2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение03.12.2012, 16:43 
Аватара пользователя
alcoholist в сообщении #653420 писал(а):
Конечно, класс евклидовых пространств -- фундаментальный.

(естественный) Выбор евклидовых определен тем, что кривизна везде нулевая

Первый же наивный вопрос. Класс пространств постоянной положительной кривизны, и класс пространств постоянной отрицательной кривизны (даже уже, класс эллиптических и класс гиперболических пространств) - оба фундаментальные? Становится ли кто-нибудь из них нефундаментальным, если ограничить радиус кривизны сверху?

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение03.12.2012, 18:45 
Аватара пользователя
epros в сообщении #653614 писал(а):
В моём примере


я и говорил, что в Вашем нет такой красоты

epros в сообщении #653614 писал(а):
Это Вы к чему?



к тому, что Вы узко понимаете смысл понятия "кривизна"

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение03.12.2012, 20:04 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #653629 писал(а):
Первый же наивный вопрос. Класс пространств постоянной положительной кривизны, и класс пространств постоянной отрицательной кривизны



оба-два, да

у сферы есть проблемы с полнотой, но локально -- да

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение03.12.2012, 20:35 
Аватара пользователя
alcoholist в сообщении #653733 писал(а):
у сферы есть проблемы с полнотой

О! Вот тут можно Утундрию порыться.

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение03.12.2012, 21:39 
Аватара пользователя
alcoholist в сообщении #653733 писал(а):
у сферы есть проблемы с полнотой, но локально -- да


В теореме Нэша утверждается, что риманово многообразие размерности $m$ можно изометрически вложить в сколь угодно малый кусок евклидова пространства размерности $2m$. Кажется довольно правдоподобным, что то же самое верно для вложения в любое $2m$-мерное риманово многообразие.

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение04.12.2012, 12:45 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #653809 писал(а):
В теореме Нэша утверждается, что риманово многообразие размерности $m$ можно изометрически вложить в сколь угодно малый кусок евклидова пространства размерности $2m$.

По-моему вы немного преувеливаете/преуменьшаете. Размерность евклидового пр-ва должна быть $m^2+5m+3$.

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение04.12.2012, 13:07 
Аватара пользователя
Хм. Даже для $C^1$- вложений? Вроде, есть такой факт,

http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение04.12.2012, 13:50 
Аватара пользователя
Да, факт есть... Но $C^1$ для риманова не очень естественно) Даже вторую форму индуцированную не определить

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение04.12.2012, 21:08 
Аватара пользователя
Букет это набор топологических пространств склееных в одной точке. Берем такой бесконечный набор сфер: окружность, сфера, 3-сфера,... $S^n$....и т.д. Берем в каждой сфере по точке и склеиваем их. Полученный букет $\vee_{n}S^n$ не вкладывается в $R^n$ при $n\to \infty$.

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение04.12.2012, 22:14 
Аватара пользователя
А в $R^{n+1}$ вкладывается...

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение04.12.2012, 23:08 
Аватара пользователя
ИгорЪ в сообщении #654237 писал(а):
Букет это набор топологических пространств склееных в одной точке. Берем такой бесконечный набор сфер: окружность, сфера, 3-сфера,... $S^n$....и т.д. Берем в каждой сфере по точке и склеиваем их. Полученный букет $\vee_{n}S^n$ не вкладывается в $R^n$ при $n\to \infty$.


Это пример чего? Если оба $n$ (то, которое в $\vee_{n}S^n$ и то, которое в $R^n$) одинаковые, то вместо букета можно взять просто $S^n$, тогда все равно не будет вкладываться. Если только первое $n$ (количество сфер) стремится к бесконечности, то этот пример ничем не лучше и не хуже любого бесконечномерного топологического пространства.

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение05.12.2012, 08:29 
Аватара пользователя
Разумеется это пример бесконечномерного топологического пространства. g______dПо вашему любое бесконечномерное тп не вкладывается?

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение05.12.2012, 13:36 
Аватара пользователя
Для известных мне определений размерности это так. А что, Вы знаете контрпример?

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение10.12.2012, 23:45 
Аватара пользователя
В.И.Арнольд писал(а):
...только в размерности 4 существуют "фальшивые евклидовы пространства", топологически одинаковые с обычным четырехмерным пространством, но не допускающие единой гладкой координатной системы.

Все эти фальшивые четырехмерные пространства допускают, однако, замечательное описание в терминах динамических систем: они являются пространствами орбит некоторых гладких векторных полей (без положения равновессия) в обычном евклидовом пятимерном пространстве. До сих пор, насколько мне известно, никто не выписал подобное векторное поле в явном виде. Могут ли его компоненты быть элементарными функциями? многочленами?

Кто-нибудь с такими животными сталкивался и где об этих зверях можно полистать подробнее?

 
 
 
 Re: Куда можно вложить евклидово пространство?
Сообщение10.12.2012, 23:59 
Аватара пользователя
Фрид, Уленбек, "Инстантоны и четырехмерные многообразия". Вообще очень интересное явление, и возникает из уравнений Янга-Миллса. И именно в размерности 4. Жаль, что я в этом не разбираюсь :(

 
 
 [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group