Геодезическая на конусе

[Degen1103]

Вернёмся к спиралям. Вот тут цитируется какой-то учебник, где указано два типа кривых - коническая спираль и коническая винтовая линия, имеющие разные парамерические уравнения. Под винтовой линией понимается коническая спираль постоянного шага:

Цитата:

линия, описываемая точкой M, которая движется по прямой OL с постоянной скоростью, а прямая OL, не перпендикулярная к оси Oz, равномерно вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью.

Её уравнения:
$x = at\cos t, y = at \sin t, z = bt$.

Практическая задача требует применения конической спирали, при построении которой точка М, в отличие от винтовой линии, движется вдоль образующей OL с ускорением. Её уравнения:
$ x = a\exp (k\varphi) \cos\varphi, y = a\exp (k\varphi) \sin\varphi, z = b\exp (k\varphi)$, где $k = m/\omega$, а что такое $a, b, m, \varphi, \omega$ - неведомо.

Пытаясь разобраться, постороил разные загогулины, но у них шаг с приближением к вершине сокращается:



-- 10.09.2017, 10:40 --

...а хотелось бы наоборот. А именно - чтоб с приближением к вершине угол наклона кривой $\alpha$ увеличивался так, чтобы $\pi D \cos\alpha$ = const ($D$ - текущий радиус). Попытался как-то указанные параметрические уравнения исковеркать, приблизился к желаемому, но результат признать удовлетворительным нельзя, т.к. вместо конуса выходит непонятно что:



-- 10.09.2017, 10:49 --

Подскажите, пжл, как должны выглядеть уравнения конической спирали, у которой шаг с приближением к вершине увеличивается. Теплится надежда, что это поможет в намотке равнотолщинного усечённого конуса лентой постоянной ширины, укладываемой под таким переменным углом, чтобы и у основания, и у верхнего сечения конуса укладывалось по окружности одинаковое целое число лент.

[Munin]

Сформулируйте наконец нормально задачу, и её вам сразу  решат  покажут, как решать.

А то, вот это вот:

Degen1103 в сообщении #1246618 писал(а):

намотке... равнотолщинного...

- это какой-то птичий язык, непонятный математикам.

[Degen1103]

Имеется усечённый конус с диаметрами $d1, d2$ и высотой h. На поверхность укладывается встык спиральная лента шириной $b$ так, что $Nb\cos\alpha1$ = $\pi d1$ и $Nb\cos\alpha2$ = $\pi d2$ ($N$ - целое, $\alpha$ - угол наклона касательной). Требуется полностью покрыть поверхность без нахлёстов, которые неизбежно возникают с уменьшением диаметра, если использовать винтовую линию постоянного шага либо, если верно понимаю, геодезическую.

[Munin]

Для начала, научитесь писать $d_1,d_2$ вместо $d1,d2.$
Далее, неизвестно, что такое "лента шириной". Может ли она поворачивать (то есть, идти не по геодезической)? Как в этом случае понимается ширина?

[Degen1103]

Поразительно, но в LaTeX-помощнике не нашёл верхние/нижние индексы, хоть искал долго и старательно.
Отклонение от геодезической возможно и в данном случае необходимо. Ширину b примем постоянной в плоской развёртке; при укладке лента, сохраняя ширину, изгибается по текущему радиусу.

[Munin]

Degen1103 в сообщении #1246646 писал(а):

Поразительно, но в LaTeX-помощнике не нашёл верхние/нижние индексы, хоть искал долго и старательно.

Видимо, подразумевается, что такую банальщину люди должны знать и сами.

Сообщите администрации в "Работе форума". "Помощник" создан и ведётся лично cepesh-ем, как я понимаю.

Degen1103 в сообщении #1246646 писал(а):

Ширину b примем постоянной в плоской развёртке

И что это значит?

[Degen1103]

ээээ скажем, длина дуги конического сечения, образованного лентой и плоскостью, перпендикулярной спирали, всегда равна $b$.

[Munin]

Что такое "перпендикулярной" для ленты ненулевой ширины???

[Degen1103]

Ну конечно, перпендикулярной средней линии ленты.

Отстроил по-древнегречески один оборот конической спирали для примера. С линейным ускорением. И мучительно долго, и кривовато выходит

[Munin]

Degen1103 в сообщении #1246727 писал(а):

Ну конечно, перпендикулярной средней линии ленты.

Можно заменить эту ужасную конструкцию на расстояние между двумя витками средней линии?

[Degen1103]

Т.е. аппроксимировать дугу хордой? Думаю - да, на фоне остального это ерунда, если $b << \pi D$

[Munin]

Degen1103 в сообщении #1246783 писал(а):

Т.е. аппроксимировать дугу хордой?

Нет, я подразумевал расстояние по конусу, разумеется. Я хочу добиться от вас хоть сколько-нибудь приличной и внятной формализации, что вы называете "лентой".

[amon]

Degen1103 в сообщении #1246618 писал(а):

Теплится надежда, что это поможет в намотке равнотолщинного усечённого конуса лентой постоянной ширины

Не поможет. Нарисуйте развертку конуса и попробуйте уложить на нее ленту:

Вложение:

cone.GIF

Что бы лента "обматывала" конус надо, что бы углы 1 и 2 были равны, иначе при склейке развертки в конус возникнут углы. Т.е. из обычной ленты конус можно склеить только "из колечек". Лента должна быть деформирована (типа как жирная линия на рисунке). При этом "способ деформации" может быть любым, лишь бы все было хорошо с углами.

[Degen1103]

Да, конечно, бумажную полоску так не уложишь, но здесь иной случай. Будем считать, что речь идёт о паре гибких "параллельных" нерастяжимых нитей неограниченной длины, или о построении двух эквидистантных заходов конической спирали, такой, что на обоих торцах усечённого конуса укладывается равное целое число этих самых пар.

[Munin]

Будем, когда вы расскажете, что такое "параллельных" и "эквидистантных".