Условия Коши-Римана в показательной форме

[bayak]

Если комплексная функция задана в показательной форме, то какой вид имеют условия Коши-Римана в полярных координатах?

[chessar]

$\dfrac{\partial f}{\partial r} + \dfrac{i}{r}\dfrac{\partial f}{\partial \varphi} = 0$,

т.е. если $f(z)=R(x,y)e^{i\Phi(x,y)}$, то

$\dfrac{\partial R}{\partial x} = R \dfrac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\dfrac{\partial R}{\partial y} = - R \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}$

[bayak]

chessar
Но ведь это в декартовых координатах. В полярных координатах у меня получилось громоздкое выражение, а хотелось бы увидеть что-то попроще.

[chessar]

bayak в сообщении #627616 писал(а):

Но ведь это в декартовых координатах. В полярных координатах у меня получилось громоздкое выражение, а хотелось бы увидеть что-то попроще.

$\dfrac{\partial u}{\partial r} = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \dfrac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \dfrac{\partial v}{\partial r}$. Так устроит? Как Вы записываете $f(z)$ в полярных координатах? Приведите Ваши выкладки.

[bayak]

chessar в сообщении #627767 писал(а):

bayak в сообщении #627616 писал(а):

Но ведь это в декартовых координатах. В полярных координатах у меня получилось громоздкое выражение, а хотелось бы увидеть что-то попроще.

$\dfrac{\partial u}{\partial r} = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \dfrac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \dfrac{\partial v}{\partial r}$. Так устроит? Как Вы записываете $f(z)$ в полярных координатах? Приведите Ваши выкладки.

В этих уравнениях я сделал замену $u=R\cos\Phi$, $v=R\sin\Phi$ и в итоге получил громоздкую систему уравнений в показательно-полярных координатах. Но оказывается, что если бы я применил такую систему координат, в которой градиенты были бы ортонормальны, то система уравнений Коши-Римана не изменилась бы. Полярные координаты ортогональны, но не ортонормальны, поэтому хотелось бы нормализовать их. Есть у Вас готовое решение?

[bayak]

Ну раз нет готового решения, то предложу следующее.
Пусть

$$\begin{cases}\nabla r = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x\partial x + y\partial y)\\ \nabla \vartheta = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(-y\partial x + x\partial y) \end{cases}. $$

Тогда координаты $(r,\vartheta)$ можно считать нормализованными полярными координатами, но их геометрический смысл будет иным. Координата $r$ задаёт длину на образующей цилндра $\mathbb{R}^{+}\times S^1$, а координата $\vartheta$ - угол на задающей окружности цилиндра. Кстати, отсюда получается неплохая геометрическая интерпретация комплексных чисел.

[bayak]

bayak в сообщении #629179 писал(а):

Кстати, отсюда получается неплохая геометрическая интерпретация комплексных чисел.

В этой связи возникает вопрос о новом представлении комплексно-аналитических функций, т.е. интересно было бы знать какими симметриями на цилиндре обладают конформные отображения плоскости.

[bayak]

Замечательно также то, что спиралевидное векторное поле декартовой плоскости $(x,y)$:

$$\rho e^{i\varphi}\equiv \rho(x\partial'_{x}+y\partial'_{y}),$$

где

$$\begin{cases}\partial'_{x}=\cos\varphi\partial_x-\sin\varphi\partial_y\\ \partial'_{y}=\sin\varphi\partial_x+\cos\varphi\partial_y,\end{cases}$$

которое служит векторно-полевым представлением комплексных чисел, на поверхности цилиндра $(r,\vartheta)$ приобретает следующий винтообразный вид:

$$(\rho\cos\varphi) r\partial r +(\rho\sin\varphi) r \partial\vartheta.$$