Пару вопросов по преобразованию Фурье

[profrotter]

g______d в сообщении #717822 писал(а):

Мы же доказываем, что функция целая. Поэтому нам нужны комплексные .

То есть мы всё равно рассматриваем интеграл с аналитической зависимостью от параметра, как писал armez?

[g______d]

profrotter в сообщении #717832 писал(а):

То есть мы всё равно рассматриваем интеграл с аналитической зависимостью от параметра, как писал armez?

Ну да, мы же используем свойства аналитических функций (то, что они не могут быть константами на отрезках), значит, надо доказать хотя бы аналитичность в какой-то области.

[profrotter]

Ну я кажется понял. Последовательность сутпенчатых функций мы можем построить и на бесконечном интервале, а вот комплексная экспонента ограничена благодаря конечности интервала.

Теперь такой вопрос. Где хорошо доказано про свойство целых функций быть тождественным нулём, если они равны нулю на каком-нибудь конечном интервале?

[Oleg Zubelevich]

целость ни при чем ;сделайте это в качестве упражнения:
доказать, что функция $f(z)=\sum_{k=0}^\infty f_kz^k$ (ряд сходится в круге ненулевого радиуса) равна нулю в круге сходимости данного ряда если для некоторой последовательности $z_k\to 0,\quad z_k\ne 0$ выполнены равенства $f(z_k)=0$

[profrotter]

Oleg Zubelevich, упражнения не интересуют. Интересует литература. Вообще (чисто методически) фундаметальные факты не даются в качестве упражнений. А к вам у меня там выше были совершенно другие вопросы.

Кто-нибудь поможет с литературой пожалуйста?

[Oleg Zubelevich]

любой учебник по ТФКП Шабат Введение в комплексный анализ том 1

а какие вопросы-то у вас ко мне были?

[g______d]

profrotter, ключевое слово --- принцип аналитического продолжения.

[profrotter]

Oleg Zubelevich в сообщении #717863 писал(а):

а какие вопросы-то у вас ко мне были?

profrotter в сообщении #717820 писал(а):

Нужно ли доказывать дальше, что все степенные моменты существуют? Требуется ли для этого конечность интервала интегрирования?

g______d в сообщении #717872 писал(а):

принцип аналитического продолжения

С этим пока буду разбираться.

Теперь у меня такой вопрос. Спектр сигнала ограниченной длительности $\tau$ можно представить в виде ряда Котельникова (по теореме Котельникова в частотной области):

$$S(\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}S(n\Omega)sinc\left(\frac{\pi}{\Omega}(\omega-n\Omega)\right),$$

где $\Omega\leq\frac{2\pi}{\tau}$. Синки являются целыми функциями. Можно ли из этой записи сразу (или не сразу) сделать вывод о том, что $S(\omega)$ - целая функция?

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #717820 писал(а):

Нужно ли доказывать дальше, что все степенные моменты существуют? Требуется ли для этого конечность интервала интегрирования?

Доказывать надо, что радиус сходимости полученного ряда равен $\infty$, если $s(t)\in L^1(a,b)$ то все интегралы существуют. Конечность интервала требуется для оценок интегралов

[sup]

Мне кажется, что проще применить теорему Морера. Для этого достаточно обосновать интегрирование по параметру.

[profrotter]

sup в сообщении #718055 писал(а):

Мне кажется, что проще применить теорему Морера. Для этого достаточно обосновать интегрирование по параметру.

Рассмотреть

$$\oint\limits_{\Gamma}S(\omega)d\omega=\oint_{\Gamma}\int\limits_a^bs(t)e^{-i\omega t}dtd\omega=\int\limits_a^bs(t)\oint_{\Gamma}e^{-i\omega t}d\omega dt=0$$

Перестановка интегралов возможна поскольку пределы интегрирования конечны и учтено, что экспонента аналитическая функция. Вы это имели ввиду?

Что означает обосновать интегрирование по параметру?

[sup]

Ну да, я это и имел в виду. Параметр - $\omega$. По нему и надо проинтегрировать. Затем надо поменять порядок интегрирования. Обоснование не сложное.

[profrotter]

sup в сообщении #718143 писал(а):

Затем надо поменять порядок интегрирования

Достаточно сказать, что порядок интегрирования можно поменять потому что пределы интегрирования конечны?

g______d в сообщении #717872 писал(а):

ключевое слово --- принцип аналитического продолжения.

То есть ноль рассматривается как аналитическая функция на всей комплесной плоскости и если аналитическая функция в какой-либо области совпала с нулём, то она равна ему во всей области аналитичности?

[sup]

Вообще говоря, конечность пределов не обязательна. Надо, чтобы $s(t)e^{i\omega t}$ была интегрируемой, как функция двух переменных. А для этого достаточно, чтобы носитель был конечным и функция $s(t)$ интегрируемой. Однако интегрируемость может быть и без требования конечности носителя.
Если, например, $s(t)$ на плюс-минус бесконечности убывает быстрее любой экспоненты. Простейший пример: $s(t) = e^{-t^2}$.
Аналогично получаем, что если функция "быстро убывает" лишь на плюс или минус бесконечности, то преобразование Фурье будет аналитично либо в верхней либо в нижней полуплоскости.

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #718172 писал(а):

и аналитическая функция в какой-либо области совпала с нулём, то

и даже не в области, а на множестве имеющем предельную точку, что вам и предлагалось в качестве тривиального упражнения