2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение25.07.2012, 19:06 


31/03/06
1384
Belfegor в сообщении #599193 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #599176 писал(а):
Спасибо за поздравления! :-)


Замахнётесь на большие степени? :shock:


Немного отдохну и буду пробовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение25.07.2012, 19:13 


16/08/09
304
Феликс Шмидель в сообщении #599218 писал(а):
Немного отдохну и буду пробовать.


Надеемся и верим! :wink: :D Удачи! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение25.07.2012, 21:38 


21/11/10
546
Уважаемый Феликс Шмидель, я конечно уже достал Вас всякими вопросами,великодушно прошу простить и правильно понять, но тем не менее, по рекомендации nnosipov, обратился к
Боревич Шафаревич 1985 3-е изд.доп. и на стр.99 нашел такой отрывок:"Например, если рациональное число $d$ не является кубом, то числа $1, \sqrt[3]{d}, \sqrt[3]{d^2}$ образуют базис поля.
Поэтому форма $N(x+y\sqrt[3]{d}+z\sqrt[3]{d^2})=x^3+dy^3+d^2z^3-3dxyz $ полная."
Далее по тексту идет пример не полной формы:"Примером неполной формы может служить $N(x+y\sqrt[3]{d})=x^3+dy^3$."
Соответственно примером не полной формы может служить и такой:
$N(x+y\sqrt[3]{d^2})=x^3+d^2y^3$
В Вашем случае $d=2$.
У Вас же не полная форма $a^3+4b^3$ разлагается на множители так, что один из её множителей имеет норму полной формы?
Хотелось бы получить объяснение из первых рук.
Если по вашему опять несу пургу, прошу строго не судить :-( . К всеобщим поздравлениям надеюсь присоединиться немного позже :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 04:58 


31/03/06
1384
ishhan в сообщении #599353 писал(а):
У Вас же не полная форма $a^3+4b^3$ разлагается на множители так, что один из её множителей имеет норму полной формы?


Норму полной формы имеет второй сомножитель, но эта норма равна не $a^3+4b^3$, а
$(a^3+4b^3)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Феликс Шмидель
В том состоянии, в каком доказательство находится сейчас,
я ошибки не вижу. Но пока что текст рваный, фрагментарный.
Я рекомендую Вам написать все последовательно, в виде статьи, со всеми точными ссылками. Название, например,
'Краткое, альтернативное Эйлерову, доказательство ВТФ для степени 3'.
Я проверю. Если все в порядке, сможете представить в 'Математические Заметки'-- Журнал не чужд тематики, недавно печатал статью о ВТФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 12:16 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Краткое --- это вряд ли, доказательство евклидовости кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ довольно длинное, да и проверять его ещё надо. Описание единиц тоже не бесплатно (нужно решить уравнение $a^3+2b^3+4c^3-6abc=\pm 1$ в целых числах, а это отдельная и интересная сама по себе история). При этом схема доказательства точно такая же, как и у Эйлера. В основе лежит аналог леммы Эйлера, который можно сформулировать так: если $x^3+4v^3$ --- точный квадрат, где $x$ нечётно и взаимно просто с $v$, то существуют такие взаимно простые целые числа $k$ и $l$, что $x=k^4-4kl^3$, $v=2k^3l+l^4$ (именно здесь нужна факториальность $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$). Но подобные утверждения не редкость, так что какой-то принципиальной новизны в представленном доказательстве нет. Тем не менее автору спасибо за то, что обратил внимание на возможность такого подхода.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 13:45 


31/03/06
1384
shwedka в сообщении #599501 писал(а):
Феликс Шмидель
В том состоянии, в каком доказательство находится сейчас,
я ошибки не вижу. Но пока что текст рваный, фрагментарный.
Я рекомендую Вам написать все последовательно, в виде статьи, со всеми точными ссылками. Название, например,
'Краткое, альтернативное Эйлерову, доказательство ВТФ для степени 3'.
Я проверю. Если все в порядке, сможете представить в 'Математические Заметки'-- Журнал не чужд тематики, недавно печатал статью о ВТФ.


Большое спасибо, уважаемая shwedka.
Я могу сделать это только под Вашим руководством, потому что у меня нет опыта написания научных статей.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 16:31 


21/11/10
546
nnosipov в сообщении #599522 писал(а):
нужно решить уравнение $a^3+2b^3+4c^3-6abc=\pm 1$ в целых числах, а это отдельная и интересная сама по себе история)


А это уравнение имеет целочисленные решения только при $a=b=c=\pm 1$
Такое решение даёт
http://www.wolframalpha.com/

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 16:42 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
ishhan в сообщении #599640 писал(а):
Такое решение даёт http://www.wolframalpha.com/
Он просто не умеет решать такие уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 17:18 


16/08/05
1152
легко находятся $a=5,b=4,c=3$ и $a=7,b=2,c=-6$

и скорее всего целых решений бесконечно много

(Оффтоп)

Код:
a= -161    b= -99    c= 180
a= -73    b= -58    c= -46
a= -41    b= 59    c= -21
a= -35    b= 24    c= 3
a= -19    b= -15    c= -12
a= -19    b= 5    c= 8
a= -7    b= -2    c= 6
a= -5    b= -4    c= -3
a= -1    b= -100    c= 80
a= -1    b= -3    c= 3
a= -1    b= -1    c= -1
a= -1    b= 0    c= 0
a= -1    b= 1    c= 0
a= -1    b= 2    c= -1
a= 1    b= -2    c= 1
a= 1    b= -1    c= 0
a= 1    b= 0    c= 0
a= 1    b= 1    c= 1
a= 1    b= 3    c= -3
a= 1    b= 100    c= -80
a= 5    b= 4    c= 3
a= 7    b= 2    c= -6
a= 19    b= -5    c= -8
a= 19    b= 15    c= 12
a= 35    b= -24    c= -3
a= 41    b= -59    c= 21
a= 73    b= 58    c= 46
a= 161    b= 99    c= -180

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 18:07 


31/03/06
1384
nnosipov в сообщении #599522 писал(а):
Краткое --- это вряд ли, доказательство евклидовости кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ довольно длинное, да и проверять его ещё надо.


Моё доказательство короткое, и его не сложно проверить.


nnosipov в сообщении #599522 писал(а):
Описание единиц тоже не бесплатно (нужно решить уравнение $a^3+2b^3+4c^3-6abc=\pm 1$ в целых числах, а это отдельная и интересная сама по себе история).


Для чего решать это уравнение, если все делители единицы имеют вид $\pm (j-1)^m$?
Разве эта формула не даёт всех решений этого уравнения?

nnosipov в сообщении #599522 писал(а):
В основе лежит аналог леммы Эйлера, который можно сформулировать так: если $x^3+4v^3$ --- точный квадрат, где $x$ нечётно и взаимно просто с $v$, то существуют такие взаимно простые целые числа $k$ и $l$, что $x=k^4-4kl^3$, $v=2k^3l+l^4$ (именно здесь нужна факториальность $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$)


Моё доказательство не нуждается в выводе этих соотношений.

ishhan в сообщении #599640 писал(а):
А это уравнение имеет целочисленные решения только при $a=b=c=\pm 1$


Ерунда. Решений бесконечно много. Они даются формулой $\pm (j-1)^m$, которую я доказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 18:34 


16/08/05
1152
Феликс Шмидель в сообщении #599684 писал(а):
nnosipov в сообщении #599522 писал(а):
Описание единиц тоже не бесплатно (нужно решить уравнение $a^3+2b^3+4c^3-6abc=\pm 1$ в целых числах, а это отдельная и интересная сама по себе история).


Для чего решать это уравнение, если все делители единицы имеют вид $\pm (j-1)^m$?
Разве эта формула не даёт всех решений этого уравнения?

Даёт, но почему-то не все. Какое $m$ даст $a=5,b=4,c=3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 19:25 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
dmd в сообщении #599696 писал(а):
Даёт, но почему-то не все. Какое $m$ даст $a=5,b=4,c=3$?
$m=-2$

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 19:30 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
dmd в сообщении #599696 писал(а):
Даёт, но почему-то не все. Какое $m$ даст $a=5,b=4,c=3$?
Погуглите теорему Дирихле о числе единиц в кольце алгебраических чисел. Или вот Вики, там есть литература. Есть она и в книге Коблица (кажется).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение26.07.2012, 19:48 


29/08/09
691
Феликс Шмидель в сообщении #596721 писал(а):
$j=\sqrt[3]{2}$
Имеем:
(1) $x^6-j^6 v^3=(x^2-j^2 v)(x^4+j^2 x^2 v+j^4 v^2)$


Но Вы ведь разложили на иррациональные множители.
О какой делимости (точнее, об отсутствии общих множителей) тогда можно говорить?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 128 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group