Вообще говоря, конечность пределов не обязательна. Надо, чтобы

была интегрируемой, как функция двух переменных. А для этого достаточно, чтобы носитель был конечным и функция

интегрируемой. Однако интегрируемость может быть и без требования конечности носителя.
Если, например,

на плюс-минус бесконечности убывает быстрее любой экспоненты. Простейший пример:

.
Аналогично получаем, что если функция "быстро убывает" лишь на плюс или минус бесконечности, то преобразование Фурье будет аналитично либо в верхней либо в нижней полуплоскости.