Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
а почему для теоретиков?

Возьмите любой пандиагональный квадрат 8-го порядка, составленный из 4-х пандиагональных квадратов 4-го порядка и попробуйте из чисел этого квадрата построить примитивный квадрат.
То же самое проделайте для вашего пандиагонального квадрата 10-го порядка, построенного по решёткам Россера из 4-х пандиагональных квадратов 5-го порядка.

-- Ср июл 03, 2013 16:00:42 --

Итак...
это ассоциативный примитивный квадрат 10-го порядка из (различных) произвольных натуральных чисел:

1 11 21 31 41 81 91 101 111 121
131 141 151 161 171 211 221 231 241 251
261 271 281 291 301 341 351 361 371 381
391 401 411 421 431 471 481 491 501 511
521 531 541 551 561 601 611 621 631 641
1041 1051 1061 1071 1081 1121 1131 1141 1151 1161
1171 1181 1191 1201 1211 1251 1261 1271 1281 1291
1301 1311 1321 1331 1341 1381 1391 1401 1411 1421
1431 1441 1451 1461 1471 1511 1521 1531 1541 1551
1561 1571 1581 1591 1601 1641 1651 1661 1671 1681

Это полученный из него идеальный квадрат (идеальный квадрат - это пандиагональный квадрат, обладающий свойством ассоциативности):

1 1671 91 1641 21 1581 81 1651 111 1561
1551 141 1461 171 1531 231 1471 161 1441 251
1171 501 1261 471 1191 411 1251 481 1281 391
1161 531 1071 561 1141 621 1081 551 1051 641
261 1411 351 1381 281 1321 341 1391 371 1301
381 1311 291 1341 361 1401 301 1331 271 1421
1041 631 1131 601 1061 541 1121 611 1151 521
1291 401 1201 431 1271 491 1211 421 1181 511
1431 241 1521 211 1451 151 1511 221 1541 131
121 1571 31 1601 101 1661 41 1591 11 1681

Это матричное преобразование, которое превратило примитивный квадрат в идеальный:

A1,1 A10,9 A1,7 A10,6 A1,3 A10,3 A1,6 A10,7 A1,9 A10,1
A9,10 A2,2 A9,4 A2,5 A9,8 A2,8 A9,5 A2,4 A9,2 A2,10
A7,1 A4,9 A7,7 A4,6 A7,3 A4,3 A7,6 A4,7 A7,9 A4,1
A6,10 A5,2 A6,4 A5,5 A6,8 A5,8 A6,5 A5,4 A6,2 A5,10
A3,1 A8,9 A3,7 A8,6 A3,3 A8,3 A3,6 A8,7 A3,9 A8,1
A3,10 A8,2 A3,4 A8,5 A3,8 A8,8 A3,5 A8,4 A3,2 A8,10
A6,1 A5,9 A6,7 A5,6 A6,3 A5,3 A6,6 A5,7 A6,9 A5,1
A7,10 A4,2 A7,4 A4,5 A7,8 A4,8 A7,5 A4,4 A7,2 A4,10
A9,1 A2,9 A9,7 A2,6 A9,3 A2,3 A9,6 A2,7 A9,9 A2,1
A1,10 A10,2 A1,4 A10,5 A1,8 A10,8 A1,5 A10,4 A1,2 A10,10

(исходная матрица примитивного квадрата - Ai,j с индексацией в естественном порядке).

Формулирую условие для ассоциативного примитивного квадрата.

Для того чтобы ассоциативный примитивный квадрат 10-го порядка с матрицей Ai,j можно было превратить в идеальный магический квадрат необходимо и достаточно выполнение условия:

A1,1+A10,9+A1,7+A10,6+A1,3+A10,3+A1,6+A10,7+A1,9+A10,1=A1,1+A9,10+A7,1+A6,10+A3,1+A3,10+A6,1+A7,10+A9,1+A1,10=S

где S - индекс примитивного квадрата (и магическая константа будущего идеального квадрата).
Понятно, что утверждение требует строгого доказательства. Оно родилось прямо сейчас и пока подтверждается только одним примером, который здесь приведён.

Попробуйте построить ассоциативный примитивный квадрат 10-го порядка из различных простых чисел, удовлетворяющий сформулированному условию. Этот квадрат должен превратиться в идеальный магический квадрат с помощью приведённого преобразования.

Конечно, магическая константа построенного таким образом идеального квадрата может быть намного больше известного на сегодня решения для N=10 (S=3594). Это потому, что по данному алгоритму строится идеальный квадрат, а не просто пандиагональный.

То же самое можно выполнить для ассоциативного примитивного квадрата 14-го порядка.
Для тех, кто пока не имеет никакого решения для N=14, алгоритм вполне годится.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
вопрос о связи пандиагональных квадратов, построенных по решёткам Россера, с примитивными квадратами обсуждался в теме "Магические квадраты".

Pavlovsky в сообщении #343703 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #343560 писал(а):

Можно ли получить из этого квадрата примитивный квадрат 12х12?

Запустил свой алгоритм, примитивный квадрат не построился. Впрочем Россер этого и не обещал.

Как я понимаю, построенным по решёткам нетрадиционным пандиагональным квадратам не соответствуют примитивные квадраты.
Может быть, ошибаюсь.

P.S. Если бы из построенного мной по решёткам Россера пандиагонального квадрата 12-го порядка (S=8820) можно было получить соответствующий примитивный квадрат, его элементарно можно было бы превратить в примитивный квадрат 11х11 (удалив одну строку и один столбец) и сразу же построить пандиагональный квадрат 11-го порядка с довольно маленькой магической константой.
Это я тогда и пыталась сделать.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #742860 писал(а):

вопрос о связи пандиагональных квадратов, построенных по решёткам Россера, с примитивными квадратами обсуждался в теме "Магические квадраты".

Спасибо за информацию. Задача решена.

Утверждение. Пандиагональный квадрат составленный из пандиагональных квадратов по решеткам Россера, не обязан быть регулярным. Даже если исходные квадраты - регулярные.

[dmd]

Nataly-Mak в сообщении #742815 писал(а):

вашу программу скачала, попробовала.
Редактирование происходит, но... ввожу в жёлтые ячейки не простые числа, программа никак не реагирует.

Макросы должны быть включены.

[Nataly-Mak]

dmd в сообщении #742885 писал(а):

Макросы должны быть включены.

Спасибо. Без понятия, как их надо включить
Очень редко пользуюсь Excel и почти не знаю эту программу.
Ну, кто знает, тот поиграет

Вот идеальный квадрат 10-го порядка из простых чисел с повторениями:

14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983

Квадрату соответствует ассоциативный примитивный квадрат, который строится из чисел арифметической прогрессии: 14933623 + 13#n, n = 0,1,2,…,12 (прогрессия найдена в 1999 г., автор David W. Wilson).
Просто запишите в каждой строке эту арифметическую прогрессию и примитивный квадрат готов. Но... примитивный квадрат у вас получится 13х13; затем надо выбросить три центральные строки и три центральных столбца, чтобы получить примитивный квадрат 10х10.

Проверьте на этом квадрате приведённое выше преобразование.
(пример взят из статьи)

Осталось найти идеальный (и совершенный) квадрат 10-го порядка из различных простых чисел. Это у меня в перспективных планах.

[dmd]

Nataly-Mak

(Оффтоп)

Посмотрите первые ссылки поиска в google и youtube, например эти инструкцию либо видео

Специально создал тот Excel-файл, чтоб продемонстрировать Вам экспоненциальность задачи. Можно еще лучше сделать. Создать демонстрацию для бесплатного Вольфрамовского плеера, тогда простые числа вообще не нужно будет вводить. Привязать перебор простых к бегункам прокрутки. Еще нагляднее получится подтверждение безнадёжности случайного поиска.

[Nataly-Mak]

dmd в сообщении #742917 писал(а):

Nataly-Mak
Специально создал тот Excel-файл, чтоб продемонстрировать Вам экспоненциальность задачи.

Спасибо, но я в курсе
Магическими квадратами занимаюсь лет 35, примитивными квадратами (квадратами Стенли) года 3. Изучила достаточно, на мой взгляд.

Мой пример построения обычных МК из простых чисел со случайной генерацией вас не убедил?
Понятие "случайный поиск" очень широкое.
Случайная построчная генерация в моём выше описанном алгоритме вполне осмысленная процедура, которая даёт хорошую заготовку для дальнейшего превращения её в магический квадрат.

И чем больше порядок квадрата, тем быстрее находится решение в указанном алгоритме. Экспоненциальность задачи в этом случае нисколько не мешает, а наоборот помогает.

P.S. Как уже писала, сейчас у меня работает программа поиска наименьшего ассоциативного квадрата Стенли 8-го порядка. Может ли ваша программа в Excel быстро найти такой квадрат? Продемонстрируете программу в работе?
Если продемонстрируете, тогда я, пожалуй, займусь освоением вашей программы.

-- Ср июл 03, 2013 20:08:03 --

Это единственный известный мне ассоциативный квадрат Стенли 8-го порядка из различных простых чисел:

19 83 1019 1583 3229 3793 4729 4793
103 167 1103 1667 3313 3877 4813 4877
499 563 1499 2063 3709 4273 5209 5273
523 587 1523 2087 3733 4297 5233 5297
709 773 1709 2273 3919 4483 5419 5483
733 797 1733 2297 3943 4507 5443 5507
1129 1193 2129 2693 4339 4903 5839 5903
1213 1277 2213 2777 4423 4987 5923 5987

Индекс этого квадрата равен 24024.
Нужно найти ассоциативный квадрат Стенли 8-го порядка с меньшим индексом, если такой существует.

[dmd]

Nataly-Mak

(Оффтоп)

Nataly-Mak в сообщении #742927 писал(а):

Может ли ваша программа в Excel быстро найти такой квадрат? Продемонстрируете программу в работе?
Если продемонстрируете, тогда я, пожалуй, займусь освоением вашей программы.

Это не программа, а электронная таблица. Вводите соответствующие $2N-1$ независимых переменных - получаете посчитанный примитивный квадрат. Смысл был в том, чтоб при ручном вводе простых чисел прочувствовать экспоненциальный взрыв вариантов. Потому что даже для квадрата 4х4 нелегко вручную подобраться к минимальной константе. Программа со случайным поиском будет действовать примерно также, хотя и быстрее, но точно также уткнётся в экспоненциальный рост вариантов.

[Nataly-Mak]

(Оффтоп)

Уже ответила вам про "случайный поиск".

Что касается построения примитивных квадратов... я строила примитивные квадраты по-всякому: и вручную, и по программе, и в полу-ручном полу-программном режиме.
Если бы вы читали тему "Магические квадраты", хотя бы с того момента, когда мы начали изучать примитивные квадраты, увидели бы это.
Зачем рассказывать человеку то, что он уже как-то вроде немножко знает
Я строила примитивные квадраты с помощью чистого достраивания (алгоритм чистого достраивания прекрасно описал в указанной теме Pavlovsky), строила и с помощью смешанного достраивания, а это моё изобретение
Так что, всё уже давно пощупала ручками, хотя и без Excel.

Pavlovsky тоже очень много строил примитивные квадраты. Он использовал разные приёмы, например, такой: задавать сначала числа на диагонали примитивного квадрата (а не в строке и в столбце). Всё это можно найти в теме "Магические квадраты".

О примитивных квадратах есть ещё и тема "Антимагические квадраты". И сейчас продолжаю заниматься этой темой. На сайте primepuzzles.net есть две головоломки о квадратах Стенли, #681 и #682, первая моя, вторая порождена моей, автор Jarek Wroblewski.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #741018 писал(а):

Этот примитивный квадрат не обладает теми свойствами, какие нужны, чтобы примитивный квадрат превратился в пандиагональный.

Наталия, а где то сформулированы математически доказанные свойства примитивных квадратов для порядков кратных 2,3, позволяющих из них получать пандиагональные квадраты?

-- Чт июл 04, 2013 09:37:49 --

Продолжим теоретические изыскания. Мы выяснили что:

Пандиагональный квадрат составленный из пандиагональных квадратов по решеткам Россера, не обязан быть регулярным. Даже если исходные квадраты - регулярные.

Насколько верна гипотеза:

Гипотеза: Регулярный пандиагональный квадрат порядка 2N можно разбить на 4 пандиагональных квадрата порядка N.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
я уже приводила здесь цитату из сообщения svb в теме "Магические квадраты" о построении пандиагональных квадратов 4-го порядка из примитивных квадратов. Приведу ещё раз, более полную:

svb в сообщении #322155 писал(а):

Pavlovsky в сообщении #321729 писал(а):

Эта теорема напрямую применима только для порядков не кратных 2,3. Одно из трех чисел $\[a,b,\left( {a^2 - b^2 } \right)\]$ четно. Одно из трех чисел $\[a,b,\left( {a^2 - b^2 } \right)\]$ делится на 3.
Как Россер преобразует примитивные квадраты в пандиагональные для порядков кратных 2,3 никак не могу понять. Что то про это есть в теоремах 5.4, 5.5. Вроде как перед выполнением преобразования надо переставить строки и колонки примитивного квадрата.

Цитата:

Скорее всего не просто переставить, а примитивный квадрат должен быть специальным. Россер доказывает, что каждый d.s. 4-го порядка регулярный, но это не значит, что из каждого примитивного квадрата можно получить пандиагональный квадрат. Возьмем устройство p.s.
$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} a & b & c & d \\ e & * & * & * \\ f & * & * & * \\ g & * & * & * \\ \end{array}} \right]$ $- выбрав любые 7 чисел можно получить примитивный квадрат, но размерность пространства d.s. 4 порядка равна 5, т.е. явно нужны еще 2 ограничения. У Россера я пока не разобрался, но условия эти нашел (они, в общем-то, давно известны): необходимо, чтобы выполнялось
$$a + f = e + g$ $ и $$a + c = b + d$ $
Преобразование, которое работает в этом случае у Россера приведено:$$\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}} \right|$ $

По-моему, указанные в цитате условия являются не только необходимыми, но и достаточными. Правда, строгого математического доказательства нет (может быть, у Россера оно есть?).
Но на практике утверждение замечательно подтверждается: из любого примитивного квадрата 4-го порядка, удовлетворяющего указанным условиям, пандиагональный квадрат получается с помощью указанного преобразования.

Совершенно аналогичны условия для квадратов 8-го порядка, они сформулированы в моей статье.
Можно предположить, что эти условия имеют место для всех квадратов порядка n=4k, k=1,2,3,...

Что касается квадратов нечётного порядка кратного 3 (например, N=9), тут всё намного сложнее, по крайней мере, для меня. Я помню, как долго пыталась выявить закономерности для примитивного квадрата, чтобы можно было из него получить пандиагональный квадрат. Всё это описано в статье, посвящённой построению пандиагональных квадратов 9-го порядка.

-- Чт июл 04, 2013 11:14:28 --

Pavlovsky в сообщении #743092 писал(а):

Насколько верна гипотеза:

Гипотеза: Регулярный пандиагональный квадрат порядка 2N можно разбить на 4 пандиагональных квадрата порядка N.

Если N-простое число, то гипотеза верна.

Выше показан идеальный (пандиагональный и ассоциативный) квадрат 10-го порядка из произвольных натуральных чисел. Этот квадрат регулярный, так как ему соответствует примитивный квадрат (этот квадрат тоже показан).
Разбиваем примитивный квадрат на 4 квадранта, как показано на рисунке:



В каждом квадранте имеем примитивный квадрат порядка N (N-простое число; в этом примере N=5), из которого получаем пандиагональный квадрат с помощью преобразования Россера.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #743106 писал(а):

Если N-простое число, то гипотеза верна.

Один пример в пользу гипотезы не является доказательством. Более того есть основания полагать, что гипотзеа неверна. То что числа регулярного квадрата порядка 2N можно разбить на 4 группы чисел с одинаковой суммой, еще не означает, что из этих групп можно построить пандиагональные квадраты порядка N.

[Nataly-Mak]

Бли-и-и-н!!
Вы спросили "насколько верна гипотеза?" Я ответила, что есть случай, когда она точно верна. Не сказано же, что гипотеза верна для всех N.
Приведите, пожалуйста, контрпример, когда она не верна.

Для квадратов 12-го порядка условия для примитивного квадрата мной тоже были сформулированы:

Цитата:

Интересно отметить, что примитивный квадрат 12-го порядка удовлетворяет условиям, аналогичным условиям для примитивных квадратов 4-го и 8-го порядков. Обозначим элементы первой строки и первого столбца примитивного квадрата символами

c a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11
b1           
b2           
b3           
b4           
b5           
b6           
b7           
b8           
b9           
b10           
b11

Тогда условия для элементов примитивного квадрата можно записать так:

c + a6 = a1 + a7 = a2 + a8 = a3 + a9 = a4 + a10 = a5 + a11
c + b6 = b1 + b7 = b2 + b8 = b3 + b9 = b4 + b10 = b5 + b11

(см. статью)

В статье приведён пример для классического пандиагонального квадрата. Сейчас попробую сочинить пример для квадрата из произвольных натуральных чисел.

-- Чт июл 04, 2013 15:13:10 --

Pavlovsky в сообщении #743166 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #743106 писал(а):

Если N-простое число, то гипотеза верна.

Один пример в пользу гипотезы не является доказательством.

Что значит "один пример"?
Вы читать умеете? Написано, что гипотеза верна для всех N, являющихся простым числом.
Это просто я показываю доказательство на конкретном примере для N=5.
Хорошо, буду доказывать в общем случае.

Пусть есть регулярный пандиагональный квадрат порядка 2N, где N-простое число, N>3.
Тогда ему обязательно должен соответствовать примитивный квадрат порядка 2N (по Россеру пандиагональный квадрат регулярный, если ему соответствует примитивный квадрат).
Разобьём этот примитивный квадрат на 4 квадранта NxN. В каждом таком квадранте имеем примитивный квадрат порядка N, N-простое число. Из такого примитивного квадрата можно получить пандиагональный квадрат порядка N с помощью преобразования Россера.

Такое доказательство вас устраивает?
Теперь ваш контрпример, пожалуйста, когда гипотеза не верна. Это может быть только в случае, когда N - не простое число.
При этом N<4 рассматривать не имеет смысла, так как пандиагональных квадратов порядка 3 не существует, а для N=2 не существует и магических квадратов.

-- Чт июл 04, 2013 15:20:29 --

Pavlovsky в сообщении #743166 писал(а):

То что числа регулярного квадрата порядка 2N можно разбить на 4 группы чисел с одинаковой суммой, еще не означает, что из этих групп можно построить пандиагональные квадраты порядка N.

Я такого и не утверждала

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #743106 писал(а):

Можно предположить, что эти условия имеют место для всех квадратов порядка n=4k, k=1,2,3,...

Это условие я понял. Есть над чем подумать. Отмечу, что k=1,2,3 и все. Для N=16,20 и так далее это уже не подходит.

А как быть со случаями 2k+2 (N=10,14,18)?

-- Чт июл 04, 2013 16:31:27 --

Nataly-Mak в сообщении #743172 писал(а):

Разобьём этот примитивный квадрат на 4 квадранта NxN. В каждом таком квадранте имеем примитивный квадрат порядка N, N-простое число. Из такого примитивного квадрата можно получить пандиагональный квадрат порядка N с помощью преобразования Россера.

Не корректно сформулировал гипотезу.

Гипотеза(новая редакция): Можно ли любой регулярный пандиагональный квадрат порядка 2N пострить из 4-х пандиагональных квадратов порядка N по решеткам L(2)?

Словами. Числа любого регулярного (на самом деле любого, но нас интересует случай регулярного квадрата) пандиагонального квадрата порядка 2N можно разбить на 4 группы по решеткам Россера L(2). Сумма чисел в каждой группе будет одинаковой. Всегда ли можно из чисел каждой группы построить пандиагональный квадрат порядка N?

-- Чт июл 04, 2013 16:50:28 --

Откуда что берется. Известен следующий алгоритм:
Алгоритм №1 Строим 4 пандиагональных квадарта порядка N, с одинаковой суммой из различных простых чисел. Из них по решеткам L(2) строим пандиагональный квадрат порядка 2N.

Сейчас рассмтриваю обоснование следующего алгоритма:
Алгоритм №2. Строим примитивный квадрат порядка 2N, удовлетворяющий неким дополнительным условиям. Ищем преобазование примитивный квадрат -> пандиагональный квадрат.

Если вышеприведенная гипотеза верна, то алгоритм №2 заведомо не может дать результат лучше алгоритма №1. А значит не надо мучится над формулированием дополнительных условий и поиском преборазования. Можно сразу переходить к разработке алгоритма №3, для поиска нерегулярных квадратов.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #743176 писал(а):

Отмечу, что k=1,2,3 и все. Для N=16,20 и так далее это уже не подходит.

Это почему же? В моей статье написано, что по Теореме 5.5 случай 2 (в статье Россера) этот метод работает для всех порядков n=4m. В этой статье рассматривается построение квадратов порядка 12 данным методом.

Цитата:

Второй метод Россера рассмотрен в Теореме 5.5, случай 2. Метод работает для порядков n = 4m. Строится определённым образом примитивный квадрат и применяется к нему преобразование:
A(i,j) = B(2i-j, -3i+2j),
где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(k,m) – элементы пандиагонального квадрата.

Я неверно поняла указанную теорему?
Сейчас посмотрю, что у меня есть в статье о построении пандиагональных квадратов 16-го порядка.

Цитата:

А как быть со случаями 2k+2 (N=10,14,18)?

Вы хотели сказать "со случаями 4k+2, k=2,3,4..."?

Ну так читайте тему!
Я уже рассказала и о порядке 10, и о порядке 14.
Другое дело, что рассказала только то, что сама знаю. Как вам известно, я не нашла решение для N=14. А решение для N=10 найдено вами
Во-первых, для всех этих порядков возможно построение по решёткам, что вы и сделали для порядка N=10, а я сделала для порядка N=18.
Во-вторых, есть алгоритм с ассоциативными примитивными квадратами, о котором рассказано выше для порядков N=10,14. Я ничего не гарантирую в применении этих алгоритмов, потому что сама их ещё не реализовала и не знаю, что они могут дать.

-- Чт июл 04, 2013 16:00:19 --

Цитата:

Алгоритм №1 Строим 4 пандиагональных квадарта порядка N, с одинаковой суммой из различных простых чисел. Из них по решеткам L(2) строим пандиагональный квадрат порядка 2N.

Сейчас рассмтриваю обоснование следующего алгоритма:
Алгоритм №2. Строим примитивный квадрат порядка 2N, удовлетворяющий неким дополнительным условиям. Ищем преобазование примитивный квадрат -> пандиагональный квадрат.

Для N=14 алгоритм №1 (решётки) применить трудно: 4 пандиагональных квадрата 7-го порядка с одинаковой магической константой да из разных чисел найти очень непросто.
Я в своё время пыталась это сделать, безуспешно.
А вот алгоритм №2 можно попробовать, например, для случая с ассоциативным примитивным квадратом (ассоциативные примитивные квадраты строить намного проще, чем обычные).
Ещё раз повторю: я ничего не обещаю
Переходите сразу к поиску нерегулярных квадратов, не обращайте внимания на мои эвристики.

-- Чт июл 04, 2013 16:11:44 --

Pavlovsky в сообщении #743176 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #743106 писал(а):

Можно предположить, что эти условия имеют место для всех квадратов порядка n=4k, k=1,2,3,...

Это условие я понял. Есть над чем подумать. Отмечу, что k=1,2,3 и все. Для N=16,20 и так далее это уже не подходит.

Этот метод работает для всех порядков n=4k, k=1,2,3,...
Уверена.