Задачка по тер веру

[houkstu]

Проверьте плз, препод сказал что с неправильными данными у меня получился правильный ответ

Задача:
В каждой из $n$ урн по $N$ белых и $M$ черных шаров. Из первой урны во 2-ю перекладывается один шар, затем из 2-й урны в 3-ю перекладывается один шар и т.д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того что он белый.

Решение:
Решим задачу используя формулу полной вероятности:

$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(H_i)\cdot P(A/H_i)$

$A$ - шар извлеченный из последней урны, белый
$H_1$ - переложили белый шар
$H_2$ - переложили черный шар

$P(A)=P(H_1)\cdot P({A}/{H_1})+P(H_2) \cdot P({A}/{H_2})$

$P(H_1)=\frac{C_N^1}{C_{N+M}^1}=\frac{N! \cdot 1! \cdot (N+M-1)!}{1! \cdot (N-1)! \cdot (N+M)!}$

$P(H_2)=\frac{C_M^1}{C_{N+M}^1}=\frac{M! \cdot 1! \cdot (N+M-1)!}{1! \cdot (M-1)! \cdot (N+M)!}$

$P({A}/{H_1})=\frac{N+1}{N+1+M}$

$P({A}/{H_2})=\frac{N+1}{N+M+1}$

$P(A)=\frac{N! \cdot 1! \cdot (N+M-1)!}{1! \cdot (N-1)! \cdot (N+M)!} \cdot \frac{N+1}{N+1+M} + \frac{M! \cdot 1! \cdot (N+M-1)!}{1! \cdot (M-1)! \cdot (N+M)!} \cdot \frac{N+1}{N+M+1} =$

$= \frac{N! \cdot (N+M-1)! \cdot (N+1) \cdot (M-1)! + M! \cdot (N+M-1)! \cdot N \cdot (N-1)!}{(N-1)! \cdot (M-1)! \cdot (N+M)! \cdot (N+M+1)}=$

$= \frac{(N+M-1)! \cdot (N! \cdot (N+1) \cdot (M-1)! + M! \cdot N \cdot (N-1)!)}{(N-1)! \cdot (M-1)! \cdot (N+M)! \cdot (N+M+1)}=$

$=\frac{N \cdot ((N-1)! \cdot (N+1) \cdot (M-1)! + M! \cdot (N-1)!)}{(N-1)! \cdot (M-1)! \cdot (N+M) \cdot (N+M+1)}=$

$=\frac{N \cdot ((N+1) \cdot (M-1)! + M!)}{(M-1)! \cdot (N+M) \cdot (N+M+1)}=$

$= \frac{N \cdot (M-1)! \cdot((N+1) + M)}{(M-1)! \cdot (N+M) \cdot (N+M+1)}= \frac{N}{N+M}$

$P(A)= \frac{N}{N+M}$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Наберите формулы ТеХом, как написано здесь или здесь (или в этом видеоролике), после чего сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.

[zhoraster]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[--mS--]

houkstu в сообщении #659744 писал(а):

$H_1$ - переложили белый шар
$H_2$ - переложили черный шар

Откуда и куда? Судя по вероятностям $\mathsf P(H_i)$, из первой урны во вторую. А судя по вероятностям $\mathsf P(A|H_i)$, из предпоследней в последнюю.

[Shadow]

Ответ у Вас првильный - вероятность не зависит от число урн. А значит можно и попроще. Индукция.

[houkstu]

эм, а можно поподробнее я не силен в теорвере

-- 18.12.2012, 00:48 --

У нас же получается что в последней урне будет:
Либо $N+1$ белых и $M$ черных
Либо $N$ белых и $M+1$ черных

[--mS--]

А от чего зависит, какой состав там будет?

[houkstu]

В смысле от чего зависит?

[--mS--]

Вы сказали "либо".. "либо". От чего зависит, какой из этих двух вариантов будет выполнен?

[houkstu]

От того какой шар мы переложим.
Если белый то 1-й вариант, если черный то 2-й вариант

[Shadow]

Вы заменили "либо" на "если", можно попробовать и "вдруг". Все равно лучше не станет. Замените их на формулы вероятности.

[--mS--]

houkstu в сообщении #659972 писал(а):

От того какой шар мы переложим. Если белый то 1-й вариант, если черный то 2-й вариант

А с какой вероятностью мы переложим белый? Это от чего зависит?

[houkstu]

от $M$ и $N$?

-- 18.12.2012, 01:21 --

Если белых шаров много то и вероятность того что будет переложен именно он, больше

[Shadow]

Решите задачу для двух урн. Только две урны.

[houkstu]

это и будет решением моей задачи да?