2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 01:16 
В общем, вещи вроде как понятные, но тут оказалось, что не все так уж и понятно.

Известно, что сигнал конечной длительности $s(t)$ имеет бесконечный спектр и наоборот: сигнал бесконечный во временной области - конечен в частотной области. Как это доказать?
Трансформация или преобразование Фурье $F(w)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)\cdote^{-j\omega t}dt$
Этот интеграл легко разложить на две части, вещественную $R({\omega})=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)\cos{wt}dt} и мнимую $X({\omega})=-j\cdot\int_{-\infty}^{\infty} s(t)\sin{wt}dt}
Так как $s(t)$ - конечная функция то, несмотря на то, что функция синуса и косинуса бесконечна, в тех точках $t$, где $s(t)=0$, соответственно и оба интеграла $R(w)$ и $X(w)$ равны нулю, а значит и оба этих интеграла конечны. Почему же тогда их сумма дает бесконечную функцию? Я понимаю, что рассуждения не совсем корректные, т.к. спектр - это функция от другой переменной, от частоты.

И еще вопрос, ведь и прямая и обратная трансформация Фурье - это неопределенный интеграл, т.е. некоторое семейство функций. Почему, по умолчанию, мы принимаем, что постоянная $C$ после интегрирования равна 0?

Не кидайте тухлыми помидорами за нубские вопросы :D

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 04:21 
GAttuso в сообщении #615763 писал(а):
сигнал бесконечный во временной области - конечен в частотной области

Так это ж неверно. Вон, функцию Гаусса $e^{-t^2/2}$ преобразование Фурье саму в себя переводит.

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 07:53 
Аватара пользователя
GAttuso в сообщении #615763 писал(а):
Известно, что сигнал конечной длительности $s(t)$ имеет бесконечный спектр и наоборот: сигнал бесконечный во временной области - конечен в частотной области. Как это доказать?
Посмотреть теорему о свёртке. Если сигнал имеет конечную длительность, то его можно представить в виде: $$s(t)=s(t)rect\left(\frac t \tau\right),$$ где $rect(t)$ - прямогугольный импульс единичной длительности и единичного размаха, $\tau$ - длительность сигнала. Тогда по теореме о свёртке спектральная плотность сигнала $S(\omega)$ может быть представлена в виде: $$S(\omega)=\tau\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega')sinc\left(\frac {(\omega-\omega') \tau} {2}\right)d\omega'$$ Вообще когда мы имеем дело с преобразованием Фурье, то есть лишь гарантия того, что результат является абсолютно-интегрируемой функцией.
GAttuso в сообщении #615763 писал(а):
И еще вопрос, ведь и прямая и обратная трансформация Фурье - это неопределенный интеграл, т.е. некоторое семейство функций. Почему, по умолчанию, мы принимаем, что постоянная $C$ после интегрирования равна 0?
Это несобственный интеграл и никаких констант.

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 15:25 
Padawan в сообщении #615771 писал(а):
Так это ж неверно. Вон, функцию Гаусса $e^{-t^2/2}$ преобразование Фурье саму в себя переводит.

Пардон, пардон. Подразумевалось, что всякий сигнал конечный в частотной области - обязательно бесконечен во временной.

profrotter в сообщении #615783 писал(а):
$$S(\omega)=\tau\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega')sinc\left(\frac {(\omega-\omega') \tau} {2}\right)d\omega'$$ Вообще когда мы имеем дело с преобразованием Фурье, то есть лишь гарантия того, что результат является абсолютно-интегрируемой функцией.


Понял, спасибо. Т.е. банально исходим из того, что это произведение двух сигналов, и спектр - равен свертке спектров каждого сигнала. И т.к. у нас с одной стороны бесконечная sinc функция, то ее свёртка с любой шляпой даст бесконечную функцию в частотной области. :D

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 15:56 
Преобразование Фурье функции с конечным носителем -- целая функция. Следовательно, если она имеет конечный носитель, то она тождественно равна нулю, а значит, и исходная функция тождественно равна нулю.

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 16:18 
Аватара пользователя
Padawan в сообщении #615918 писал(а):
Преобразование Фурье функции с конечным носителем -- целая функция.
А это как доказать?

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 17:01 
profrotter в сообщении #615924 писал(а):
Padawan в сообщении #615918 писал(а):
Преобразование Фурье функции с конечным носителем -- целая функция.
А это как доказать?


Если носитель - конечен, то интеграл - собственный, и никаких проблем со сходимостью нет ни при каких комплексных $\omega$, а т.к. под интегралом - аналитическая функция $\omega$, то и сам интеграл будет аналитичен по $\omega$ во всей комплексной плоскости.

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 17:21 
Хм, дело не в том, что интеграл собственный, а в том, что при ограниченных пределах изменения $t$ в окрестности каждой точки $w_0$ можно дать оценку сверху $|e^{-iwt}|\leqslant M$.
Пусть носитель $s(t)$ расположен на отрезке $[a,b]$. Построим последовательность ступенчатых функций
$s_n(t)$ c носителем на отрезке $[a,b]$ таких,что $\int_a^b |s_n(t)-s(t)|dt\to 0$ ($n\to\infty$). Тогда последовательность преобразований Фурье $F_n(w)=\mathscr F [s_n(t)] (w)$ будет в окрестности $w_0$ равномерно сходится к $\mathscr F[s(t)](w)$, т.к. в этой окрестности
$$
|F_n(w)-F(w)|\leqslant \int_a^b|s_n(t)-s(t)||e^{-iwt}|dt\leqslant M\int_a^b|s_n(t)-s(t)|dt\to 0
$$
Так как преобразования Фурье ступенчатых функций целые, то и $\mathscr F[s(t)](w)$ целая.

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 17:51 
Аватара пользователя
profrotter в сообщении #615783 писал(а):
Вообще когда мы имеем дело с преобразованием Фурье, то есть лишь гарантия того, что результат является абсолютно-интегрируемой функцией.


Это же даже для функции $\mathrm{rect}(t)$ неверно?

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение07.09.2012, 17:57 
Аватара пользователя
Заметили таки. Да - неверно.

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение30.04.2013, 14:11 
Аватара пользователя
Padawan в сообщении #615944 писал(а):
Пусть носитель $s(t)$ расположен на отрезке $[a,b]$. Построим последовательность ступенчатых функций
$s_n(t)$ c носителем на отрезке $[a,b]$ таких,что $\int_a^b |s_n(t)-s(t)|dt\to 0$ ($n\to\infty$).
Никак не могу избавиться от чувства, что последовательность ступенчатых функций можно строить при условии абсолютной интегрируемости $s(t)$, но интервал $[a,b]$ при этом может быть и бесконечным. Никак не могу понять где тут учитывается именно конечность интервала $[a,b]$. Может ли кто дополнительно пояснить этот момент?

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение30.04.2013, 15:43 
Аватара пользователя
profrotter в сообщении #717675 писал(а):
Никак не могу понять где тут учитывается именно конечность интервала $[a,b]$. Может ли кто дополнительно пояснить этот момент?


Там еще есть буква $M$.

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение30.04.2013, 16:43 
Padawan в сообщении #615944 писал(а):
Хм, дело не в том, что интеграл собственный, а в том, что при ограниченных пределах изменения $t$ в окрестности каждой точки $w_0$ можно дать оценку сверху $|e^{-iwt}|\leqslant M$.
Пусть носитель $s(t)$ расположен на отрезке $[a,b]$. Построим последовательность ступенчатых функций
$s_n(t)$ c носителем на отрезке $[a,b]$ таких,что $\int_a^b |s_n(t)-s(t)|dt\to 0$ ($n\to\infty$). Тогда последовательность преобразований Фурье $F_n(w)=\mathscr F [s_n(t)] (w)$ будет в окрестности $w_0$ равномерно сходится к $\mathscr F[s(t)](w)$, т.к. в этой окрестности
$$
|F_n(w)-F(w)|\leqslant \int_a^b|s_n(t)-s(t)||e^{-iwt}|dt\leqslant M\int_a^b|s_n(t)-s(t)|dt\to 0
$$
Так как преобразования Фурье ступенчатых функций целые, то и $\mathscr F[s(t)](w)$ целая.

а не прощель экспоненту разложить в ряд Тейлора и ряд проинтегрировать

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение30.04.2013, 17:00 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #717789 писал(а):
Там еще есть буква .
А эта буква $M$ вообще просто равна 1, поскольку $|e^{i\varphi}|=1$. Всё равно не понимаю, простите.

Oleg Zubelevich в сообщении #717810 писал(а):
экспоненту разложить в ряд Тейлора и ряд проинтегрировать
Представляем экспоненту в виде ряда, тогда для спектральной плотности получим: $$S(\omega)=\int\limits_a^b s(t)\sum\limits_{n=0}^{+\infty}C_n(-it)^n\omega^n dt=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\left(C_n(-i)^n\int\limits_a^b t^ns(t)dt\right)\omega^n=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}C'_n\omega^n.$$Нужно ли доказывать дальше, что все степенные моменты существуют? Требуется ли для этого конечность интервала интегрирования?

 
 
 
 Re: Пару вопросов по преобразованию Фурье
Сообщение30.04.2013, 17:03 
Аватара пользователя
profrotter в сообщении #717820 писал(а):
А эта буква $M$ вообще просто равна 1, поскольку $|e^{i\varphi}|=1$. Всё равно не понимаю, простите.


Мы же доказываем, что функция целая. Поэтому нам нужны комплексные $\omega$.

 
 
 [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group