Нижеследующие задачи выполнить в двух вариантах: на евклидовой 2-мерной плоскости
и на псевдоевклидовой (Минковского) 2-мерной плоскости
Можно использовать интервал, преобразования Лоренца, "4-векторы" и все формулы векторного исчисления. Подсказка: можно использовать гиперболические функции.
1. Нарисовать отрезок. Повернуть его на некоторый угол. (В псевдоевклидовом варианте 3 случая: отрезок действительной, мнимой и нулевой длины.)
2. Нарисовать угол (два луча из одной точки). Повернуть его на некоторый угол. (В псевдоевклидовом варианте перебрать разные ориентации лучей.)
3. Нарисовать треугольник. Повернуть его на некоторый угол.
4. Нарисовать два треугольника. Проверить, равны ли они, попытавшись совместить их поворотами и параллельными переносами.
5. Нарисовать два треугольника. Проверить, равны ли они, по 1 признаку (попарное равенство сторон).
6. Нарисовать прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Повернуть его. Повернуть то, что получилось, на какой-то другой угол. Попытаться вернуть его в исходное положение за один поворот. Сделать выводы о псевдоевклидовом варианте понятия перпендикуляра.
7. Нарисовать два четырёхугольника. Проверить, равны ли они, попытавшись совместить их. Проверить, равны ли они, разбивая их на треугольники, и проверяя равенство сторон.
8. Нарисовать окружность с центром в начале координат. Повернуть её. Отметить дугу и сектор окружности, повернуть их. Найти линию, которая в псевдоевклидовом варианте ведёт себя так же, как окружность в евклидовом (ответ имеет три случая).
9. Путём поворотов сторон треугольника до наложения, получить неравенство треугольника.
10. Нарисовать четырёхугольник с диагоналями, найти все неравенства для его сторон.
11. Взять дугу окружности (или аналогичной псевдоевклидовой кривой), разбить на короткие участки, заменить их отрезками. Повернуть рисунок. Найти длину получившейся ломаной линии. Сделать выводы о длине дуги окружности, найти общую формулу.
12. Найти площадь прямоугольника, треугольника, трапеции. Найти площадь сектора круга. Сделать выводы о площади полного круга (в псевдоевклидовом варианте три случая).
13. Нарисовать треугольник, построить срединные перпендикуляры к его сторонам, найти их точку пересечения, убедиться, что она одна; провести окружность (или её аналог), проходящую через все вершины треугольника.
14. Нарисовать треугольник, построить высоты (перпендикуляры к сторонам, проходящие через вершины), найти их точку пересечения, убедиться, что она одна.
15. Нарисовать прямоугольный треугольник общего положения, найти отношения его сторон, сравнить с функциями углов треугольника. Убедиться в теореме Пифагора.
16. Нарисовать треугольник, провести в нём высоту, доказать теорему косинусов.
17. Нарисовать окружность (или её аналог), отложить на ней две последовательные дуги, опустить из их концов высоты на один из радиусов, доказать формулы суммы и разности углов.
18. Написать уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Написать уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Написать уравнение прямой по двум точкам, по двум точкам на осях координат.
19. Написать координаты вектора, нормального данному, и той же длины. Найти наиболее подходящий аналог в псевдоевклидовом варианте.
20. Найти площадь параллелограмма по векторам его сторон. Найти площадь треугольника по координатам вершин.
21. Найти длину произвольной кривой.
22. Найти площадь выпуклой трапеции, боковая сторона которой - произвольная кривая. Найти площадь произвольной выпуклой замкнутой кривой.
Всё, я исчерпал себя... :-) Дальше стоит рассмотреть случаи больших размерностей, чем 2.