И вновь о соседних кубах...

[alexo2]

1 случай.
Доказать, что:
(1)$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$
не имеет решений в натуральных числах.
Предположим решение существует, тогда перепишем (1):
(2)$(6n+1)^3=(6m+1)^3-(6m)^3$,
или,
(3) $(6n+1)^3=18m(6m+1)+1$
Раскрыв скобки $(6n+1)^3$, запишем:
(4) $18n(12n^2+3n+1)=18m(6m+1)$
$6n$ и $6m$
всегда взаимнопросты с
$12n^2+3n+1$ и $6m+1$
Следовательно,
$n|m$, так как они одной четности, что следует из обязательного условия $(6n)^3=18(m-n)(6n+6m+1)$
Тогда можно записать:
(5)$m=nk$
Решая (4) с учетом и в обозначениях (5), приходим к:
(6) $n(nk^2+k-12n^2-3)=1$,
которое не имеет решений в натуральных $n, k$

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #640412 писал(а):

Следовательно,
$n|m$

Опять фантазируете? Нет оснований для такого вывода.

[venco]

alexo2 в сообщении #640412 писал(а):

(4) $18n(12n^2+3n+1)=18m(6m+1)$
$6n$ и $6m$
всегда взаимнопросты с
$12n^2+3n+1$ и $6m+1$,

Если вы имеете в виду попарную взаимную простоту, то это не так: $gcd(6n,12n^2+3n+1)=2$ при нечётном $n$
А уж про взаимную простоту $6n$ и $6m+1$ вообще ничего пока сказать нельзя.

[alexo2]

Прошу прощения - дописал уже ещу одно условие...

[nnosipov]

Не помогает.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #640426 писал(а):

Не помогает.

Верю, но не пойму почему? (а я так хотел в этом месте написать "Очевидно..." )
Да, да - понял...
На этом этапе можно точно утверждать, что m и n невзаимнопростые

[venco]

venco в сообщении #640418 писал(а):

про взаимную простоту $6n$ и $6m+1$ вообще ничего пока сказать нельзя.

[alexo2]

Интересно, что довольно легко показать (по-крайней мере, элементарными методами), что в случае существования хотя бы одного решения
$x^3+y^3=(y+1)^3$,
должно существовать бесконечное количество решений для разности соседних кубов - как, например, для разности квадратов.
"Остается" - с другой стороны доказать, что решение может быть только единственным.. Вот оно - противоречие, показывающее, что вообще не существует решения для разности соседних кубов!..
Для общего случая:
$x^3+y^3=(y+a)^3$, где а - параметр,
подозреваю, все аналогично...

[shwedka]

alexo2 в сообщении #717586 писал(а):

Интересно, что довольно легко показать (по-крайней мере, элементарными методами), что в случае существования хотя бы одного решения
$x^3+y^3=(y+1)^3$,
должно существовать бесконечное количество решений для разности соседних кубо

Не верю. покажите 'довольно легкое доказательство'

[alexo2]

shwedka в сообщении #717656 писал(а):

Не верю. покажите 'довольно легкое доказательство'

Уважаемая Shwedka, ну, скажем так: "средней легкости". Только - для чего?, ведь, элементарного доказательства даже того, что может существовать конечное количество (не говоря уж о единственности) я пока не нашел...
Хотя, наличие определенного количества различных решений для одного и того же а очевидным образом свидетельствует о существовании представления одного и того же куба столькими же способами (в общем случае - бесконечным).

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #717831 писал(а):

Только - для чего?

Этот результат сам по себе интересен. Так что пишите доказательство.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #717841 писал(а):

alexo2 в сообщении #717831 писал(а):

Только - для чего?

Этот результат сам по себе интересен. Так что пишите доказательство.

Хорошо, завтра - в первой половине дня (просто, надо подготовить, да и страниц штуки 3 получается - довольно длинновато...)

[alexo2]

Разрешимость
(1)$(6n+1)^3+(6m)^3=(6m+1)^3$
эквивалентна разрешимости
(2)$n(6(2n^2+n)+1)=m(6m+1) $

Есть подозрение, что неразрешимость (2), кроме тривиального $n=m=0$ доказывается сравнительно легко, - это просто я торможу...

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #754382 писал(а):

Есть подозрение, что неразрешимость (2), кроме тривиального $n=m=0$ доказывается сравнительно легко

Легко будет, если мы дополнительно чего-нибудь потребуем. Например, чтобы $m$ и $n$ были взаимно просты. Или чтобы $6m+1$ и $n$ были взаимно простыми. То есть будем решать уравнения в частных случаях.

А в общем случае пока имеем то, что имеем.

[alexo2]

Собственно, в дополнительных требованиях и загвоздка. Вернее, в их обосновании...