Геодезическая на конусе

[Алексей К.]

Ко мне лет сто назад ребята с ЧПУ приставали с чем-то похожим: какую-то траекторию на конусе надо было сосчитать. Я не помню условия, которое они ставили, но помню своё решение: на развёртке это оказалась эвольвента окружности. У Вас последняя картинка очень напоминает это решение. Особенно красиво смотрелось это дело на фоне семейства концентричных окружностей: всё выглядело потрясающе эквидистантно. Сейчас постараюсь пририсовать это семейство к Вашей картинке.

-- 10 авг 2013, 16:33:19 --

И даже не пришлось вспоминать, как я это семейство вычислял: картинка сохранилась.
Вот оно (PostScript тогда уже был изобретён).

%!PS-Adobe-2.0
%%BoundingBox: 0 0 560 560

280 dup translate
/R 8 def
-280 0 moveto 280 0 lineto 0 -280 moveto 0 280 lineto stroke
0 0 R 0 360 arc fill
2 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor
R 0 moveto
0 2 360 5 mul 90 add {%
  dup 3.14159 mul 180 div R mul exch            % L phi
  dup sin exch cos 2 copy                       % L sin cos sin cos
  R mul exch 4 index mul add 4 1 roll           % X L sin cos
  3 -1 roll mul neg exch R mul add lineto       %
} for stroke
0.6 setlinewidth [3 3] 0 setdash
0 0 0 setrgbcolor
%1 0 0 0 setcmykcolor
2 1 21 {
  2 div 3.14159 mul R mul
  0 0 3 -1 roll 0 360 arc stroke
% currentcmykcolor 4 1 roll setcmykcolor
}for

[Алексей К.]

Вложение:

evolvcirc.jpg

.

По построению эвольвенты --- расстояние между витками равно длине оригинальной (чёрной) окружности.

[Nacuott]

Коническая спираль (которую нарезают в качестве резьбы) - это та, что справа в предыдущем топике, проектируется не в эвольвенту окружности, а в спираль Архимеда. Они похожи, и на глаз их различить тяжело.А что получается на развертке конуса неясно.

[Degen1103]

Верно ли из вышесказанного понимаю, что коническая спираль постоянного шага будет весьма близка к геодезической? Требуется подготовить данные для филаментной намотки, и не хотелось бы углубляться в ненужное наукообразие.

[svv]

Нет, геодезическая на конусе будет прямой на его развёртке. Это очень далеко от спиралей.

[Degen1103]

Ммммм... спасибо, будем думать... локсодромы, надо же

[arseniiv]

Локсодром-то там как раз и нет. И то, что большой круг назвали «ортодрома», не усложняет простоту вещей. В самом деле, геодезические пространств с постоянной кривизной (плоскость, конус, цилиндр, сфера) — это же цветочки. Разве что вложение такого пространства в евклидово может быть страшным (произвольная коническая или цилиндрическая поверхность), и потому и геодезические будут выглядеть хитрее.

-- Пт авг 04, 2017 23:00:15 --

Хотя большие круги, конечно, будут частными случаями локсодром (как и малые, и ещё «большие полукруги»). Локсодрома на сфере — кривая, в каждой точке которой угол между направлением на заданную точку сферы (по сфере) постоянен. В этом она аналогична логарифмической спирали на плоскости.

[Degen1103]

Оххх... неужели придётся геодезические программировать?! Из-за переменного угла ведь ширина псевдоленты (полосы укладываемых параллельных нитей) будет меняться! Или управляемый привод нитераскладчика нужен... Спираль явно проще реализовать...

[Degen1103]

...геодезический изотензоид теперь вылез... то у них Кондопога, то у них хохлома...

[svv]

(Оффтоп)

Degen1103 в сообщении #1238504 писал(а):

то у них Кондопога, то у них хохлома...

... а также Вологда, Кострома, Шуя, Нельша, Няндома, Сендега, Колдома, Шилекша, Толга, Пинега, Ваймуга, Шардонема, Вонга, Покшеньга, Ежуга, Шуйга, Сылога, Пыльменьга, Юбра, Ковра, Шильмуша, Кижма, Сюзьма, Тойма, Кузема, Тулома, Вёкса, Выкса, Выкша, Люнда, Немда, Нурма, Лухма, Ентала, Чавроса, Конкульга, Лача, Кечкома и прочая финно-угорская топонимика европейского севера России!

[Degen1103]

Это цитата.

ОК, зная $r$ц и $r$o, нашёл $\psi$ц на радиусе $r$ц. Нашёл текущий угол $\psi$ в некотором сечении конуса, имеющем радиус $r$. Но на какой угол уйдёт геодезическая между сечениями, т.е. каков угол между $r$ц и $r$ - загадка!

[lel0lel]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1238536 писал(а):

... а также Вологда, Кострома, Шуя, Нельша, Няндома, Сендега, Колдома, Шилекша, Толга, Пинега, Ваймуга, Шардонема, Вонга, Покшеньга, Ежуга, Шуйга, Сылога, Пыльменьга, Юбра, Ковра, Шильмуша, Кижма, Сюзьма, Тойма, Кузема, Тулома, Вёкса, Выкса, Выкша, Люнда, Немда, Нурма, Лухма, Ентала, Чавроса, Конкульга, Лача, Кечкома и прочая финно-угорская топонимика европейского севера России!

Не могу удержаться от продолжения списка двумя близкими сердцу городами: Кинешма, Решма.

[svv]

(Оффтоп)

lel0lel, да!
Они милы и моему сердцу.
Таких названий ещё очень, очень много.

[Degen1103]

Нашлась диссерка магистерская в тему, если кому интересно.

[arseniiv]

Если вы насчёт разбирательства с геодезическими на конусе, то, по-моему, там всё прямолинейно, даже если возни будет и много: на крайний случай проводим прямую по развёртке, а потом сворачиваем её, смотря на то, во что превращается прямая.