента для данного вами выше уравнения. Один ваш пример такого рода будет лучше, чем тома рассуждений о том, что такой пример возможно теоретически существует. Ограничимся при этом вашим уравнением данным выше $(\partial_t^2-\Delta)u=0$

g______d в сообщении #892091 писал(а):

Дальше, давайте заменим $-\Delta$ на $-\partial_i g^{ij}(x)\partial_j$, где $g^{ij}(x)$ – риманова метрика, не сводящаяся заменой переменных к какой-то известной системе координат. Можете с помощью метода плоских волн получить точную оценку на скорость распространения возмущений и доказать, что за пределы этой скорости ничего никогда не вылезет? Она будет переменной, конечно, и зависеть от $g$. Меня даже интересует не столько формула (которую можно написать эвристически, заморозив коэффициенты), а доказательство, что это именно максимально возможная скорость, а не какой-то первый член асимптотики.

Примеры, которые мы рассматриваем, постоянно усложняются (что очень хорошо). При этом исходные утверждения, которые были сделаны для УШ, УД, ВУ, становятся уже неприменимыми (что нормально). Но мы как бы хотим, чтобы эти исходные утверждения оставались по прежнему применимыми (что плохо, ибо невозможно)

[g______d]

Prikol в сообщении #892107 писал(а):

Если для такого уравнения точечные возмущения можно разложить в спектр Фурье, то вроде должно получиться.

Можно разложить. Можно даже проследить, как фурье-образ точечного возмущения будет эволюционировать. Проблема в том, что надо потом делать обратное Фурье и доказывать, что результат будет равен нулю вне шара, что достаточно сложно; компактность носителя непросто (хотя и не невозможно) проследить, глядя на фурье-образ.

Prikol в сообщении #892107 писал(а):

Если аналитического решения УЧП нет, а в численном решении хвосты потонули в ошибках округления, то в точном смысле не получится.

Почему? Можно доказать, что решение не равно нулю, не находя это решение явно. Между точно решаемыми моделями в УЧП и численными методами куча строгих результатов. Более того, многие специалисты по УЧП часто "презирают" как точно решаемые модели, так и численные методы :)

Prikol в сообщении #892107 писал(а):

Интересно было бы увидеть какой-нибудь ВАШ пример точечного или другого возмущения, которое имеет скорость больше, чем любая его Фурье компонента для данного выше уравнения.

Так а я не говорю, что такой пример существует; но из метода Фурье это если и следует, то совершенно не очевидно.

Prikol в сообщении #892107 писал(а):

Примеры, которые мы рассматриваем, постоянно усложняются (что очень хорошо). При этом исходные утверждения, которые были сделаны для УШ, УД, ВУ, становятся уже неприменимыми (что нормально). Но мы как бы хотим, чтобы эти исходные утверждения оставались по прежнему применимыми (что плохо, ибо невозможно)

Утверждение про конечность скорости распространения верно как для обычного ВУ, так и для ВУ с метрикой. Но в последнем случае нет никакой надежды получить точное доказательство с помощью Фурье.

[Prikol]

chislo_avogadro в сообщении #892099 писал(а):

Т.е. в фейнмановской формулировке квантовой механики (конечно, эквивалентной шрёдингеровской), как я понимаю, имеется начальное состояние частицы, имеются пути по которым она следует в точку регистрации, и по ним определяется вероятность регистрации. Коллапса нет.

Есть много потенциально возможных точек регистрации. А потом из них кто-то и как-то выбирает одну. Кто и как?

[chislo_avogadro]

Prikol в сообщении #892111 писал(а):

Есть много потенциально возможных точек регистрации. А потом из них кто-то и как-то выбирает одну. Кто и как?

Если вопрос о том, кто, куда и как ставит регистрирующее устройство, то всё это несущественно. Но (вероятно, кроме первого) должно быть, конечно, учтено в расчёте.

[Prikol]

g______d в сообщении #892110 писал(а):

Prikol в сообщении #892107 писал(а):

Если для такого уравнения точечные возмущения можно разложить в спектр Фурье, то вроде должно получиться.

Можно разложить. Можно даже проследить, как фурье-образ точечного возмущения будет эволюционировать. Проблема в том, что надо потом делать обратное Фурье и доказывать, что результат будет равен нулю вне шара, что достаточно сложно; компактность носителя непросто (хотя и не невозможно) проследить, глядя на фурье-образ.

Согласен с тем, что достаточно сложно.

g______d в сообщении #892110 писал(а):

Prikol в сообщении #892107 писал(а):

Если аналитического решения УЧП нет, а в численном решении хвосты потонули в ошибках округления, то в точном смысле не получится.

Почему? Можно доказать, что решение не равно нулю, не находя это решение явно. Между точно решаемыми моделями в УЧП и численными методами куча строгих результатов. Более того, многие специалисты по УЧП часто "презирают" как точно решаемые модели, так и численные методы :)

Если "точно решаемые модели" дают решение задачи Коши для произвольных НУ, то как можно это "презирать"?

Про кучу строгих результатов - интересно! Можете применить один из них для ответа на следующий вопрос.

Для уравнения $(\partial_t^2-\Delta)u=0$ методом плоских волн была найдена максимальная скорость распространения возмущений равная $V_m = 1$. Необходимо уточнить полученное значение $V_m$ используя вашу кучу строгих результатов или любую другую кучу .

-- 31.07.2014, 18:56 --

chislo_avogadro в сообщении #892113 писал(а):

Prikol в сообщении #892111 писал(а):

Есть много потенциально возможных точек регистрации. А потом из них кто-то и как-то выбирает одну. Кто и как?

Если вопрос о том, кто, куда и как ставит регистрирующее устройство, то всё это несущественно. Но (вероятно, кроме первого) должно быть, конечно, учтено в расчёте.

Регистрирующее устройство - это плоский экран расположенный после двух щелей. На нем много точек - максимумов интерференционной картины. Выбираем 10 таких точек (хотя их много). Для каждой можно ввести кучу траекторий и интегралов по ним, как учит Фейнман.

Затем проводим ровно один эксперимент. Наблюдается ровно одна вспышка в одной точке экрана. Кто и как из многих возможностей для положения вспышки на экране выбрал только одно из положений?

[g______d]

Prikol в сообщении #892115 писал(а):

Необходимо уточнить (улучшить и т.д.) этот результат используя вашу кучу строгих результатов или любую другую кучу .

Нельзя, там ответ ровно 1. Меня просто обычно интересует не только "найти", но и "доказать".

-- Чт, 31 июл 2014 08:06:04 --

Prikol в сообщении #892115 писал(а):

Если "точно решаемые модели" дают решение задачи Коши для произвольных НУ, то как можно это "презирать"?

Для произвольных НУ и достаточно произвольных уравнений? Хоть в каком-нибудь смысле?

[Prikol]

g______d в сообщении #892117 писал(а):

Нельзя, там ответ ровно 1.

Хорошо! Напишите какое-нибудь линейное УЧП с постоянными коэффициентами и ВАШ ответ для этого уравнения $V_m = ?$, который вы уже знаете. Потом я попробую найти $V_m = ?$ другим способом.

Доказательства - на потом...

g______d в сообщении #892117 писал(а):

Prikol в сообщении #892115 писал(а):

Если "точно решаемые модели" дают решение задачи Коши для произвольных НУ, то как можно это "презирать"?

Для произвольных НУ и достаточно произвольных уравнений? Хоть в каком-нибудь смысле?

НУ действительно произвольные, уравнения - нет, но довольно широкий класс уравнений.

[g______d]

Prikol в сообщении #892122 писал(а):

Хорошо! Напишите какое-нибудь линейное УЧП с постоянными коэффициентами и ВАШ ответ для этого уравнения $V_m = ?$, который вы уже знаете. Потом я попробую найти $V_m = ?$ другим способом.

Я могу написать, но зачем? Я заранее могу сказать, что ответ получится одинаковый.

-- Чт, 31 июл 2014 08:36:55 --

Prikol в сообщении #892122 писал(а):

Доказательства - на потом...

И случае постоянных, и в случае переменных коэффициентов именно доказательства меня в основном и интересовали.

-- Чт, 31 июл 2014 08:37:28 --

Prikol в сообщении #892122 писал(а):

НУ действительно произвольные, уравнения - нет, но довольно широкий класс уравнений.

Вполне интегрируемые?

[Prikol]

g______d в сообщении #892123 писал(а):

Вполне интегрируемые?

Вам "вполне интегрируемые" в смысле "по Лиувиллю"?