Исправленный вариант статьи:
Краткое, альтернативное Эйлерову, доказательство ВТФ для степени 3.
В этой работе мы доказываем, что равенство
невозможно в целых взаимно-простых числах, отличных от нуля.
В доказательстве используется кольцо
, однозначность разложения на простые множители в этом кольце и общий вид делителей единицы.
Введём обозначение:
.
Кольцо
является евклидовым (ссылка 1), следовательно:
(I) В
возможно и однозначно разложение элементов на простые множители (ссылка 2).
(II) Любой делитель единицы в
имеет вид
, где
-целое число (ссылка 3).
Лемма 1
-----------
Если
является квадратом целого числа, где
и
- целые числа, то
делится на 3.
Доказательство:
------------------
Предположим
не делится на 3.
Поскольку куб числа не делящегося на
даёт остаток
или
при делении на
, то
даёт при делении на
остаток
, или
. Поскольку квадрат целого числа даёт остаток
,
,
или
при делении на
, то
не является квадратом целого числа, что противоречит условию леммы.
Лемма 2
-----------
Если
и
- взаимно-простые целые числа,
-нечётное положительное число и
, то
.
Доказательство:
--------------------
Предположим, что
.
Тогда
(2.1)
.
Поскольку
, то сомножители в левой части равенства (2.1) - взаимно-просты, и из (2.1) следует, что оба сомножителя являются кубами целых положительных чисел.
Пусть
(2.2)
и
, где
и
- целые положительные числа.
Из равенств (2.2) следует, что
и
, что невозможно, так как
.
Лемма 3
----------
Обозначим
.
Пусть
и
- целые взаимно-простые числа,
- нечётное число, и
делится на 3.
Тогда
и
не имеют в
общих делителей.
Доказательство:
--------------------
Предположим, что
и
имеют общий простой делитель
.
Поскольку
- нечётное число, и
взаимно-просто с
, то существуют такие целые числа
и
, что
.
Поскольку
, то
, следовательно
взаимно-просто в
с
, и поскольку
делится на
, то
(3.1)
не делится на
.
Поскольку
делится на 3, то
(3.2)
делится на
.
Из (3.1) и (3.2) следует, что
не делится на
и:
(3.3)
не делится на
.
Но
делится на
, что противоречит (3.3).
Лемма 4
-----------
Если
и
- взаимно-простые целые числа,
-нечётное положительное число и
, то
не является квадратом целого числа.
Доказательство:
--------------------
Предположим:
(4.1)
является квадратом целого числа, где
- наименьшее такое положительное нечётное число,
и
и
- взаимно-простые целые числа.
Обозначим
.
Имеем:
(4.2)
.
Из (4.1) и леммы 1 следует, что
делится на 3, и из леммы 3, (4.1), (4.2) и (I) следует:
(4.3)
, где
- делитель единицы в
, и
,
и
-целые числа.
Из (II) следует:
(4.4)
, где
-целое число.
Поскольку
- нечётное число, то
, и из (4.1) следует:
(4.5)
Поскольку
, то из (4.2) и (4.5) следует:
(4.6)
.
Из (4.3) и (4.6) следует, что
, и из (4.4) следует:
(4.7)
, где
-целое число.
Из (4.3) и (4.7) следует, что либо:
(4.8)
является квадратом в
, либо:
(4.9)
является квадратом в
.
Имеем:
(4.10)
.
Поскольку коэффициент при
в правой части (4.10) - нечётное число, то (4.9) невозможно, и имеет место (4.8), следовательно:
(4.11)
, где
,
и
-целые числа.
Будем считать, что
- неотрицательное число (иначе изменим знак у
,
и
).
Из (4.11) следует:
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Все три числа
,
и
не равны нулю, так как:
если
, то
из (4.13), и левая часть (4.12) обращается в 0, что невозможно;
если
, то
из (4.13), и левая часть (4.14) обращается в 0, что невозможно,
поэтому:
(4.15)
и
;
если
, то
или
из (4.13), что невозможно согласно (4.15).
Поскольку
- неотрицательное число, то:
(4.16)
.
Из (4.13) получим:
.
Подставляя это выражение для
в (4.12) и (4.14) получим:
(4.17)
(4.18)
.
Пусть
(4.19)
,
, где
- наибольший общий делитель чисел
и
, взятый со знаком плюс.
Тогда
(4.20)
и
- взаимно-простые числа.
Подставляя (4.19) в (4.17) и (4.18) получим:
(4.21)
(4.22)
Из (4.20) следует:
(4.23)
и
- взаимно-простые числа.
Из (4.20), (4.23) и (4.21) следует:
(4.24)
делится на
.
Из (4.21) и (4.24) следует:
(4.25)
делится на
.
Из (4.22) и (4.24) следует:
(4.26)
делится на
.
Поскольку
и
- взаимно-простые числа, то из (4.25) и (4.26) следует
или
.
Значит
и из (4.21) получим:
(4.27)
Из (4.27) и нечётности
следует:
(4.28)
- нечётное число.
Из (4.20) и (4.28) следует
(4.29)
и
- взаимно-простые числа.
Из (4.16) и (4.19) следует, что
, и из (4.27) и (4.29) следует:
(4.30)
для некоторого целого положительного числа
(4.31)
является квадратом целого числа.
Из (4.30) и (4.31) следует:
(4.32)
является квадратом целого числа.
Из (4.28) и (4.30) следует:
(4.33)
- нечётное целое положительное число.
Из (4.20) и (4.30) следует:
(4.34)
и
- взаимно-простые числа.
Из (4.15) и (4.19) следует:
(4.35)
Из леммы 2, (4.27) и (4.30) следует:
(4.36)
(4.32), (4.34), (4.33), (4.35) и (4.36) вместе противоречат минимальности
в (4.1).
Теорема А
--------------
Равенство
невозможно в целых взаимно-простых числах, отличных от нуля.
Доказательство:
--------------------
Предположим:
(А.1)
и
(А.2)
,
и
- взаимно-простые целые числа, отличные от нуля.
Поскольку
и
- взаимно-простые числа, то хотя бы одно из них нечётное.
Если
- чётное, поменяем числа в
и
местами.
Если
изменим знак чисел в
,
и
на противоположный.
Получим:
(A.3)
- нечётное положительное число.
Из тождества
и (А.1) следует:
(А.4)
является квадратом целого числа.
Обозначим
.
Из (А.2) следует:
(А.5)
и
- взаимно-простые целые числа,
(А.6)
Из (А.4) следует:
(А.7)
является квадратом целого числа.
(А.7), (А.3), (А.5) и (А.6) вместе противоречат лемме 4.
Ссылки:
1. "The Euclidean Condition in Pure Cubic and Complex Quartic Fields", Cioffari, Mathematics of Computation, Volume 33, Number 145, January 1979, Theorem A, page 389.
2. "Теория Чисел", Боревич, Шафаревич, 1985, Теорема 2, страница 186.
3. "Теория Чисел", Боревич, Шафаревич, 1985, Задача 5, страница 125.
-- Вт июл 31, 2012 15:51:19 --Из (4.1) и леммы 1 следует, что
делится на 3
Это не так, из леммы 1 делимость автоматически не вытекает.
Теперь понятнее?
-- Вт июл 31, 2012 15:58:02 --Феликс Шмидель в сообщении #600924 писал(а):
Из (4.1) и леммы 1 следует, что
делится на 3
Это не так, из леммы 1 делимость автоматически не вытекает.
На мой взгляд это не важно, так как доказывается второй случай и поскольку одно из чисел
делится на
, то очевидно, что произведение
делится на
.
Доказывается не второй случай, а оба случая одновременно.