Помогите найти ошибку

[theambient]

(Оффтоп)

поражаюсь Вашему терпению

[DANGER]

Shtorm в сообщении #633742 писал(а):

DANGER в сообщении #633705 писал(а):

чтобы оправдать табличный интеграл

Табличный неопределённый интеграл уж точно не нуждается именно в таком оправдании. Для него достаточное оправдание - это его определение. А именно: первообразная по отношению к функции $\frac {1}{x}$ плюс произвольная константа интегрирования. Всё. Больше ничего выдумывать не нужно.

Насчет первообразной Вы правы. А насчет неопределенного интеграла - нет! В матанализе подразумевается, что определенный интеграл - есть частный случай неопределенного. Я утверждаю. что неопределенный интеграл - есть частный случай определенного. И это доказывается приведенным мною примером. У подынтегральной функции $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ нет неопределенного интеграла, а первообразная функция есть: это логарифм приращения аргумента $y=\ln\frac {x}{1}$. Процесс дифференцирования, как поиска производной (предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю) - опреация над приращением функции, а не над функцией. Поэтому, процесс интегрирования заканчивается тоже приращением (первообразной). Переход к самой первообразной происходит интуитивно. Этот ключевой момент обычно ускользает...
Я готов доказать сказанное, если эту тему не закроют. Но я уверен, что ее закроют, т.к. ЗНАЮ цену профессиональным "специалистам"-математикам. Загляну сюда через сутки. Если тему не закроют, я ее продолжу и докажу свою правоту, в том числе и применяя угловой коэффициент касательной к кривой, который обычно приводят в доказательство существования СЕМЕЙСТВА первообразных. Также покажу абсурдность формулы $\displaystyle\int 0dx=C$, т.к. $\displaystyle C=\int\limits_{0}^{C} dy$ в формулах табличных интегралов. Если закроют, то я окажусь прав в своей оценке "специалистов".

[Shtorm]

DANGER в сообщении #633804 писал(а):

Я готов доказать сказанное

Доказывайте.

[ewert]

DANGER в сообщении #633804 писал(а):

В матанализе подразумевается, что определенный интеграл - есть частный случай неопределенного. Я утверждаю. что неопределенный интеграл - есть частный случай определенного.

Это бессмысленно в обоих утверждениях. Определённый и неопределённый интегралы -- это качественно разные понятия при любом корректном изложении матана. Причём каждое из них само по себе вполне содержательно. А вот установление связи между ними -- это уже вполне содержательная теорема.

[Shtorm]

DANGER в сообщении #633804 писал(а):

В матанализе подразумевается, что определенный интеграл - есть частный случай неопределенного.

Нигде такого в Матанализе не видел. Ссылочку можно?

[DANGER]

Shtorm в сообщении #633753 писал(а):

Вы имели ввиду формулу:

$\displaystyle\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}=\ln \frac{x_2}{x_1}$.

Да. конечно! Вот что значит невнимательно копировать в буфер и, невнимательно же, извлекать из него.

-- 21.10.2012, 22:05 --

Shtorm в сообщении #633822 писал(а):

DANGER в сообщении #633804 писал(а):

В матанализе подразумевается, что определенный интеграл - есть частный случай неопределенного.

Нигде такого в Матанализе не видел. Ссылочку можно?

ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ не есть - утверждается. Это смысловая гипербола.

[ewert]

DANGER в сообщении #633828 писал(а):

ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ не есть - утверждается. Это смысловая гипербола.

Так вот даже и не ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ. Там нет никаких гипербол. Там честно и откровенно вводятся два изначально совершенно разнородных понятия, после чего устанавливается связь между ними.

[DANGER]

ewert в сообщении #633819 писал(а):

DANGER в сообщении #633804 писал(а):

В матанализе подразумевается, что определенный интеграл - есть частный случай неопределенного. Я утверждаю. что неопределенный интеграл - есть частный случай определенного.

Это бессмысленно в обоих утверждениях. Определённый и неопределённый интегралы -- это качественно разные понятия при любом корректном изложении матана. Причём каждое из них само по себе вполне содержательно. А вот установление связи между ними -- это уже вполне содержательная теорема.

Вытекает из этого:

Общий вид функции и приращение этой функции - есть связь между всей областью значений и интервалом области значений. Интеграл - он и есть ИНТЕГРАЛ объективно, а то, какими свойствами какой его вид наделили - это субъективные детали.

[Shtorm]

DANGER, и где намёк на определённый интеграл?

[DANGER]

Shtorm в сообщении #633841 писал(а):

DANGER, и где намёк на определённый интеграл?

В формуле Ньютона-Лейбница!

[qx87]

DANGER в сообщении #633836 писал(а):

Интеграл - он и есть ИНТЕГРАЛ объективно, а то, какими свойствами какой его вид наделили - это субъективные детали.

В математике вообще нет понятия "интеграл". Есть понятия "неопределённый интеграл" и "определённый интеграл". Неопределённый интеграл — это функция, определённый интеграл — это число. Число и функция — объекты разной математической природы, ни один из них не может быть частным случаем другого.

[DANGER]

qx87 в сообщении #633844 писал(а):

DANGER в сообщении #633836 писал(а):

Интеграл - он и есть ИНТЕГРАЛ объективно, а то, какими свойствами какой его вид наделили - это субъективные детали.

В математике вообще нет понятия "интеграл". Есть понятия "неопределённый интеграл" и "определённый интеграл". Неопределённый интеграл — это функция, определённый интеграл — это число. Число и функция — объекты разной математической природы, ни один из них не может быть частным случаем другого.

Ну, если часть области значений, выраженная числом, "...объект разной математической природы..." со всей областью значений, то это называется: д о у ч и л и с ь!

[ewert]

DANGER в сообщении #633843 писал(а):

Shtorm в сообщении #633841 писал(а):

DANGER, и где намёк на определённый интеграл?

В формуле Ньютона-Лейбница!

Но Вы ведь не дали даже и намёка на именно определённый интеграл. Стало быть, пока что -- разговор лишён смысла.

[DANGER]

ewert в сообщении #633852 писал(а):

DANGER в сообщении #633843 писал(а):

Shtorm в сообщении #633841 писал(а):

DANGER, и где намёк на определённый интеграл?

В формуле Ньютона-Лейбница!

Но Вы ведь не дали даже и намёка на именно определённый интеграл. Стало быть, пока что -- разговор лишён смысла.

Согласен. Перерыв на сутки.

[DANGER]

Рассмотрим два взаимообратных действия.
Действие первое: "взятие (отыскание и т.д.) производной". Пусть дана функция $\displaystyle y=x^3$. Для взятия производной необходимо приращение функции, т.е. $\displaystyle \Delta y={x_2}^3-{x_1}^3$. Согласно определению ЭТО приращение необходимо отнести к приращению аргумента и определить предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю. Т.е. выполнить два действия:

1. $\displaystyle \frac{{x_2}^3-{x_1}^3}{x_2-x_1}=\frac{(x_2-x_1)({x_2}^2+x_2x_1+{x_1}^2)}{x_2-x_1}={x_2}^2+x_2x_1+{x_1}^2$;

2. $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}({x_2}^2+x_2x_1+{x_1}^2)=\lim_{x_1 \rightarrow x \leftarrow x_2}({x_2}^2+x_2x_1+{x_1}^2)=x^2+xx+x^2=3x^2$.

Итак, $\displaystyle (x^3)'_x=\frac{dx^3}{dx}=3x^2$.

Действие второе: отыскание первообразной. Берем для удобства функцию $\displaystyle 3x^2$. Выполняем предыдущие два действия в обратном порядке. Распределяем функцию по двум аргументам и умножаем на приращение аргумента:

1. $\displaystyle 3x^2= x^2+x^2+x^2=x_1^2+x_1x_2+x_2^2$;

2. $\displaystyle (x_1^2+x_1x_2+x_2^2)(x_2-x_1)={x_2}^3-{x_1}^3$.

Получаем приращение первообразной. Интуитивно определяем первообразную функцию: $F(x)=x^3$.

Вывод: результатом действия, обратного дифференцированию, является приращение первообразной функции.

Еще нам потребуется это.