Соотношения с конечными разностями

[ctepuha]

Отделил от «Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения», чтобы можно было полноценно обсуждать.

Не знаю, есть ли где-то в просторах интернета такое, но тоже очень понравилось:
разность разности квадратов трёх последовательных чисел всегда равна 2 (может неправильно выразился), выглядит примерно так
$((a+2)^2-(a+1)^2)-((a+1)^2-a^2)=2$
хотя из существующего утверждения "разность квадратов двух последовательных чисел равна сумме этих чисел" это почти вытекает, но всё же красиво.

[g______d]

Не малоизвестное:

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference

следствие элементарного факта, что разностная производная полинома степени $\le n$ -- полином степени $\le n-1$, известно ещё Ньютону в гораздо более общей формулировке.

[Someone]

ctepuha в сообщении #1373663 писал(а):

Не знаю, есть ли где-то в просторах интернета такое

В таком виде это упражнение для школьников, которые начали изучать формулы сокращённого умножения.
Интереснее такой вариант.
Напишем последовательность $n$-ых степеней натуральных чисел: $1^n$, $2^n$, $3^n$, …
Вычислим разности соседних членов этой последовательности (первые разности): $2^n-1^n$, $3^n-2^n$, $4^n-3^n$, …
Вычислим разности первых разностей (вторые разности).
…
Дойдя до $n$-ых разностей, обнаружим, что они все одинаковые: $n!$, $n!$, $n!$, …

[novichok2018]

можно не 1,2,3 а любые числа взять. Это же значения многочлена $x^n$, для любого многочлена предпоследняя строка таблицы разностей постоянная, а последняя-нули.

[Коровьев]

Есть интересное соотношение с конечными разностями для простых чисел.
Выпишем в ряд множество последовательных простых чисел.
Под каждой парой выпишем их разность по абсолютной величине.
Продолжим аналогично и с этим рядом.
И т.д.
В результате получается, что все ряды, начиная со второго, начинаются с единицы.
Доказано или нет,что все ряды начинаются с единицы, мне неизвестно, но проверено для очень большого числа простых чисел.

[vicvolf]

Коровьев в сообщении #1374009 писал(а):

Есть интересное соотношение с конечными разностями для простых чисел.
Выпишем в ряд множество последовательных простых чисел.
Под каждой парой выпишем их разность по абсолютной величине.
Продолжим аналогично и с этим рядом.
И т.д.
В результате получается, что все ряды, начиная со второго, начинаются с единицы.
Доказано или нет,что все ряды начинаются с единицы, мне неизвестно, но проверено для очень большого числа простых чисел.

topic55533.html

[Someone]

novichok2018 в сообщении #1373978 писал(а):

можно не 1,2,3 а любые числа взять

Я всё-таки хотел бы уточнить, что не любые, арифметическая прогрессия.

novichok2018 в сообщении #1373978 писал(а):

Это же значения многочлена $x^n$, для любого многочлена предпоследняя строка таблицы разностей постоянная

$n$-я.

novichok2018 в сообщении #1373978 писал(а):

а последняя-нули.

$n+1$-я и все последующие.

[Soul Friend]

Someone в сообщении #1373666 писал(а):

Напишем последовательность $n$-ых степеней натуральных чисел: $1^n$, $2^n$, $3^n$, …
Вычислим разности соседних членов этой последовательности (первые разности): $2^n-1^n$, $3^n-2^n$, $4^n-3^n$, …

«Разность чисел в степени в последовательностях до нуля»