2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:13 
Аватара пользователя
Вот здесь встречаю запись:

Цитата:
There is a correspondence between left actions and right actions, given by associating the right action $x \cdot g$ with the left action $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$.


Непонятен смысл значка "$:=$", ибо подставляю, например, $2 \cdot x \ne x \cdot 2^{-1}$ -- равенства не получается. Хотел посмотреть в какой-нибудь умной книжке, что это за соответствие такое -- что-то не нашёл.

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:23 
Отчего ж не получается? В этой формуле определено левое действие группы, если задано какое-нибудь правое действие (ну, или наоборот).

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:31 
Аватара пользователя
Ну вот пусть у нас $x \in R$, берём $10$ и пишем: $2 \cdot 10 := 10 \cdot \frac 1 2$, то есть $20 := 5$, т.е. ":=" - это не равенство.

apriv в сообщении #599581 писал(а):
В этой формуле определено левое действие группы, если задано какое-нибудь правое действие

Нет, не какое-нибудь, здесь о соответствии говорится. Какое-нибудь левое действие можно было просто определить: $g' \cdot x$.

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:42 
AlexDem в сообщении #599572 писал(а):
Непонятен смысл значка "$:=$", ибо подставляю, например, $2 \cdot x \ne x \cdot 2^{-1}$ -- равенства не получается.

А у меня получается. Еще раз, если задано правое действие $G$ на $X$, то определено выражение $x\cdot g$ для всех $g\in G$, $x\in X$. Теперь можно задать новое левое действие $G$ на $X$, положив для всех $g\in G$, $x\in X$ по определению $g\cdot x=x\cdot g^{-1}$. Обратите внимание, что в этом равенстве слева и справа значки точечки $\cdot$ разные — справа это данное нам правое действие, а слева — совершенно другое, задаваемое нами левое действие. То есть, в Вашем примере изначально определено $x\cdot 2^{-1}$, а Вы определяете $2\cdot x$ по этому равенству. Так мы показали, что по каждому правому действию можно построить соответствующее левое действие. Ну и наоборот, по левому действию совершенно аналогично строится правое действие.

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:56 
Аватара пользователя
apriv в сообщении #599591 писал(а):
положив для всех $g\in G$, $x\in X$ по определению $g\cdot x=x\cdot g^{-1}$

А почему левое действие строится как $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$, а, например, не как $g \cdot x := x \cdot g$?

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 15:00 
AlexDem в сообщении #599599 писал(а):
apriv в сообщении #599591 писал(а):
положив для всех $g\in G$, $x\in X$ по определению $g\cdot x=x\cdot g^{-1}$

А почему левое действие строится как $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$, а, например, не как $g \cdot x := x \cdot g$?

Потому что так определенное действие не будет левым действием, поскольку, как правило, $g\cdot h$ не равно $h\cdot g$. Посмотрите на аксиомы для левого и правого действия, чем они отличаются?

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 15:08 
Аватара пользователя
apriv в сообщении #599601 писал(а):
как правило, $g\cdot h$ не равно $h\cdot g$

А $g \cdot h$ разве всегда равно $h \cdot g^{-1}$? Я привёл пример с $10$, но Вы сказали, что это у меня там точка слева не та. Так и в выражении $g\cdot h = h\cdot g$ она тогда тоже будет не та, что справа.

apriv в сообщении #599601 писал(а):
Посмотрите на аксиомы для левого и правого действия, чем они отличаются?

Только умножением -- слева или справа вроде бы.

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 15:13 
AlexDem в сообщении #599606 писал(а):
apriv в сообщении #599601 писал(а):
как правило, $g\cdot h$ не равно $h\cdot g$

А $g \cdot h$ разве всегда равно $h \cdot g^{-1}$? Я привёл пример с $10$, но Вы сказали, что это у меня там точка слева не та. Так и в выражении $g\cdot h = h\cdot g$ она тогда тоже будет не та, что справа.

А $(g\cdot h)^{-1}$ всегда равно $h^{-1}\cdot g^{-1}$.
Цитата:
apriv в сообщении #599601 писал(а):
Посмотрите на аксиомы для левого и правого действия, чем они отличаются?

Только умножением -- слева или справа вроде бы.

Сравните $g\cdot (h\cdot x)=(g\cdot h)\cdot x$ и $(x\cdot h)\cdot g=x\cdot (h\cdot g)$. В первом равенстве написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $gh$. Во втором равенствен написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $hg$. Первое называется левым действием, второе называется правым действием.

-- 26.07.2012, 16:14 --

AlexDem в сообщении #599606 писал(а):
Так и в выражении $g\cdot h = h\cdot g$ она тогда тоже будет не та, что справа.

Отчего ж не та? Умножение-то в группе какое было, такое и осталось.

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 17:27 
Аватара пользователя
AlexDem в сообщении #599572 писал(а):
Вот здесь встречаю запись:

Цитата:
There is a correspondence between left actions and right actions, given by associating the right action $x \cdot g$ with the left action $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$.


Непонятен смысл значка "$:=$", ибо подставляю, например, $2 \cdot x \ne x \cdot 2^{-1}$ -- равенства не получается. Хотел посмотреть в какой-нибудь умной книжке, что это за соответствие такое -- что-то не нашёл.


Это конечно не равенство, а скорее соответствие (между двумя представлениями группы).
Пусть $G$ - некоторая группа, $a\in G$ и $X=G$. Через $L_{a}$ и $R_{a}$ обозначим операторы левого и правого умножения на элемент $a$ (в группе $G$) соответственно:
$$
L_{a}:x\to ax,\qquad R_{a}:x\to xa,
$$
а символами $L_{G}$ и $R_{G}$ - группы, порожденные всеми такими левыми и (соответственно) правыми операторами. Тогда легко показать, что существуют изомрфизмы:
$$
G\to L_{G}\to R_{G}\quad (a\to L_{a}\to R_{a^{-1}}),
$$
где операторы записываются (действуют) слева. Таким образом, поскольку
$$
ax=L_{a}x,\qquad xa^{-1}=R_{a^{-1}}x,
$$
запись
$$
ax:=xa^{-1} 
$$
означает просто, что левое $G\to L_{G}$ и правое $G\to R_{G}$ представления группы $G$ на себе изоморфны (и этот изоморфизм задается отображением $L_{a}\to R_{a^{-1}}$, где $a\in G$).

PS
Случай $X\ne G$ исследуется аналогично (однако вместо изоморфизмов здесь появятся гомоморфизмы)...

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 17:43 
Аватара пользователя
AlexDem
Вы, кажется, не обращаете внимания, что $x$ и $g$ берутся из разных множеств. Так что у вас, по сути, не один значок умножения, а три разных. Давайте обозначим их по-разному:
Умножение между собой элементов группы $g,h\in G$: $g\circ h\in G$
Умножение элемента пространства $x\in X$ на элемент группы $g\in G$ №1 - левое действие: $g\triangleright x\in X$
Для него выполняется ассоциативность $g\triangleright (h\triangleright x)=(g\circ h)\triangleright x$
Умножение элемента пространства $x\in X$ на элемент группы $g\in G$ №2 - правое действие: $x\triangleleft g\in X$
Для него выполняется ассоциативность $(x\triangleleft g)\triangleleft h=x\triangleleft (g\circ h)$
Теперь станет видно, что речь идёт о соотношении между двумя разными операциями: $g\triangleright x=x\triangleleft g^{-1}.$

Предлагаемые вами аналогии с числами, соответственно, никуда не годятся. Возьмите разнородные объекты: векторы и числовые множители, векторы и преобразования пространства, или что-нибудь ещё в таком духе.

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:03 
Аватара пользователя
Ща, мне надо всё прочитать и обдумать -- пока спасибо за подсказки ... :-)

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:03 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #599669 писал(а):
Теперь станет видно, что речь идёт о соотношении между двумя разными операциями:

Эти две разные операции - суть левое и правое представление группы $G$ на множестве $X$ (т.е. пара гомоморфизмов $G$ в группу преобразований множества $X$).

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:16 
lek в сообщении #599681 писал(а):
Munin в сообщении #599669 писал(а):
Теперь станет видно, что речь идёт о соотношении между двумя разными операциями:

Эти две разные операции - суть левое и правое представление группы $G$ на множестве $X$ (т.е. пара гомоморфизмов $G$ в группу преобразований множества $X$).

Лучше пусть будет один гомоморфизм, а другой антигомоморфизм :)

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:21 
Аватара пользователя
Что вы человека заваливаете? :-)

 
 
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:27 
Аватара пользователя
apriv в сообщении #599686 писал(а):
антигомоморфизм

Для групп нет смысла вводить этот термин. Поскольку если $x\to\phi(x)$ - антигомоморфизм групп, то $x\to\phi(x)^{-1}$ - гомоморфизм групп (и наоборот).

 
 
 [ Сообщений: 61 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group