Если

то

, где
![$j=\sqrt[3]{2}$ $j=\sqrt[3]{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/6/38640a64f5ba47540ae154813c61cb3d82.png)
,

,

.
Докажем, что

не может быть квадратом целого числа, если

и

- взаимно-простые целые числа,

-нечётное положительное число и

.
ВТФ для

следует из этого очевидным образом.
Предположим, что
является квадратом целого числа, где
- наименьшее такое положительное нечётное число,
и
и
- взаимно-простые целые числа.
Простой перебор возможных остатков от деления

и

на 9 показывает, что либо

делится на 3, либо

делится на 3.
Имеем:
(1)

Известно, что
![$\mathbb{Z}[j]$ $\mathbb{Z}[j]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bde5ff5237c13d255269f87e9cc8e7982.png)
является кольцом целых алгебраических чисел поля
![$\mathbb{Q}[j]$ $\mathbb{Q}[j]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/0/b3069883facb4be5729499bb7a40bb9882.png)
, что в этом кольце имеет место терема о единственности разложения на простые множители, и все делители единицы имеют вид:

, где

- целое число.
Легко показать, что множители в правой части равенства (1) не имеют общих делителей (иначе

делится на этот общий делитель и

делится на него, что невозможно, поскольку

и

- взаимно-простые целые числа,

-нечётное число и одно из этих чисел делится на 3, а другое нет).
Значит, либо

, либо

, где

,

и

- целые числа.
Второе из этих равенств невозможно, поскольку коэффициент при

, в левой части нечётный (поскольку

- нечётное число), а в правой части - чётный.
Значит,
(2)

.
Будем считать, что

- неотрицательное число (иначе изменим знак у

,

и

).
Из (2) следует:
(3)

(4)

(5)

Все три числа

,

и

не равны нулю (если

, то

из (4), и левая часть (3) обращается в 0, что невозможно; если

, то

из (4), и левая часть (5) обращается в 0, что невозможно).
Из (4) получим:

.
Подставляя это выражение для

в (3) и (5) получим:
(6)

(7)

Пусть

,

, где

- наибольший общий делитель чисел

и

, взятый со знаком плюс.
Тогда

и

- взаимно-простые числа и:
(8)

(9)

Из (8) следует, что

делится на

и

делится на

; из (9) следует, что

делится на

, а поскольку

и

- взаимно-простые числа, то

или

.
Значит

и из (8) получим:
(10)
Поскольку

, то

, и из (10) следует, что

для некоторого положительного нечётного числа

.
Из (10) получим, что

является квадратом целого числа.
Мы покажем отдельно, что

, а сейчас предположим это.
Тогда из (10) следует, что

, что противоречит минимальности

.
Что и требовалось.