Период хитрой функции

[champion12]

$\dfrac{4}{3}$ и $\dfrac{6}{5}$

А почему нужно приводить к общему знаменателю? Общий знаменатель и НОК -- 15.

[ИСН]

Не хотите - не приводите. Только как-то надо найти такое число, чтобы в него оба периода укладывались целое число раз. Можете найти? 1 годится? Явно нет. Может, 2? 3? 4? 100500?

[ewert]

champion12 в сообщении #690212 писал(а):

А почему нужно приводить к общему знаменателю?

Не в этом смысле приводить. Впрочем, и не нужно приводить. Просто найдите, какое наименьшее количество первых периодов будет давать тот же отрезок, что и некоторое целое количество вторых периодов. Т.е. найдите наименьшее решение в целых числа уравнения $\dfrac43\,n=\dfrac65\,m$.

[champion12]

Аааа, теперь понятно, спасибо!

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #690167 писал(а):

Отложите по оси абсцисс десяток периодов первой функции (красными точечками) и десяток периодов второй функции (синими точечками).

Там, где Вы живёте, есть круглосуточные магазины с цветными карандашами (ручками)? Или очередного утра будем ждать?
Нельзя так долго это решать.

-- 02 мар 2013, 23:57:07 --

Десяток я тогда от фонаря предложил, но, похоже, угадал --- этого хватит.

[champion12]

Алексей К. в сообщении #690383 писал(а):

Алексей К. в сообщении #690167 писал(а):

Отложите по оси абсцисс десяток периодов первой функции (красными точечками) и десяток периодов второй функции (синими точечками).

Там, где Вы живёте, есть круглосуточные магазины с цветными карандашами (ручками)? Или очередного утра будем ждать?
Нельзя так долго это решать.

-- 02 мар 2013, 23:57:07 --

Десяток я тогда от фонаря предложил, но, похоже, угадал --- этого хватит.

Часто ли вы так сами с собой общаетесь?

[Keter]

Я темы не читал, только первое сообщение ТС, скажите, период $\dfrac{12}{15}$?

[nnosipov]

Keter в сообщении #690653 писал(а):

Я темы не читал, только первое сообщение ТС, скажите, период $\dfrac{12}{15}$?

Ну, подставьте туда-сюда, посмотрите.

[Keter]

nnosipov, похоже на 12.

Прав ли я, что если $T_f=\dfrac{n_1}{m_1}, T_g=\dfrac{n_2}{m_2}, T_p=\dfrac{n_3}{m_3},$ то общий период $T_{f,g,p}=\dfrac{\operatorname{lcm} (n_1, n_2, n_3)}{\gcd(m_1, m_2, m_3)}$ ?

[Oleg Zubelevich]

[arseniiv]

Keter в сообщении #690682 писал(а):

Прав ли я, что если $T_f=\dfrac{n_1}{m_1}, T_g=\dfrac{n_2}{m_2}, T_p=\dfrac{n_3}{m_3},$ то общий период $T_{f,g,p}=\dfrac{\operatorname{lcm} (n_1, n_2, n_3)}{\gcd(m_1, m_2, m_3)}$ ?

Зачем так сложно? Разве НОК и НОД не обобщаются на рациональные числа? И даже на $\mathbb R \cup\{\infty\}$, кажется…

[Keter]

Ну пусть периоды двух функций соизмеримы, тогда $\dfrac{T_f}{T_g}=\dfrac{b}{a},$ тогда $aT_f =b T_g,$ значит число $T=aT_f= bT_g$ является периодом как функции $f,$ так и $g.$

Теперь пусть $y=f(x)-4g(x)+3p(x),$ где $f(x)=\sin 2x, \quad g(x)=\cos \dfrac{5x}{3}, \quad p(x)=\tg \dfrac{x}{2}.$

Как найти период $y$? Можно по-отдельности: найти период $\Big(f(x)+p(x)\Big)$ и так далее.

Ну я так сделал и пришел к выводу, что $T_f=\dfrac{1}{1} \pi, \quad T_g=\dfrac{3}{5} \pi, \quad T_p=\dfrac{2}{1} \pi$ и общий период $T_{f,g,p}=\dfrac{\operatorname{lcm}(1, 3, 2)}{\gcd(1, 5, 1)} \cdot \pi=6 \pi$

-- 03.03.2013, 18:56 --

arseniiv в сообщении #690697 писал(а):

Разве НОК и НОД не обобщаются на рациональные числа? И даже на $\mathbb R \cup\{\infty\}$, кажется…

Не знал. Думал, что эти понятия существуют только для натуральных. Как именно обобщаются?

[ИСН]

Про алгоритм Евклида слышали, например?

[Oleg Zubelevich]

продолжение банкета см topic69316.html

[nnosipov]

Keter в сообщении #690682 писал(а):

Прав ли я, что если $T_f=\dfrac{n_1}{m_1}, T_g=\dfrac{n_2}{m_2}, T_p=\dfrac{n_3}{m_3},$ то общий период $T_{f,g,p}=\dfrac{\operatorname{lcm} (n_1, n_2, n_3)}{\gcd(m_1, m_2, m_3)}$ ?

Если $a_i/b_i$ --- несократимые дроби, $i=1,\,\dots,\,n$, то

$$ \mathrm{lcm}{(a_1/b_1,\dots,a_n/b_n)}=\frac{\mathrm{lcm}{(a_1,\dots,a_n)}} {\mathrm{gcd}{(b_1,\dots,b_n)}}. $$

Аналогично для $\mathrm{gcd}{(a_1/b_1,\dots,a_n/b_n)}$. Полезно доказать.