Решение кубического уравнения без комплексных чисел

[pentoid]

После умножения кубического уравнения

$$x^3+px+q=0$$

на неизвестное $x$ получается уравнение четвёртой степени

$$x^4+px^2+qx=0$$

.Если в исходном кубическом уравнении дискриминант

$$D=\frac{q^2}{2^2}+\frac{p^3}{3^3}$$

отрицателен,то в кубическом уравнении необходимом для решения уравнения четвёртой степени по методу Феррари

$$a^3-pa^2+\frac{p^2}{4}a-\frac{q^2}{8}$$

в этом случае дискриминант

$$D=\frac{-q_1^2p_1^3}{8}+q_1^4$$

всегда положителен (а-вспомогательный параметр применяемый в этом методе).Это свойство позволяет решить исходное кубическое уравнение без использования комплексных чисел.
Условие:отношение абсолютных величин наибольшего и наименьшего корней больше десяти.
На численных примерах сходится.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не доказанные утверждения, плохое оформление

pentoid, напишите доказательства приведённых утверждений.

правила форума писал(а):

3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны.

Формулы оформляйте $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[nnosipov]

pentoid в сообщении #750779 писал(а):

На численных примерах сходится.

Приведите хотя бы один пример.

-- Пт авг 02, 2013 16:25:02 --

pentoid в сообщении #750779 писал(а):

Если в исходном кубическом уравнении дискриминант

$$D=\frac{q^2}{2^2}+\frac{p^3}{3^3}$$

Вообще-то, это не дискриминант, ну да ладно.

[timots]

Пожалуйста, решите для примера уравнение:
$ x^3-11x^2-11x-12=0$

[alexo2]

timots в сообщении #751297 писал(а):

Пожалуйста, решите для примера уравнение:
$ x^3-11x^2-11x-12=0$

Да тут без комплексных чисел и дискриминантов, а только исследованием остатков от деления на 9 видно, что не имеет решений...

[Xaositect]

alexo2 в сообщении #751308 писал(а):

Да тут без комплексных чисел и дискриминантов, а только исследованием остатков от деления на 9 видно, что не имеет решений...

Решения нужны действительные, а не целые.

[TR63]

timots в сообщении #751297 писал(а):

Пожалуйста, решите для примера уравнение:
$ x^3-11x^2-11x-12=0$

Данное уравнение не входит в область определения ТС, т.к. имеет один действительный корень. У него речь идёт о трёх действительных корнях.

[g______d]

А как насчет $x^3-3x+1=0$ ?

[TR63]

pentoid в сообщении #750779 писал(а):

Условие:отношение абсолютных величин наибольшего и наименьшего корней больше десяти.

[g______d]

Ну можно замену переменной сделать (сдвинув на рациональное число), чтобы наименьший корень был достаточно маленьким. На разрешимость в вещественных радикалах это, очевидно, не влияет.

[nnosipov]

Что-то запропал ТС. Похоже, не собирается нам демонстрировать своё чудо.

[warlock66613]

g______d в сообщении #751417 писал(а):

Ну можно замену переменной сделать (сдвинув на рациональное число)

Нельзя. Обратите внимание:

pentoid в сообщении #750779 писал(а):

кубического уравнения

$$x^3+px+q=0$$

[g______d]

del

[timots]

Каюсь! Не понял вопроса. Но это можно исправить. Будем рассматривать предложенное мной уравнение как кубическую резольвенту уравнения
$ x^4+ax^3+bx^2+cx=0$.
Ясно, что резольвента должна иметь мнимые корни иначе дискриминант будет отрицательным, и мы вернемся на круги свои.