2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение03.08.2013, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
g______d в сообщении #751405 писал(а):
А как насчет $x^3-3x+1=0$ ?
Присоединяюсь к вопросу. Господин pentoid, будьте любезны, продемонстрируйте нам Ваш метод на этом уравнении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение03.08.2013, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Someone в сообщении #751481 писал(а):
Присоединяюсь к вопросу. Господин pentoid, будьте любезны, продемонстрируйте нам Ваш метод на этом уравнении.


Там в начале странное

pentoid в сообщении #750779 писал(а):
Условие:отношение абсолютных величин наибольшего и наименьшего корней больше десяти.


и у меня не получается подобрать подходящее уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение03.08.2013, 13:54 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
g______d в сообщении #751485 писал(а):
и у меня не получается подобрать подходящее уравнение

Это интересно. Может быть таких уравнений вообще не существует?

-- 03.08.2013, 15:20 --

Точно, таких нет, и это легко доказывается. Действительно, по теореме Виетта $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ ($x_1$, $x_2$, $x_3$ - действительные корни уравнения $x^3 + px+ q = 0$). Пусть $x_1$ - наименьший, а $x_3$ - наибольший корень, то есть $x_1 \leq x_2 \leq x_3$, причём $x_1 \neq 0$ (чтобы условие ТС имело смысл). Тогда возможны 3 случая. 1) $x_1 > 0$, $x_3 > 0$. Тогда условие $\frac {x_3} {x_1}= n > 10$ даёт $x_2 = -x_1-x_3 = -(n+1)x_1 < 0$, что невозможно. 2) $x_1 < 0$, $x_3 < 0$. Тогда $\frac {-x_3}{-x_1} = n > 10$ даёт $x_2 = -x_1 - x_3 = -(n+1)x_1 > 0$, что невозможно. 3) $x_1 < 0$, $x_3 \qeq 0$. Тогда $\frac {x_3}{-x_1} = n > 10$ даёт $x_2 = -x_1 - x_3 = (n-1)x_1 < x_1$, что невозможно.

-- 03.08.2013, 15:21 --

Следствие. ТС прав, и его метод действительно позволяет решать уравнения указанного вида, удовлетворяющие требуемым условиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение03.08.2013, 16:21 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Если же предположить, что ТС пропустил слово "модуль" в одном месте, то придумать требуемое уравнение не составляет труда. Например $x^3 - 111x + 110 = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение03.08.2013, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Это условие, конечно, гениальное.

А можно проделать вычисления в общем виде. Берём уравнение $$x^3+px+q=0.\eqno(1)$$ Пусть $$\mathscr D_3=\left(\frac p3\right)^3+\left(\frac q2\right)^2<0.\eqno(2)$$ Умножаем уравнение (1) на $x$ и получаем уравнение $$x^4+px^2+qx=0.\eqno(3)$$ По методу Феррари записываем уравнение (3) в виде $$(x^2-y)^2-(-(p+2y)x^2-qx+y^2)=0\eqno(4)$$ (каждый может раскрыть скобки в уравнении (4) и убедиться, что после приведения подобных членов получается в точности уравнение (3)) и подбираем $y$ так, чтобы квадратный трёхчлен $-(p+2y)x^2-qx+y^2$ был точным квадратом. Для этого нужно, чтобы выполнялось равенство $$q^2+4y^2(p+2y)=0,\eqno(5)$$ которое после раскрытия скобок и деления на $8$ приводится к виду $$y^3+\frac p2y^2+q^2=0.\eqno(6)$$ Чтобы привести это уравнение к виду (1), сделаем замену переменной $y=z-\frac p6$. После подстановки в уравнение (6), раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим уравнение $$z^3-\frac{p^2}{12}z+\left(\frac{p^3}{108}+\frac{q^2}{16}\right)=0.\eqno(7)$$ Подставляя в формулу (2) вместо $p$ и $q$ выражения $-\frac{p^2}{12}$ и $\frac{p^3}{108}+\frac{q^2}{16}$ соответственно, после упрощений получим $$\mathscr D'_3=\frac{q^2}{64}\left(\left(\frac p3\right)^3+\left(\frac q2\right)^2\right)<0,\eqno(8)$$ исключая тривиальный случай $q=0$.

Может быть, господин pentoid объяснит, почему знак не поменялся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение03.08.2013, 18:18 


05/06/13
13
Суть вопроса:если кубическое уравнение имеет три действительных корня его дискриминант отрицателен и решать его с помощью формулы Кардано необходимо применяя комплексные числа.Предлагаемый способ позволяет избежать применения комплексных чисел при решении таких уравнений.
Уравнениe $$x^3-11x^2-11x-12=0$$ имеет один действительный и два комплексных корня.Это не тот случай.После подстановки $x_1=x-\frac{A}{3}$ уравнение $$x^3-51.33x-150.93=0$$ имеет положительный дискриминант $D=685$ и решается по формуле Кардано и без комплексных чисел.

-- 03.08.2013, 18:18 --

Из уравнения $$x^3-89109x-267300=0$$ умноженного на $x$ получается уравнение четвёртой степени $$x^4-89109x^2-267300x=0$$.Уравнение для вспомогательного параметра необходимое для решения методом Феррари имеет вид $$a^3-89109a^2+1985103470.25a-8931161250=0$$.Значение вспомогательного параметра подставляется в уравнение $$(x^2+\frac{p}{2}+a)^2-2a(x-\frac{q}{4a})^2=0$$ корни которого и есть корни исходного уравнения.Отсюда $$x^2+3x-89100=0$$ и $x=-300$ $x=297$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение03.08.2013, 20:08 


18/06/10
323
Я выше уже выше писал, что в начале Вас не понял. Но дело не в этом. Дело в том, что я хочу более подробного доказательства и что бы Вы привели пример. Можно свой .

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение03.08.2013, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
pentoid в сообщении #751565 писал(а):
$$a^3-89109a^2+1985103470.25a-8931161250=0$$
Видите ли, это уравнение имеет три действительных корня ($4{,}5$, $44104{,}5$, $45000$), поэтому, если Вы их не подбираете (а это возможно только в особо удачном случае рациональных корней), а вычисляете по формуле Кардано, то без комплексных чисел Вы не обойдётесь. А рациональные корни можно было бы подобрать и у исходного Вашего уравнения ($-3$, $-297$, $300$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение04.08.2013, 10:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Someone в сообщении #751562 писал(а):
Для этого нужно, чтобы выполнялось равенство $$q^2+4y^2(p+2y)=0,\eqno(5)$$
Это уравнение после замены $y=q/(2x)$ превращается в исходное $x^3+px+q=0$.

Вообще, корни кубических резольвент рационально выражаются через корни уравнения 4-й степени, поэтому никаких фокусов с переменой знака у дискриминанта не может быть по очевидной причине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение04.08.2013, 11:12 


03/03/12
1380
nnosipov в сообщении #751674 писал(а):
Вообще, корни кубических резольвент рационально выражаются через корни уравнения 4-й степени, поэтому никаких фокусов с переменой знака у дискриминанта не может быть по очевидной причине.


И ещё можно рассуждать так: если уравнение четвёртой степени имеет максимальное количество действительных корней, то кубическая резольвента имеет тоже максимальное количество действительных корней. (Доказывается просто; есть в "Вике", но без доказательства) Так что фокус, действительно, не проходит.
Я думаю, что сообщение ТС имело бы смысл, если бы в его области определения не существовало контрпримера. Но контрпример нашёлся, благодаря Someone.

-- 04.08.2013, 12:26 --

TR63 в сообщении #751700 писал(а):
сообщение ТС имело бы смысл, если бы в его области определения не существовало контрпримера.

Неправильно выразилась. Надо так: его область определнния была пустой.

-- 04.08.2013, 12:28 --

Но она не пуста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение04.08.2013, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
TR63 в сообщении #751700 писал(а):
Неправильно выразилась. Надо так: его область определнния была пустой.

-- 04.08.2013, 12:28 --

Но она не пуста.
Точнее сказать, топикстартер неправильно сформулировал условие, которое имел в виду. Он написал "наименьший корень" и "наибольший корень", а имел в виду, видимо, наименьший и наибольший по модулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение04.08.2013, 16:19 


16/08/05
1146
Вообще, было бы интересно получить три действительных корня кубического уравнения через радикалы без комплексных вычислений и без дополнительных условий на область определения корней, как у ТС. Почти уверен, что такой способ решения должен существовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение04.08.2013, 16:57 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
dmd в сообщении #751809 писал(а):
Вообще, было бы интересно получить три действительных корня кубического уравнения через радикалы без комплексных вычислений и без дополнительных условий на область определения корней, как у ТС. Почти уверен, что такой способ решения должен существовать.

Почти уверен, что без тригонометрии не получится. Ну а с тригонометрией, понятно, тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение04.08.2013, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
dmd в сообщении #751809 писал(а):
Вообще, было бы интересно получить три действительных корня кубического уравнения через радикалы без комплексных вычислений и без дополнительных условий на область определения корней, как у ТС. Почти уверен, что такой способ решения должен существовать.


http://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение кубического уравнения без комплексных чисел
Сообщение04.08.2013, 18:21 


16/08/05
1146
g______d
Т.е. в неприводимом случае при попытке выразить три различных действительных корня в выражениях неизбежно возникнет квадратный корень из дискриминанта? 100%? Это как-то доказуемо? А вдруг существуют окольные пути, в которых под квадратным корнем не дискриминант, а допустим какая-нибудь сумма квадратов, образованных из коэффициентов исходного уравнения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group