Период хитрой функции

[champion12]

Как найти период функции $f(x)=\sin\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)+4\cos\left(\dfrac{5\pi x}{3}\right)$?

Есть только идея построить и посмотреть на график, но как можно найти решение аналитически?

Да, у $\dfrac{3\pi x}{2}$ период $2\pi$

Да, у $\dfrac{5\pi x}{3}$ период $2\pi$

[Legioner93]

champion12 в сообщении #689592 писал(а):

Да, у $\dfrac{3\pi x}{2}$ период $2\pi$

Да, у $\dfrac{5\pi x}{3}$ период $2\pi$

Вы, наверное, имели в виду $\sin(\cdot)$, $\cos(\cdot)$. А то у линейной функции периода вообще нет.

У синуса будет не $2\pi$, и даже не 2, а то минимальное по модулю число, для которого при $\forall x$ верно $\sin\left(\frac{3\pi x}{2}\right)=\sin\left(\frac{3\pi (x+T)}{2}\right)$
Честно раскройте разность синусов и решите уравнение относительно $T$ (подсказка: получится обыкновенная дробь, без $\pi$). Потом то же самое с косинусами сделайте.

А дальше нужно немного подумать и найти период суммы функций. Можете рисовать эти периоды на прямой, если хотите (без оси ординат).

[Алексей К.]

champion12 в сообщении #689592 писал(а):

Да, у ${\color{blue}[\sin?]}\dfrac{3\pi x}{2}$ период $2\pi$

Я не проверял, но я не верю, что $\sin\dfrac{3\pi\cdot 0}{2}=\sin \dfrac{3\pi \cdot (0+2\pi)}{2}$.

[Утундрий]

Говорим $\sin \alpha \cdot A + \cos \beta \cdot B$, подразумеваем $C \cdot \left( {\sin \alpha \cdot \cos \gamma + \cos \beta \cdot \sin \gamma } \right)$...

[Алексей К.]

Утундрий в сообщении #689671 писал(а):

Говорим $\sin \alpha \cdot A + \cos \beta \cdot B$, подразумеваем $C \cdot \left( {\sin \alpha \cdot \cos \gamma + \cos \beta \cdot \sin \gamma } \right)$...

И чо?

[Утундрий]

Алексей К. в сообщении #689698 писал(а):

И чо?

А ежели не помогает, то надыть попробовать что-то другое. Этих тождеств так много и возможно придётся перепробовать их все, но куда спешить...

[Алексей К.]

Утундрий в сообщении #689705 писал(а):

но куда спешить.

Весна наступила, есть куда спешить. Математику сейчас надо делать быстро и тупо. Типа, для начала, тупо сыскать правильные периоды.

[Утундрий]

Алексей К. в сообщении #689755 писал(а):

Математику сейчас надо делать быстро и тупо

Ну, тогда без построения графика никак не обойтись. Тем более, что современное развитие компьютерной технологии изображения на экране точечками позволяет быстро и тупо (как и заказывали) разрешить сию проблему т.с. фундаментально. Изобразив таким образом (см. ниже) $f(x/ \pi)$ уже можно вполне предметно размышлять на тему

$$\frac{3}{2}x = \frac{5}{3}x + 2n$$

[devgen]

Какая-то боль.

$x \dfrac{3\pi}{2} = 2\pi$
Так находим период первого, аналогично второго слагаемого. Период суммы связан с тем, что начинается на Н, а кончается на К.

[Алексей К.]

devgen в сообщении #689776 писал(а):

$x \dfrac{3\pi}{2} = 2\pi$
Так находим период первого

А я бы так искал: $T_1 \dfrac{3\pi}{2} = 2\pi$
А Наименьшее Общее Кратное на "е" кончается.

[Утундрий]

А я бы ещё раз обратил внимание, что задача-то по сути на вычисление

$$\frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{1}{6}$$

[champion12]

Спасибо! То есть период, вроде как $\dfrac{\pi}{12}$?

А как узнали, что

$$\frac{3}{2}x = \frac{5}{3}x + 2n$$

?

Получится ли что-то с разностью синусов или нет?

[Утундрий]

champion12 в сообщении #689839 писал(а):

Спасибо! То есть период, вроде как $\dfrac{\pi}{12}$?

Ну вот как можно было так понять мои слова?

[Oleg Zubelevich]

а как найти период функции $f(z)=\sum_{k=1}^Nc_ke^{\omega_k z}$, где $\omega_j$ попартно различны ? ($ z,\omega_j,c_j\in\mathbb{C}$)

уравнение $f(z+T)=f(z)$ приводит к линейной системе $f^{(n)}(T)=f^{(n)}(0),\quad n=0,\ldots, N-1$ относительно $c_ke^{\omega_k T}$, которая однозначно разрешима (определитель Вандермонда). Получится система уравнений вида $c_ke^{\omega_k T}=w_k$ относительно $T$. Период $T$, если он существует, является решением этой системы. Если данная система не имеет решения $T$ то функция непериодична.

[devgen]

Алексей К.

(Оффтоп)

Я же не зря писал с большой буквы, имел ввиду НОК

champion12
Как он может быть меньше периода каждого слагаемого?