2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение31.12.2020, 17:56 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Для полинома $p(x)$ степени $n$ с корнями $r_1,\dots,r_n$ определим:
$$V(p) := \sum_{1\leq i<j\leq n} (r_i-r_j)^4.$$
Докажите, что для кубических полиномов $p$ соотношение $\frac{V(p)}{V(p')}$ является константой, не зависящей от $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение31.12.2020, 18:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Это прям новогодний подарок для моих студентов, тема "симметрические многочлены" как раз входит в программу экзамена.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение31.12.2020, 21:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov, более интересный вопрос - можно ли этот результат как-то обобщить? У меня не получилось. Выглядит как какой-то очень изолированный и особый случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение01.01.2021, 09:12 


16/08/05
1146
Красиво!

(81/8)

Код:
mxl()=
{
a= (-1)^random(2)*(random(100)+1);
b= (-1)^random(2)*(random(100)+1);
c= (-1)^random(2)*(random(100)+1);
f= (-1)^random(2)*(random(100)+1);
p= a*'x + b*'x^2  + c*'x^3 + f;
print("p = "p);
print("p' = "p');
R= polroots(p)~;
r1= R[1]; r2= R[2]; r3= R[3];
Rd= polroots(p')~;
rd1= Rd[1]; rd2= Rd[2];
c= ((r1-r2)^4 + (r1-r3)^4 + (r2-r3)^4)/(rd1-rd2)^4;
print("const = "c)
};

Для обобщения: быть может в знаменателе не сумма, или константа не дробь а сумма дробей в степени $n+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение01.01.2021, 10:20 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
maxal, не знаю, насколько это похоже на ваше, но я как-то вывел следующее утверждение. Пусть $z_1,\ldots,z_n$ — корни многочлена $P(z)$ степени $n$ со старшим коэффициентом единица, а $z'_1,\ldots,z'_{n-1}$ — корни $P'(z)$. Тогда
$$
\prod_{k=1}^nP'(z_k)=n^n\prod_{k=1}^{n-1}P(z'_k).
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение01.01.2021, 13:21 


16/08/05
1146
В принципе формулами Виета и оператором Результант можно показать, что константа равна 81/8. Но наверное имелось ввиду какое-то более человеческое доказательства, а это машинерия в CAS.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение01.01.2021, 13:25 


21/05/16
4292
Аделаида
Наверное, $V(p)$ можно выразить через коэффициенты $p$ с помощью Виета...

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение01.01.2021, 14:31 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
kotenok gav в сообщении #1498573 писал(а):
Наверное, $V(p)$ можно выразить через коэффициенты $p$ с помощью Виета...
Разумеется, можно, ибо $V(p)$ есть симметрический многочлен от переменных $r_1,\dots,r_n$. Это чисто техническое упражнение. А настоящий вопрос --- это почему вдруг для кубического многочлена указанное отношение есть абсолютная константа. Производит впечатление какого-то чуда.

maxal
а откуда сей факт?

-- Пт янв 01, 2021 18:34:57 --

Vince Diesel в сообщении #1498561 писал(а):
Пусть $z_1,\ldots,z_n$ — корни многочлена $P(z)$ степени $n$ со старшим коэффициентом единица, а $z'_1,\ldots,z'_{n-1}$ — корни $P'(z)$.
Кажется, здесь вместо производной можно взять любой другой многочлен.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение01.01.2021, 15:45 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
nnosipov в сообщении #1498576 писал(а):
Кажется, здесь вместо производной можно взять любой другой многочлен.

Это я пропустил. В такой формулировке утверждение становится очевидным. А я его доказывал с помощью матанализа, уже не помню как.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение01.01.2021, 17:26 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #1498576 писал(а):
а откуда сей факт?

В обсуждении на MO вылезло. Кстати, если 4-ку в степенях заменить на 2-ку, то указанное соотношение зависит лишь от степени $p$. Но этот факт ещё проще и не особо впечатляет.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение01.01.2021, 20:13 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
nnosipov в сообщении #1498576 писал(а):
Кажется, здесь вместо производной можно взять любой другой многочлен
Кажется, сообразил. Но только если хотя бы одна степень чётная. И старший член единица. Точнее, там произведение степеней старших членов вырисовывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение02.01.2021, 12:29 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
maxal в сообщении #1498581 писал(а):
Кстати, если 4-ку в степенях заменить на 2-ку, то указанное соотношение зависит лишь от степени $p$


Для кубического полинома тождество $(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4=1/2((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)^2$ делает случаи с 4 и 2 в степенях эквивалентными.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение02.01.2021, 14:13 


16/08/05
1146
Если $k,l$ порядки соответствующих производных исходного полинома, то $\dfrac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(l)})}$ вероятно тоже зависит только от $n,k,l$

(тест-код)

Код:
mxln(n,k,l)=
{
m= 2;
p= sum(i=0, n, (-1)^random(2)*(random(100)+1)*'x^i);
\\ print("\npolynomial:\n"p);
s= p; for(i=1, k, s= s');
\\ print("\n("k")-derivative:\n"s);
t= p; for(i=1, l, t= t');
\\ print("\n("l")-derivative:\n"t);
S= polroots(s)~;
T= polroots(t)~;
Vs= sum(i=1, #S-1, sum(j=i+1, #S, (S[i]-S[j])^m));
Vt= sum(i=1, #T-1, sum(j=i+1, #T, (T[i]-T[j])^m));
c= Vs/Vt;
\\ print(Vs); print(Vt);
print("\nc = "c);
};

Причем возможно этот коэффициент есть функция двух переменных $\dfrac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(l)})}=f(n-k,n-l)$, т.к. выборочные проверки демонстрируют, что при одинаковом сдвиге всех троих $n,k,l$ значение коэффициента не меняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение02.01.2021, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
dmd в сообщении #1498639 писал(а):
при одинаковом сдвиге всех троих $n,k,l$ значение коэффициента не меняется.
Это как раз очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: соотношение кубического полинома со своей производной
Сообщение02.01.2021, 17:01 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
dmd в сообщении #1498639 писал(а):
Если $k,l$ порядки соответствующих производных исходного полинома, то $\dfrac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(l)})}$ вероятно тоже зависит только от $n,k,l$

Это очевидно. Например, при условии $l>k$ имеем:
$$\frac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(l)})} = \frac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(k+1)})}\cdot \frac{V_2(p^{(k+1)})}{V_2(p^{(k+2)})} \cdots \frac{V_2(p^{(l-1)})}{V_2(p^{(l)})},$$
где каждый множитель является функцией от $n,k,l$.

-- Sat Jan 02, 2021 09:03:39 --

scwec в сообщении #1498635 писал(а):
Для кубического полинома тождество $(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4=1/2((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)^2$ делает случаи с 4 и 2 в степенях эквивалентными.

Да, похоже, это объясняет обособленность кубического случая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group