Почему существует?
Ну как же, это следует из неравества Коши и обобщённого неравенства для среднего гармонического:
![$$\frac{1}{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right)}\leq\sqrt[n]{a_1,a_2,...,a_n}\leq \frac {a_1+a_2+...+a_n}{n},$$ $$\frac{1}{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right)}\leq\sqrt[n]{a_1,a_2,...,a_n}\leq \frac {a_1+a_2+...+a_n}{n},$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/3/c839ef96c0227e7eb8a44e07759069ae82.png)
где

положительны. Рассмотрим частный случай, когда

, тогда
![$$\frac{1}{1+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a}-1\right)}\leq\sqrt[n]{a}\leq\frac {a+n-1}{n}=1+\frac {a-1}{n}.$$ $$\frac{1}{1+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a}-1\right)}\leq\sqrt[n]{a}\leq\frac {a+n-1}{n}=1+\frac {a-1}{n}.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/e/fde7746b6f659eec9013c9eef50b2fde82.png)
Выполним предельный переход в неравенстве:
Кстати говоря,

зависит от

, хорошо бы это указывать в обозначениях.
Ну как же она зависит, когда при применении обобщённой теоремы о среднем за знак интеграла вылезла функция

вычисленная в точке
![$\xi\in[a,b]$ $\xi\in[a,b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/e/eae71d35cfeff4e132a8e32684b0049f82.png)
, а когда брали корень

-й степени исчезла и сама степень?
это неравенство Гельдера
Разве я не то же самое написал с точностью до обозначений? Неравенство Гёльдера мне - упёртому студенту - не позволяет, скажем, использовать плохая математическая подготовка.