Теорема Ферма. Есть ли доказательство её?

[Гаджимурат]

vasili в сообщении #799678 писал(а):

Уважаемый Гаджимурат! Посмотрите тему
"По просьбе ishhan: ВТФ и симметричные функции"

Посмотрел.Там ничего не говорится о доказательстве ,а некто Феликс Шмидель (надеюсь,что он не обидится,но я его точно не знаю и не читал его статьи) пишет...Я не доказал, что $xy+xz+yz$ делится на $n$ или на $n^2$ для всех $n$, только проверил это при помощи компьютера для многих значений $n$.
Компьютер проверял, для каких значений $x$ выполняется сравнение:
Часто пишется .. $xy+xz+yz$ (1) делится на $n$ ,а то $xy+xz-yz$ (2) делится на $n$. Что это?.Для меня очень важны знаки,я работаю исходя из условий элементарной математики ,где плюс,это плюс и наоборот,минус,это минус!!.Так что vasili извините,все рассуждения ,что кто то и что то доказал ,используя формулы (1) и (2) является не корректным.Вот пример.В книге М.М. Постникова ..."теорема Ферма"упоминается без доказательства,но со ссылкой,что для всех регулярных степеней для 1 случая Ферма должно выполняться условие $y-x$ делится на $n$. Я использую это условие и ищу что то подобное для не регулярных степеней!!.Жду от вас снова ссылку ,где бы было доказано условие,что $xy+xz-yz$ делится на $n$ ,причем какое $n$ ...регулярное или не регулярное число.

[Belfegor]

Гаджимурат в сообщении #799726 писал(а):

Феликс Шмидель (надеюсь,что он не обидится,но я его точно не знаю и не читал его статьи)

Уважаемый Гаджимурат!
Обязательно почитайте темы Феликс Шмидель по доказательству ВТФ для 3 степени!!!

[vasili]

Уважаемый Гаджимурат! В теме которую я указал следует смотреть на стр.7 мое сообщение от 5.12.2013 г.

[glukmaker]

Где можно найти доказательство самого Ферма для n=4 ?
А то сколько ни гуглю, нахожу только что такое доказательство есть, а самого доказательства так и не смог найти.

[Sonic86]

glukmaker в сообщении #882496 писал(а):

Где можно найти доказательство самого Ферма для n=4 ?

Доказательство есть в Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. Вроде как Ферма доказывал так же - бесконечным спуском.

[lasta]

Belfegor в сообщении #797484 писал(а):

При переходе от 2 степени происходит какой-то принципиальный скачок для тройки чисел.

Уважаемый Belfegor!
Вы правы. И этот скачок объясняется просто. Разность соседних квадратов $2a+1$. Множество этих разностей эквивалентно множеству всех нечетных чисел. Поэтому любому нечетному квадрату как минимум найдется разность соседних квадратов равная этому квадрату. Для других степеней разность соседних также нечетная. Но из-за нелинейности множество этих разностей не содержит всех нечетных чисел. Исключаются как раз нечетные степени. А вот почему. В этом и есть все величие теоремы.

[mihail6969]

Цитата:

Разность соседних квадратов $2a+1$

Можно написать как то так , чтобы было нагляднее .
$x^n$


$n=1$
$ \begin{array}{ccccccccccccccccccccc} &1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&8&&9&&10\\ &&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1 \end{array} $
ряд снизу - разница между соседними числами

$n=2$
$ \begin{array}{cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc} &1&&4&&9&&16&&25&&36&&49&&64&&81&&100\\ &&3&&5&&7&&9&&11&&13&&15&&17&&19\\ &&&2&&2&&2&&2&&2&&2&&2&&2 \end{array} $
для второй степени можно добавить разницу между "разницами"

$n=3$
$ \begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc} 0&&1&&8&&27&&64&&125&&216&&343&&512&&729&&1000 \\ &1&&7&&19&&37&&61&&91&&127&&169&&217&&271\\ &&6&&12&&18&&24&&30&&36&&42&&48&&54\\ &&&6&&6&&6&&6&&6&&6&&6&&6 \end{array} $
для третьей степени , если продолжить по такому же принципу получается три ряда (похоже что $x^3 - x$ делиться на 6 без остатка )

для четвертой , пятой и шестой
$n=4$
$ \begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc} 0&&1&&16&&81&&256&&625&&1296&&2401\\ &1&&5&&65&&175&&369&&671&&1105\\ &&14&&50&&110&&194&&302&&434\\ &&&36&&60&&84&&108&&132\\ &&&&24&&24&&24&&24 \end{array} $

$n=5$
$ \begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc} 0&&1&&32&&243&&1024&&3125&&7776&&16807\\ &1&&31&&211&&781&&2101&&4651&&9031\\ &&30&&180&&570&&1320&&2550&&4380\\ &&&150&&390&&750&&1230&&1830\\ &&&&240&&360&&480&&600\\ &&&&&120&&120&&120 \end{array} $

$n=6$
$ \begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc} 0&&1&&64&&729&&4096&&15625&&46656&&117649&&262144\\ &1&&63&&665&&3367&&11529&&31031&&70993&&144495\\ &&62&&602&&2702&&8162&&19502&&39962&&73502\\ &&&540&&2100&&5460&&11340&&20460&&33540\\ &&&&1560&&3360&&5880&&9120&&13080\\ &&&&&1800&&2520&&3240&&3960\\ &&&&&&720&&720&&720 \end{array} $

Каждый ряд ниже - разница между соседними числами .
Интересно , если продолжить дальше для других степеней , будет ли продолжаться так же ,что самый нижний ряд равен факториалу степени ?

[Lia]

mihail6969
Сообщение здесь. Поправьте, пожалуйста.

Возвращено.

[niknegodin]

Вы никогда не задумывались над тем, что если теорема Ферма доказана для третьей степени, то это означает, что она вообще доказана.
А ведь это на самом деле так и есть.
Таким образом, впервые эту теоремы доказал Эйлер еще в 1770 году.

[Гаджимурат]

niknegodin в сообщении #928601 писал(а):

Вы никогда не задумывались над тем, что если теорема Ферма доказана для третьей степени, то это означает, что она вообще доказана.
А ведь это на самом деле так и есть.
Таким образом, впервые эту теоремы доказал Эйлер еще в 1770 году.

-- Вс ноя 09, 2014 13:11:56 --

Вы никогда не задумывались над тем, что если теорема Ферма доказана для третьей степени, то это означает, что она вообще доказана.
А ведь это на самом деле так и есть.
Таким образом, впервые эту теоремы доказал Эйлер еще в 1770 году.

Ну если метод доказательства Эйлера подходит для любой степени,то да,вы правы.Но вот беда, метод доказательства Эйлера работает для 3- й степени и только,для остальных он не даёт ответа.Вы глубоко ошибаетесь.

[Yarkin]

mihail6969 в сообщении #923694 писал(а):

Интересно , если продолжить дальше для других степеней , будет ли продолжаться так же ,что самый нижний ряд равен факториалу степени ?

Красота. Доказательство того, что Гаджимурат прав. Никакого скачка! Полная закономерность!

[iifat]

mihail6969 в сообщении #923694 писал(а):

Интересно , если продолжить дальше для других степеней , будет ли продолжаться так же ,что самый нижний ряд равен факториалу степени ?

Да. Если интересно, попробуйте доказать по индукции. Не думаю, что это так уж слолжно.

[zt09]

Разность значений функции - это по сути ее приращение для определенного приращения аргумента.Так что вышеприведенная табличка - по сути определение приращения степенной функции для приращения аргумента $\Delta x=1$.
Проблема в том, что приращение $2x+1$ для $x^2$ будет таковым только для случая $\Delta x=1$, и его вид будет другой при $\Delta x=2,3...$.
Приращение степенной функции в общем случае находится через бином Ньютона, и именно там появляется факториал.

Применительно к Теореме Ферма это интересно тем, что приращение функции можно принять равным $a^n=c^n-b^n$. Таким образом легко искать (проверять) решения, удовлетворяющие ТФ.

Например, для случая $\Delta x=1, n=2$, решения будут в виде $a=\sqrt{2b+1}$

Можно даже попробовать найти решение в общем виде для любой степени и приращения аргумента.

[lasta]

mihail6969 в сообщении #923694 писал(а):

Интересно , если продолжить дальше для других степеней , будет ли продолжаться так же ,что самый нижний ряд равен факториалу степени ?

Уважаемый mihail6969! Конечно будет. Возьмите производную $n$-го порядка от любой степени. Она будет равняться факториалу показателя.

[b099ard]

Да, есть, решается графически:
Для каждого числа строиться график функции $ x(y)=a^y, x1(y)=b^y $

Очевидно, функции ни когда не пересекутся, это значит суммирования слагаемых никогда не произойдёт и $z^n$ никогда не образуется.