ВТФ для n=3

[AKM]

Феликс Шмидель в сообщении #597529 писал(а):

Цитата:

Но почему исследуя форму шестой степени...

Феликс Шмидель,

нормально (и без особых усилий) офоpмленные цитаты содержат ссылку на цитируемое сообщение и указывают его автора. Есть две темы на эту тему:
topic11877.html
topic37913.html

[Феликс Шмидель]

1.1 $\mathbb{Z}[j]$ является кольцом целых алгебраических чисел поля $\mathbb{Q}[j]$.

Доказательство в задачах:
---------------------------------

1. Доказать, что $\sqrt[3]{2}$ - иррациональное число.
2. Доказать, что полином $x^3-2$ не разлагается на множители с рациональными коэффициентами.
3. Доказать, что если $x=a_0+a_1 j+a_2 j^2$ то:

$x^3-3 a_0 x^2+3(a_0^2-2 a_1 a_2) x-(a_0^3+2 a_1^3+4 a_2^3-6 a_0 a_1 a_2)=0$

4. Доказать, что если все коэффициенты многочлена в задаче 3 - целые числа, где $a_0$, $a_1$ и $a_2$ - рациональные числа, то они целые числа.

[Феликс Шмидель]

1.2 В $\mathbb{Z}[j]$ имеет место теорема о единственности разложения на простые множители.

Назовём нормой числа $a_0+a_1 j+a_2 j^2$ число $a_0^3+2 a_1^3+4 a_2^3-6 a_0 a_1 a_2$.
Обозначим норму через $N(a_0+a_1 j+a_2 j^2)$.

Из задачи 3 следует, что норма произведения равна произведению норм.
Если $a_0$, $a_1$ и $a_2$ - неотрицательные рациональные числа, которые не больше $\frac{1}{2}$, то очевидно: $N(a_0+a_1 j+a_2 j^2)$ по абсолютной величине меньше 1.
Поэтому числа в $\mathbb{Z}[j]$ можно делить одно на другое с остатком, абсолютная величина нормы которого меньше абсолютной величины нормы делителя.
Из этого стандартным образом следует теорема о единственности разложения на простые множители в $\mathbb{Z}[j]$.

-- Вс июл 22, 2012 09:19:22 --

Задача 4 является самой трудной из задач 1-4, но её можно не решать, так как подпункт 1.1 очевидно следует из подпункта 1.2.
Поэтому подпункт 1.1 вообще можно не упоминать, он не важен для моего доказательства.

[nnosipov]

Феликс Шмидель в сообщении #597529 писал(а):

Я пока не знаю как без теоремы Дирихле доказать, что в $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ есть только одна фундаментальная единица.

Это нетрудно. Рассуждения примерно такие же, как и в случае уравнения Пелля.

Феликс Шмидель в сообщении #597529 писал(а):

потому что кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ - Евклидово по норме

Верно, но есть ли сравнительно простое доказательство евклидовости?

[Феликс Шмидель]

nnosipov в сообщении #597832 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #597529 писал(а):

Я пока не знаю как без теоремы Дирихле доказать, что в $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ есть только одна фундаментальная единица.

Это нетрудно. Рассуждения примерно такие же, как и в случае уравнения Пелля.

Пожалуйста, поподробнее.

nnosipov в сообщении #597832 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #597529 писал(а):

потому что кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ - Евклидово по норме

Верно, но есть ли сравнительно простое доказательство евклидовости?

Феликс Шмидель в сообщении #597819 писал(а):

Если $a_0$, $a_1$ и $a_2$ - неотрицательные рациональные числа, которые не больше $\frac{1}{2}$, то очевидно: $N(a_0+a_1 j+a_2 j^2)$ по абсолютной величине меньше 1.
Поэтому числа в $\mathbb{Z}[j]$ можно делить одно на другое с остатком, абсолютная величина нормы которого меньше абсолютной величины нормы делителя.

К сожалению, я нашёл в этом своём рассуждении ошибку: можно предполагать что рациональные числа $a_0$, $a_1$ и $a_2$ не больше $\frac{1}{2}$ по абсолютной величине, а не так как я написал.
Так что, пока у меня нет ответа на Ваш вопрос.

То что подпункт 1.1 можно не упоминать (и что он следует из 1.2) остаётся в силе.

[nnosipov]

Феликс Шмидель в сообщении #597840 писал(а):

Так что, пока у меня нет ответа на Ваш вопрос.

Да, здесь будет некоторая морока, но в конечном итоге всё должно получиться (возможно, не без помощи компьютера). Попробуйте это дожать.

Феликс Шмидель в сообщении #597840 писал(а):

Пожалуйста, поподробнее.

Полезно посмотреть доказательство теоремы Дирихле в общем виде (можно, например, по Боревичу&Шафаревичу). Главный момент в нём --- это существование нетривиальных единиц в нужном количестве (это даёт лемма Минковского о выпуклом теле). Но в каждом конкретном случае (например в нашем $N(a_0+a_1j+a_2j^2)=\pm 1$) этот вопрос можно решить банально --- просто указать какую-нибудь нетривиальную единицу $\varepsilon>1$, а затем среди таких единиц найти минимальную $\varepsilon_0$ (т.е. наиболее близкую к числу $1$ справа), которой окажется $j-1$ (здесь ещё один тонкий момент --- нужно предварительно понять, что множество единиц на вещественной прямой является дискретным). Все остальные единицы будут степенями $\varepsilon_0$, что доказывается точно так же, как и аналогичный факт в теории уравнений Пелля.

[ishhan]

Феликс Шмидель в сообщении #597840 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #597529 писал(а):
Я пока не знаю как без теоремы Дирихле доказать, что в $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ есть только одна фундаментальная единица.

И не надо.
Поскольку Ваш метод доказательства претендует на аналогичность доказательству Эйлера, но с другим "расширением" просто приведите формулы из которых следует, что предположив существование решения $x,y,z$ для уравнения $x^3+y^3=z^3$ так же следует и существование тройки решений $x_1,y_1,z_1$ в которой значение переменных меньше.
Разумеется с участием выражения $a^6+4b^3$ и так же наглядно, как это сделал
М.М. Постников описывая метод Эйлера в своей культовой брошюре посвящённой ВТФ.

[Феликс Шмидель]

ishhan в сообщении #597862 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #597840 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #597529 писал(а):
Я пока не знаю как без теоремы Дирихле доказать, что в $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ есть только одна фундаментальная единица.

И не надо.

Надо. Благодаря форумчанину nnosipov это можно сделать в несколько строчек.

Кстати, необязательно доказывать, что $(j-1)$ является фундаментальной единицей.
Заменим подпункт 1.3 на:

1.3 В $\mathbb{Z}[j]$ cуществует такое число $e_1$, что все положительные делители единицы имеют вид: $e_1^m$, где $m$ - целое число.

Тогда $j-1=e_1^k$, где $k$-целое число, которое не может быть чётным, иначе в правой части коэффициент при $j$ был бы чётным.
Этого вполне достаточно для моего доказательства.

ishhan в сообщении #597862 писал(а):

Поскольку Ваш метод доказательства претендует на аналогичность доказательству Эйлера, но с другим "расширением" просто приведите формулы из которых следует, что предположив существование решения $x,y,z$ для уравнения $x^3+y^3=z^3$ так же следует и существование тройки решений $x_1,y_1,z_1$ в которой значение переменных меньше.

А это не нужно, поскольку моё доказательство этого не требует.
При условии, что я найду простое доказательство евклидовости $\mathbb{Z}[j]$.

[Феликс Шмидель]

1.3 В $\mathbb{Z}[j]$ cуществует такое число $e_1$, что все положительные делители единицы имеют вид: $e_1^m$, где $m$ - целое число.

Лемма
----------

В интервале (0.25, 1) находится конечное число делителей единицы, принадлежащих $\mathbb{Z}[j]$.

Доказательство:
----------------------

Предположим делитель единицы $w=a_0+a_1 j+a_2 j^2$ принадлежит интервалу $(0.25, 1)$.
Пусть $w_1=a_0+a_1 j i_3+a_2 j^2 i_3^2$, $w_2=a_0+a_1 j i_3^2+a_2 j^2 i_3$, где $i_3$ - комплексный кубический корень из единицы.
Числа $w$, $w_1$ и $w_2$ являются корнями полинома из задачи 3.
Поскольку $w$ - положительный делитель единицы, а $w_1$ и $w_2$ являются сопряжёнными комплексными числами, равными по абсолютной величине, то $w w_1 w_2=1$, откуда $w_1$ и $w_2$ по абсолютной величине меньше 2.
Коэффиниенты полинома из задачи 3 являются целыми числами, которые равны
$-(w+w_1+w_2)$, $w w_1+w w_2+w_1 w_2$ и $w w_1 w_2=1$.
Первый коэффициент меньше 5 по абсолютной величине, а второй коэффициент меньше 8 по абсолютной величине.
Таких многочленов не больше $135$.
Поэтому в интервале $(0.25, 1)$ находится не больше $135$ делителей единицы, принадлежащих $\mathbb{Z}[j]$.
Что и требовалось доказать.

Пусть $e_1$ - наибольший делитель единицы в интервале $(0.25, 1)$, пусть $w$ - какой либо положительный делитель единицы, который меньше 1, и пусть $m$ - наименьшее натуральное число, такое что $e_1^{m+1}<w$.
Поскольку $e_1<w/e_1^m\leq 1$, то $w=e_1^m$.
Что и требовалось доказать.

Спасибо форумчанину nnosipov за идею доказательства.

[Феликс Шмидель]

Следствие.
-------------

$e_1=j-1$

Доказательство:
-------------------

Пусть $e_1=a_0+a_1 j+a_2 j^2$
Из задачи 3 и оценки первого коэффициента полинома, корнем которого является $e_1$, следует, что $a_0$ может быть $1$ или $-1$ ($a_0\ne 0$, поскольку $e_1$ - делитель единицы).
Из оценки второго коэффициента, $a_0^2-2 a_1 a_2$, являясь нечётным числом может быть $1$ или $-1$.
Значит $a_1 a_2$ может быть либо $0$ либо $1$.
Поскольку $a_0^3+2 a_1^3+4 a_2^3-6 a_0 a_1 a_2=1$, то либо $a_1 a_2=0$ и $a_0+2 a_1^3+4 a_2^3=1$ либо $a_1 a_2=1$ и $2 a_1^3+4 a_2^3-5 a_0=1$.
В первом случае $a_2=0$ и если $a_0=1$ то $a_1=0$, а если $a_0=-1$ то $a_1=1$.
Во втором случае $a_1=a_2=1$ и $a_0=1$.
Из полученных трёх делителей 1: $1$, $j-1$ и $1+j+j^2$, только $j-1$ меньше $1$.
Что и требовалось доказать.

[Феликс Шмидель]

nnosipov в сообщении #597848 писал(а):

Да, здесь будет некоторая морока, но в конечном итоге всё должно получиться (возможно, не без помощи компьютера).

C помощью компьютера нечего делать: разобьём куб со сторонами от 0 до 1 на огромное колличество маленьких кубиков. Если на каком-то из кубиков норма не меньше 1, сдвинем его на 1 в какую-нибудь сторону и проверим норму там.
Но как оформить такое "доказательство"?

[nnosipov]

Феликс Шмидель в сообщении #598116 писал(а):

Но как оформить такое "доказательство"?

Аккуратно написав все необходимые оценки (это и есть морока). А идея правильная. Вряд ли есть что-то проще.

[ishhan]

nnosipov в сообщении #598119 писал(а):

Вряд ли есть что-то проще.

Разве этот вариант доказательства первого случая ВТФ для $n=3$ не самый простой?

ishhan в сообщении #597287 писал(а):

Так красивым и правильным можно считать доказательство первого случая ВТФ для n=3 при помощи тождества:$(x+y-z)^3-x^3-y^3+z^3=3(x-z)(y-z)(x+y)$
из которого сразу следует, что при выполнении:$x^3+y^3-z^3=0$ и целых $x,y,z$
$x+y-z$ делится на $3$, а так же и то , что одно из чисел $x,y,z$ должно делиться на три, в противном случае условия целостности запрещают равенство $x^3+y^3-z^3=0$.

Как доказывается первый случай по методу Феликс Шмидель, пока не ясно.
И потом, разве кроме метода Эйлера существует ещё какой-то способ доказательства ВТФ $n=3$ второго случая?

[Belfegor]

ishhan в сообщении #598261 писал(а):

Как доказывается первый случай по методу Феликс Шмидель, пока не ясно.
И потом, разве кроме метода Эйлера существует ещё какой-то способ доказательства ВТФ $n=3$ второго случая?

Доказательство замечательное, но похоже среди двух случаев, обозначенных Гауссом - этот самый элементарный, а вот второй...И кажется Феликс Шмидель уверенно двигается к цели!

[nnosipov]

ishhan в сообщении #598261 писал(а):

Разве этот вариант доказательства первого случая ВТФ для $n=3$ не самый простой? ...

Эта фраза

nnosipov в сообщении #598119 писал(а):

Вряд ли есть что-то проще.

относится к совершенно другому. Читайте внимательнее.