Пару вопросов по преобразованию Фурье

[profrotter]

Я пробую вернуться к доказательству через разложение в ряд:

profrotter в сообщении #717820 писал(а):

Представляем экспоненту в виде ряда, тогда для спектральной плотности получим:

$$S(\omega)=\int\limits_a^b s(t)\sum\limits_{n=0}^{+\infty}C_n(-it)^n\omega^n dt=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\left(C_n(-i)^n\int\limits_a^b t^ns(t)dt\right)\omega^n=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}C'_n\omega^n.$$

Найдём радиус сходимости полученного ряда по формуле Коши-Адамара: $R=\frac{1}{l}$, $l=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|C_n'|}$. Рассмотрим $|C_n'|$:

$$|C_n'|=\left|C_n(-i)^n\int\limits_a^b t^ns(t)dt\right|= |C_n||\xi^n|\left|\int\limits_a^bs(t)dt\right|,$$

где $\xi\in[a,b]$. Далее $\sqrt[n]{|C_n'|}=A\sqrt[n]{|C_n|}$, где $A=\xi\sqrt[n]{\left|\int\limits_a^b s(t)dt\right|}$ - некоторое число ввиду абсолютной интегрируемости $s(t)$. Тогда

$$l=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}A\sqrt[n]{|C_n|}=A\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|C_n|}=0.$$

Тут всё честно или чего упущено/неверно?

[g______d]

profrotter в сообщении #718352 писал(а):

$\sqrt[n]{|C_n'|}=A\sqrt[n]{|C_n|}$, где $A=\xi\sqrt[n]{\left|\int\limits_a^b s(t)dt\right|}$ - некоторое число ввиду абсолютной интегрируемости $s(t)$.

Обратите также внимание на то, что будет в случае бесконечного интервала.

profrotter в сообщении #718352 писал(а):

$$l=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}A\sqrt[n]{|C_n|}=A\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|C_n|}=0.$$

Тут всё честно или чего упущено/неверно?

Ну последнее равенство надо пояснять. Вы вообще нигде не сказали, что такое $C_n$.

Если отвечать на вопрос "нужно ли что-то доказывать", то ответом по умолчанию будет "нужно". Кроме случая, когда доказательство вам очевидно.

[profrotter]

g______d в сообщении #718412 писал(а):

Вы вообще нигде не сказали, что такое .

$C_n$ коэффициенты разложения в ряд экспоненты. Она аналитическая на всей комплексной плоскости, отсюда и предел. Такие пояснения?

g______d в сообщении #718412 писал(а):

Обратите также внимание на то, что будет в случае бесконечного интервала.

Мы не сможем применить теорему о среднем?

[g______d]

profrotter в сообщении #718418 писал(а):

Такие пояснения?

Например.

profrotter в сообщении #718418 писал(а):

Мы не сможем применить теорему о среднем?

Она только для конечного интервала. Кроме того, даже если и могли бы, то у нас не было бы никакого контроля над $\xi$ (вообще говоря, оно зависит от $n$ и может случайно уйти на бесконечность).

[Oleg Zubelevich]

кстати хорошо видны условия которые надо накладывать на $s$ в случае бесконечного интервала

-- Ср май 01, 2013 20:25:55 --

profrotter в сообщении #718352 писал(а):

$|C_n'|$:

$$|C_n'|=\left|C_n(-i)^n\int\limits_a^b t^ns(t)dt\right|= |C_n||\xi^n|\left|\int\limits_a^bs(t)dt\right|,$$

не строчки без ошибок

[profrotter]

В чём ошибка?

[Oleg Zubelevich]

в теореме о среднем

[profrotter]

Вы хотите сказать, что в общем случае не выполняются условия обобщённой теоремы о среднем и, к тому же, тот вид, который я использовал потребует ещё и непрерывности $s(t)$?

Так есть ошибка:

$$|C_n'|=\left|C_n(-i)^n\int\limits_a^b t^ns(t)dt\right|= |C_n||\mu||b-a|.$$

Далее $\sqrt[n]{|C_n'|}=A\sqrt[n]{|C_n|}$, где $A=\sqrt[n]{|\mu||b-a|}$ - некоторое число. Тогда

$$l=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}A\sqrt[n]{|C_n|}=A\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|C_n|}=0.$$

[profrotter]

profrotter в сообщении #718478 писал(а):

Так есть ошибка

Да - есть ошибка. Бред написал.

$$|C_n'|=\left|C_n(-i)^n\int\limits_a^b t^ns(t)dt\right|\leq |C_n|\int\limits_a^b|t|^n|s(t)|dt= |C_n||\xi|^n\int\limits_a^b|s(t)|dt,$$

где $\xi\in[a,b]$. Тут то всё честно? - $|t|^n$ непрерывна, $|s(t)|$ положительна, обе они интегрируемы.

Далее $\sqrt[n]{|C_n'|}\leq A\sqrt[n]{|C_n|}$, где $A=|\xi|\sqrt[n]{\int\limits_a^b|s(t)|dt}\geq 0$ - некоторое число (не зависит от $n$) ввиду абсолютной интегрируемости $s(t)$. Тогда $l=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|C_n'|}=0$ так как $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|C_n|}=0$ Теперь есть ошибки?

[g______d]

profrotter в сообщении #718554 писал(а):

$A=|\xi|\sqrt[n]{\int\limits_a^b|s(t)|dt}\geq 0$ - некоторое число (не зависит от $n$)

Ну давайте уж тогда аккуратно. Конкретное написанное число зависит от $n$.

[profrotter]

g______d в сообщении #718556 писал(а):

Ну давайте уж тогда аккуратно.

Да. Второй раз и похожая ошибка. Мне, конечно стыдно, но интересно.

Тогда оно не число, а последовательность $A_n=|\xi|\sqrt[n]{\int\limits_a^b |s(t)|dt}\geq 0$. Предел этой последовательности существует и конечен.

$\sqrt[n]{|C_n'|}\leq A_n\sqrt[n]{|C_n|}$ Тогда $l=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|C_n'|}=0$ так как $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}A_n\sqrt[n]{|C_n|}=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}A_n\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|C_n|}=0$. Теперь что-нибудь не так?

[g______d]

profrotter в сообщении #718572 писал(а):

Тогда оно не число, а последовательность $A_n=|\xi|\sqrt[n]{\int\limits_a^b |s(t)|dt}\geq 0$. Предел этой последовательности существует и конечен.

Почему существует? Кстати говоря, $\xi$ зависит от $n$, хорошо бы это указывать в обозначениях.

[Oleg Zubelevich]

правильно и эти вопросы будут продолжаться до бесконечности, потому, что сразу следовало написать

$$\Big|\int\limits_a^b t^ns(t)dt\Big|\le c^n\|s\|_{L^1(a,b)},\quad c=\max\{|a|,|b|\}$$

это неравенство Гельдера, а не теорема о среднем http://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder%27s_inequality

[profrotter]

g______d в сообщении #718646 писал(а):

Почему существует?

Ну как же, это следует из неравества Коши и обобщённого неравенства для среднего гармонического:

$$\frac{1}{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right)}\leq\sqrt[n]{a_1,a_2,...,a_n}\leq \frac {a_1+a_2+...+a_n}{n},$$

где $a_1,a_2,...,a_n$ положительны. Рассмотрим частный случай, когда $a_1=a,a_2=1,...,a_n=1$, тогда

$$\frac{1}{1+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a}-1\right)}\leq\sqrt[n]{a}\leq\frac {a+n-1}{n}=1+\frac {a-1}{n}.$$

Выполним предельный переход в неравенстве:

$$1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a}-1\right)}\leq\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}\leq \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac {a-1}{n}\right)=1.$$

g______d в сообщении #718646 писал(а):

Кстати говоря, $\xi$ зависит от $n$, хорошо бы это указывать в обозначениях.

Ну как же она зависит, когда при применении обобщённой теоремы о среднем за знак интеграла вылезла функция $|t|^n$ вычисленная в точке $\xi\in[a,b]$, а когда брали корень $n$-й степени исчезла и сама степень?

Oleg Zubelevich в сообщении #718697 писал(а):

это неравенство Гельдера

Разве я не то же самое написал с точностью до обозначений? Неравенство Гёльдера мне - упёртому студенту - не позволяет, скажем, использовать плохая математическая подготовка.

[g______d]

profrotter в сообщении #718732 писал(а):

Ну как же она зависит, когда при применении обобщённой теоремы о среднем за знак интеграла вылезла функция $|t|^n$ вычисленная в точке $\xi\in[a,b]$, а когда брали корень $n$-й степени исчезла и сама степень?

Ну так точка $\xi$ откуда взялась? Она появилась в результате применения теоремы о среднем к функции $t^n s(t)$. При разных $n$ это разные функции, поэтому $\xi$ тоже могут быть разными (на самом деле почти для всех функций так и будет).