Пару вопросов по преобразованию Фурье

[GAttuso]

В общем, вещи вроде как понятные, но тут оказалось, что не все так уж и понятно.

Известно, что сигнал конечной длительности $s(t)$ имеет бесконечный спектр и наоборот: сигнал бесконечный во временной области - конечен в частотной области. Как это доказать?
Трансформация или преобразование Фурье $F(w)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)\cdote^{-j\omega t}dt$
Этот интеграл легко разложить на две части, вещественную $R({\omega})=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)\cos{wt}dt} и мнимую $X({\omega})=-j\cdot\int_{-\infty}^{\infty} s(t)\sin{wt}dt}
Так как $s(t)$ - конечная функция то, несмотря на то, что функция синуса и косинуса бесконечна, в тех точках $t$, где $s(t)=0$, соответственно и оба интеграла $R(w)$ и $X(w)$ равны нулю, а значит и оба этих интеграла конечны. Почему же тогда их сумма дает бесконечную функцию? Я понимаю, что рассуждения не совсем корректные, т.к. спектр - это функция от другой переменной, от частоты.

И еще вопрос, ведь и прямая и обратная трансформация Фурье - это неопределенный интеграл, т.е. некоторое семейство функций. Почему, по умолчанию, мы принимаем, что постоянная $C$ после интегрирования равна 0?

Не кидайте тухлыми помидорами за нубские вопросы

[Padawan]

GAttuso в сообщении #615763 писал(а):

сигнал бесконечный во временной области - конечен в частотной области

Так это ж неверно. Вон, функцию Гаусса $e^{-t^2/2}$ преобразование Фурье саму в себя переводит.

[profrotter]

GAttuso в сообщении #615763 писал(а):

Известно, что сигнал конечной длительности $s(t)$ имеет бесконечный спектр и наоборот: сигнал бесконечный во временной области - конечен в частотной области. Как это доказать?

Посмотреть теорему о свёртке. Если сигнал имеет конечную длительность, то его можно представить в виде:

$$s(t)=s(t)rect\left(\frac t \tau\right),$$

где $rect(t)$ - прямогугольный импульс единичной длительности и единичного размаха, $\tau$ - длительность сигнала. Тогда по теореме о свёртке спектральная плотность сигнала $S(\omega)$ может быть представлена в виде:

$$S(\omega)=\tau\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega')sinc\left(\frac {(\omega-\omega') \tau} {2}\right)d\omega'$$

Вообще когда мы имеем дело с преобразованием Фурье, то есть лишь гарантия того, что результат является абсолютно-интегрируемой функцией.

GAttuso в сообщении #615763 писал(а):

И еще вопрос, ведь и прямая и обратная трансформация Фурье - это неопределенный интеграл, т.е. некоторое семейство функций. Почему, по умолчанию, мы принимаем, что постоянная $C$ после интегрирования равна 0?

Это несобственный интеграл и никаких констант.

[GAttuso]

Padawan в сообщении #615771 писал(а):

Так это ж неверно. Вон, функцию Гаусса $e^{-t^2/2}$ преобразование Фурье саму в себя переводит.

Пардон, пардон. Подразумевалось, что всякий сигнал конечный в частотной области - обязательно бесконечен во временной.

profrotter в сообщении #615783 писал(а):

$$S(\omega)=\tau\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega')sinc\left(\frac {(\omega-\omega') \tau} {2}\right)d\omega'$$

Вообще когда мы имеем дело с преобразованием Фурье, то есть лишь гарантия того, что результат является абсолютно-интегрируемой функцией.

Понял, спасибо. Т.е. банально исходим из того, что это произведение двух сигналов, и спектр - равен свертке спектров каждого сигнала. И т.к. у нас с одной стороны бесконечная sinc функция, то ее свёртка с любой шляпой даст бесконечную функцию в частотной области.

[Padawan]

Преобразование Фурье функции с конечным носителем -- целая функция. Следовательно, если она имеет конечный носитель, то она тождественно равна нулю, а значит, и исходная функция тождественно равна нулю.

[profrotter]

Padawan в сообщении #615918 писал(а):

Преобразование Фурье функции с конечным носителем -- целая функция.

А это как доказать?

[armez]

profrotter в сообщении #615924 писал(а):

Padawan в сообщении #615918 писал(а):

Преобразование Фурье функции с конечным носителем -- целая функция.

А это как доказать?

Если носитель - конечен, то интеграл - собственный, и никаких проблем со сходимостью нет ни при каких комплексных $\omega$, а т.к. под интегралом - аналитическая функция $\omega$, то и сам интеграл будет аналитичен по $\omega$ во всей комплексной плоскости.

[Padawan]

Хм, дело не в том, что интеграл собственный, а в том, что при ограниченных пределах изменения $t$ в окрестности каждой точки $w_0$ можно дать оценку сверху $|e^{-iwt}|\leqslant M$.
Пусть носитель $s(t)$ расположен на отрезке $[a,b]$. Построим последовательность ступенчатых функций
$s_n(t)$ c носителем на отрезке $[a,b]$ таких,что $\int_a^b |s_n(t)-s(t)|dt\to 0$ ($n\to\infty$). Тогда последовательность преобразований Фурье $F_n(w)=\mathscr F [s_n(t)] (w)$ будет в окрестности $w_0$ равномерно сходится к $\mathscr F[s(t)](w)$, т.к. в этой окрестности

$$ |F_n(w)-F(w)|\leqslant \int_a^b|s_n(t)-s(t)||e^{-iwt}|dt\leqslant M\int_a^b|s_n(t)-s(t)|dt\to 0 $$

Так как преобразования Фурье ступенчатых функций целые, то и $\mathscr F[s(t)](w)$ целая.

[g______d]

profrotter в сообщении #615783 писал(а):

Вообще когда мы имеем дело с преобразованием Фурье, то есть лишь гарантия того, что результат является абсолютно-интегрируемой функцией.

Это же даже для функции $\mathrm{rect}(t)$ неверно?

[profrotter]

Заметили таки. Да - неверно.

[profrotter]

Padawan в сообщении #615944 писал(а):

Пусть носитель $s(t)$ расположен на отрезке $[a,b]$. Построим последовательность ступенчатых функций
$s_n(t)$ c носителем на отрезке $[a,b]$ таких,что $\int_a^b |s_n(t)-s(t)|dt\to 0$ ($n\to\infty$).

Никак не могу избавиться от чувства, что последовательность ступенчатых функций можно строить при условии абсолютной интегрируемости $s(t)$, но интервал $[a,b]$ при этом может быть и бесконечным. Никак не могу понять где тут учитывается именно конечность интервала $[a,b]$. Может ли кто дополнительно пояснить этот момент?

[g______d]

profrotter в сообщении #717675 писал(а):

Никак не могу понять где тут учитывается именно конечность интервала $[a,b]$. Может ли кто дополнительно пояснить этот момент?

Там еще есть буква $M$.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #615944 писал(а):

Хм, дело не в том, что интеграл собственный, а в том, что при ограниченных пределах изменения $t$ в окрестности каждой точки $w_0$ можно дать оценку сверху $|e^{-iwt}|\leqslant M$.
Пусть носитель $s(t)$ расположен на отрезке $[a,b]$. Построим последовательность ступенчатых функций
$s_n(t)$ c носителем на отрезке $[a,b]$ таких,что $\int_a^b |s_n(t)-s(t)|dt\to 0$ ($n\to\infty$). Тогда последовательность преобразований Фурье $F_n(w)=\mathscr F [s_n(t)] (w)$ будет в окрестности $w_0$ равномерно сходится к $\mathscr F[s(t)](w)$, т.к. в этой окрестности

$$ |F_n(w)-F(w)|\leqslant \int_a^b|s_n(t)-s(t)||e^{-iwt}|dt\leqslant M\int_a^b|s_n(t)-s(t)|dt\to 0 $$

Так как преобразования Фурье ступенчатых функций целые, то и $\mathscr F[s(t)](w)$ целая.

а не прощель экспоненту разложить в ряд Тейлора и ряд проинтегрировать

[profrotter]

g______d в сообщении #717789 писал(а):

Там еще есть буква .

А эта буква $M$ вообще просто равна 1, поскольку $|e^{i\varphi}|=1$. Всё равно не понимаю, простите.

Oleg Zubelevich в сообщении #717810 писал(а):

экспоненту разложить в ряд Тейлора и ряд проинтегрировать

Представляем экспоненту в виде ряда, тогда для спектральной плотности получим:

$$S(\omega)=\int\limits_a^b s(t)\sum\limits_{n=0}^{+\infty}C_n(-it)^n\omega^n dt=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\left(C_n(-i)^n\int\limits_a^b t^ns(t)dt\right)\omega^n=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}C'_n\omega^n.$$

Нужно ли доказывать дальше, что все степенные моменты существуют? Требуется ли для этого конечность интервала интегрирования?

[g______d]

profrotter в сообщении #717820 писал(а):

А эта буква $M$ вообще просто равна 1, поскольку $|e^{i\varphi}|=1$. Всё равно не понимаю, простите.

Мы же доказываем, что функция целая. Поэтому нам нужны комплексные $\omega$.