Мнимые числа (философия в математике)

[Dan B-Yallay]

warlock66613
Исправлено.

[Munin]

Stan Slapenarski в сообщении #820208 писал(а):

Сa6o показал, что в эпоху Евклида слово «аксиома», как и «постулат», обозначало предположение в критическом диалоге (диалектическом), выставленное для того, чтобы проверить следствия, причем партнер по дискуссии не обязан был принимать его как истину. По иронии истории его значение оказалось перевернутым.

Тогда уж - дважды перевёрнутым. В эпоху аксиоматизации математики (от конца 19 века, Гильберта, до середины 20, Бурбаки), понятие "аксиома" стало означать предложение, принимаемое за истинное только для рассуждений в рамках очерченной теории (или формальной теории), и интересное для того, чтобы проверить его следствия. Вне этих рамок ни партнёр по дискуссии, ни сам автор не обязаны принимать его за истину. Это близко к первоначальному значению (если Сабо прав). Вот уж действительно, ирония истории!

warlock66613 в сообщении #820213 писал(а):

можно избежать слов в кавычках, если заменить слово "истинных" (в кавычках) на слово "собственно" (без кавычек) :-)

Надо всё-таки сказать чётко, что теорема $\mathscr{A}$ теории $\mathscr{S}$ называется собственно теоремой, если не существует её вывода длины 1.

[Joker_vD]

Это что, спор о том, какие утверждения следует брать за аксиомы? Ну, это вопрос больше к индуктивной логике, насколько я понимаю.

[Linkey]

Цитата:

Я думаю, что он написал бы, что настоящие аксиомы не нуждаются в доказательстве из-за ихаподиктической очевидности.

Прочитал бегло книжку Пермионова, мало что понял. Наверно, мне не хватает знаний математики и логики. Как я понимаю, есть два основных определения аксиомы, к которым я бы добавил ещё одно:
1) истина, принимаемая на веру без доказательств. Такое определение дано в Википедии. Таких аксиом много в религии.
2) Самоочевидная истина, не нуждающаяся в доказательствах. Это определение Пермионова, "аподиктическая очевидность". Например, $2+2=4$.
3) Собственно определение. Например, $3>2$ - определение знака >.

[Linkey]

Пермионов приводит примеры, когда человеческая интуиция подводит, только я их не понял. Что такое "непрерывная функция, не имеющая производную", "кривая, полностью заполняющая квадрат", "способ рассечения шара на части, из которых можно можно собрать два равновеликих ему шара"?

[Nemiroff]

Linkey в сообщении #821465 писал(а):

непрерывная функция, не имеющая производную

Это функция, которая непрерывна, но не имеет производной.

Linkey в сообщении #821465 писал(а):

кривая, полностью заполняющая квадрат

Это кривая, образ которой является квадратом.

Linkey в сообщении #821465 писал(а):

способ рассечения шара на части, из которых можно можно собрать два равновеликих ему шара

Шар "можно разбить" на несколько кусков, из которых потом собрать два шара, таких же, как исходный.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #821465 писал(а):

Что такое "непрерывная функция, не имеющая производную", "кривая, полностью заполняющая квадрат" [...] ?

Для того, чтобы понять, что это такое, нужно понять термины, которые в эти словосочетания входят. А учебники по матану Вы не хотите читать, судя по предыдущим разговорам.

С шаром же такая фигня: исходя из "самоочевидной истины" о том, что произведение бесконечного числа непустых множеств непусто (аксиома выбора), можно доказать, что можно разбить шар на пять множеств точек так, что передвинув их, можно получить два шара, конгруэнтных исходному.

[Linkey]

Xaositect в сообщении #821479 писал(а):

Linkey в сообщении #821465 писал(а):

Что такое "непрерывная функция, не имеющая производную", "кривая, полностью заполняющая квадрат" [...] ?

С шаром же такая фигня: исходя из "самоочевидной истины" о том, что произведение бесконечного числа непустых множеств непусто (аксиома выбора), можно доказать, что можно разбить шар на пять множеств точек так, что передвинув их, можно получить два шара, конгруэнтных исходному.

Это парадокс, софизм или что-то другое?

[Nemiroff]

Linkey в сообщении #821484 писал(а):

Это парадокс, софизм или что-то другое?

Это факт.

[Xaositect]

Linkey в сообщении #821484 писал(а):

Это парадокс, софизм или что-то другое?

Это теорема, которую часто называют парадоксом Банаха-Тарского.

[Aritaborian]

Linkey в сообщении #821465 писал(а):

Что такое "непрерывная функция, не имеющая производную"

Пример (придуман Бернхардом Риманом): $f(x)=\sum \limits _{k=1}^{\infty } \frac{\sin \left(k^2 x\right)}{k^2}$.
График:

Linkey в сообщении #821465 писал(а):

"кривая, полностью заполняющая квадрат"

Пример (придуман Давидом Гильбертом):

(Это, само собой, лишь одна из итераций.)

[Munin]

Aritaborian
За график $f(x)=\sum\limits _{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin(k^2x)}{k^2}$ спасибо.

[Aritaborian]

Я уже рассказывал о ней месяц назад.

[Sonic86]

Munin в сообщении #821513 писал(а):

Aritaborian
За график $f(x)=\sum\limits _{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin(k^2x)}{k^2}$ спасибо.

+1! И от меня спасибо!

Aritaborian в сообщении #821531 писал(а):

Я уже рассказывал о ней
месяц назад.

Одно дело - формула, существенно другое - столь точный график
А литературу не подскажете? Интересно, есть ли для этой функции функциональное уравнение...

[Munin]

Очень наглядный.

И ту тему, где вы о ней рассказывали, я не читал.