2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 И вновь о соседних кубах...
Сообщение05.11.2012, 19:38 


03/02/12

530
Новочеркасск
1 случай.
Доказать, что:
(1)$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$
не имеет решений в натуральных числах.
Предположим решение существует, тогда перепишем (1):
(2)$(6n+1)^3=(6m+1)^3-(6m)^3$,
или,
(3) $(6n+1)^3=18m(6m+1)+1$
Раскрыв скобки $(6n+1)^3$, запишем:
(4) $18n(12n^2+3n+1)=18m(6m+1)$
$6n$ и $6m$
всегда взаимнопросты с
$12n^2+3n+1$ и $6m+1$
Следовательно,
$n|m$, так как они одной четности, что следует из обязательного условия $(6n)^3=18(m-n)(6n+6m+1)$
Тогда можно записать:
(5)$m=nk$
Решая (4) с учетом и в обозначениях (5), приходим к:
(6) $n(nk^2+k-12n^2-3)=1$,
которое не имеет решений в натуральных $n, k$

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение05.11.2012, 19:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2 в сообщении #640412 писал(а):
Следовательно,
$n|m$
Опять фантазируете? Нет оснований для такого вывода.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение05.11.2012, 19:48 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
alexo2 в сообщении #640412 писал(а):
(4) $18n(12n^2+3n+1)=18m(6m+1)$
$6n$ и $6m$
всегда взаимнопросты с
$12n^2+3n+1$ и $6m+1$,
Если вы имеете в виду попарную взаимную простоту, то это не так: $gcd(6n,12n^2+3n+1)=2$ при нечётном $n$
А уж про взаимную простоту $6n$ и $6m+1$ вообще ничего пока сказать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение05.11.2012, 19:56 


03/02/12

530
Новочеркасск
Прошу прощения - дописал уже ещу одно условие...

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение05.11.2012, 19:59 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Не помогает.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение05.11.2012, 20:04 


03/02/12

530
Новочеркасск
nnosipov в сообщении #640426 писал(а):
Не помогает.

Верю, но не пойму почему? (а я так хотел в этом месте написать "Очевидно..." :cry: )
Да, да - понял...
На этом этапе можно точно утверждать, что m и n невзаимнопростые

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение05.11.2012, 20:08 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
venco в сообщении #640418 писал(а):
про взаимную простоту $6n$ и $6m+1$ вообще ничего пока сказать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение30.04.2013, 10:25 


03/02/12

530
Новочеркасск
Интересно, что довольно легко показать (по-крайней мере, элементарными методами), что в случае существования хотя бы одного решения
$x^3+y^3=(y+1)^3$,
должно существовать бесконечное количество решений для разности соседних кубов - как, например, для разности квадратов.
"Остается" - с другой стороны доказать, что решение может быть только единственным.. Вот оно - противоречие, показывающее, что вообще не существует решения для разности соседних кубов!..
Для общего случая:
$x^3+y^3=(y+a)^3$, где а - параметр,
подозреваю, все аналогично...

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение30.04.2013, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
alexo2 в сообщении #717586 писал(а):
Интересно, что довольно легко показать (по-крайней мере, элементарными методами), что в случае существования хотя бы одного решения
$x^3+y^3=(y+1)^3$,
должно существовать бесконечное количество решений для разности соседних кубо


Не верю. покажите 'довольно легкое доказательство'

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение30.04.2013, 17:19 


03/02/12

530
Новочеркасск
shwedka в сообщении #717656 писал(а):
Не верю. покажите 'довольно легкое доказательство'


Уважаемая Shwedka, ну, скажем так: "средней легкости". Только - для чего?, ведь, элементарного доказательства даже того, что может существовать конечное количество (не говоря уж о единственности) я пока не нашел...
Хотя, наличие определенного количества различных решений для одного и того же а очевидным образом свидетельствует о существовании представления одного и того же куба столькими же способами (в общем случае - бесконечным).

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение30.04.2013, 17:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2 в сообщении #717831 писал(а):
Только - для чего?
Этот результат сам по себе интересен. Так что пишите доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение30.04.2013, 17:51 


03/02/12

530
Новочеркасск
nnosipov в сообщении #717841 писал(а):
alexo2 в сообщении #717831 писал(а):
Только - для чего?
Этот результат сам по себе интересен. Так что пишите доказательство.

Хорошо, завтра - в первой половине дня (просто, надо подготовить, да и страниц штуки 3 получается - довольно длинновато...)

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение13.08.2013, 11:00 


03/02/12

530
Новочеркасск
Разрешимость
(1)$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$
эквивалентна разрешимости
(2)$n(6(2n^2+n)+1)=m(6m+1) $

Есть подозрение, что неразрешимость (2), кроме тривиального $n=m=0$ доказывается сравнительно легко, - это просто я торможу...

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение13.08.2013, 11:22 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2 в сообщении #754382 писал(а):
Есть подозрение, что неразрешимость (2), кроме тривиального $n=m=0$ доказывается сравнительно легко
Легко будет, если мы дополнительно чего-нибудь потребуем. Например, чтобы $m$ и $n$ были взаимно просты. Или чтобы $6m+1$ и $n$ были взаимно простыми. То есть будем решать уравнения в частных случаях.

А в общем случае пока имеем то, что имеем.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение13.08.2013, 11:42 


03/02/12

530
Новочеркасск
Собственно, в дополнительных требованиях и загвоздка. Вернее, в их обосновании...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 156 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group