Замечательный предел и нечестное доказательство

[ewert]

shwedka в сообщении #565751 писал(а):

1. длина кривой ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ как предел. Никаких интегралов.

Не совсем так. Интегралов в явном виде действительно не нужно. Однако конструкция предела, необходимая для определения длины кривой, достаточно сложна и в определённом смысле родственна той, что используется при определении интеграла (она промежуточна между "интегральным" пределом и обычным, "функциональным"). Естественно, в школе её аккуратно не прорабатывают -- это и невозможно в принципе ввиду отсутствия вещественных чисел как точного математического понятия.

[Ales]

shwedka в сообщении #565751 писал(а):

Общая ошибка в логике. Из того, что некоторую величину можно понимать как интеграл Вы делаете ошибочный вывод, что ее нельзя понимать иначе.

Я по-прежнему считаю, что это интеграл.
С моей точки зрения интеграл - сумма большого числа маленьких величин.

С моей точки зрения, определять длину окружности надо не по древнегречески, а через Декартову геометрию и через интегралы для неявных функций $x^2+y^2=1$, этот способ строгий и дает эффективный алгоритм вычисления.
Длина кривой - это $\int p_xdx+p_ydy$, где $p_x^2+p_y^2=1$ и $\frac {dx}{p_x}=\frac {dy}{p_y}$.


А то, что дают студентам на первом курсе, надо рассматривать не как обман,
а как полезную тренировку в практике доказательств.

[ewert]

Ales в сообщении #566047 писал(а):

Я по-прежнему считаю, что это интеграл.

Так ведь нет ещё никаких интегралов. И очень нескоро будут. А синус уже нужен. Что делать -- застрелиться?...

[Ales]

ewert в сообщении #566088 писал(а):

Ales в сообщении #566047 писал(а):

Я по-прежнему считаю, что это интеграл.

Так ведь нет ещё никаких интегралов. И очень нескоро будут. А синус уже нужен. Что делать -- застрелиться?...

Может быть так:
Синус и косинус это катеты треугольника с гипотенузой 1.
Определить длину окружности специальным образом через предел периметра вписанных $2^n $-угольников. А площадь круга - предел площади $2^n $-угольников.
Доказать что эти пределы существуют и связаны $S = \frac {RL} 2$.
Показать, что можно то же самое сделать для вписанных правильных n-угольников и для неправильных многоугольников с условием, что длина каждой стороны стремится к нулю.
Ввести число $\pi$.
Ввести синус, как функцию от длины дуги.
Потом из определения длины получить первый замечательный предел.

И потом сделать оговорку, что общий случай длины кривой - это интеграл, который будет изучаться в следующем семестре.

[ewert]

Ales в сообщении #566093 писал(а):

Определить длину окружности специальным образом через предел периметра вписанных $2^n $-угольников.

Этого недостаточно -- не выйдет аддитивности. Или если выйдет, то слишком дорого.

Ales в сообщении #566093 писал(а):

И потом сделать оговорку, что общий случай длины кривой - это интеграл, который будет изучаться в следующем семестре.

Не в следующем семестре, а года через два. Вы ещё в школе.

[master]

$\lim_{x\to 0} \frac {\sin x} x=1$
пусть мерой угла будет синус этого угла
$\lim_{x\to 0} \frac {\sin x}{\sin x}=1$

[ewert]

master в сообщении #566126 писал(а):

пусть мерой угла будет синус этого угла

Не пусть. "Мера" -- это точное математическое понятие. Включающее в себя, в частности, аддитивность.

[shwedka]

Ales в сообщении #566047 писал(а):

С моей точки зрения интеграл - сумма большого числа маленьких величин.

Ваша воля так считать.
Почитайте учебники и увидите, что это не так.

Ales в сообщении #566047 писал(а):

С моей точки зрения, определять длину окружности надо не по древнегречески, а через Декартову геометрию и через интегралы для неявных функций $x^2+y^2=1$, этот способ строгий и дает эффективный алгоритм вычисления.
Длина кривой - это $\int p_xdx+p_ydy$, где $p_x^2+p_y^2=1$ и $\frac {dx}{p_x}=\frac {dy}{p_y}$.

Вы опять путаете определение математического объекта и способ вычисления.

[Integrall]

shwedka в сообщении #566307 писал(а):

Почитайте учебники и увидите, что это не так.

да что с ним спорить. ТС не читал как следует анализ, не знает, что длинна определена не для каждой непрерывной и даже не для каждой жордановой кривой. А для так называемых - спремляемых кривых. Существуют разные критерии спремляемости. Один из них - это локальная дифференцируемость, т.е. существование в каждой точке кривой кассательной к ней. Количество "плохих" точек должно быть ограничено. Это довольно жесткое условие и критерий требует понятия производной. И опять порочный круг.

Если же, как предлагает ТС, ограничиться наивным представлением "о длине кривой как о интегральной сумме", то его на первой же лекции студенты закидают коврами Серпинского.

Для окружности спремляемость очевидна. По крайней мере для тех, кто знаком с колесом. Оно катится и наматывает на себя пройденное расстояние. В этом смысле его длинна существует априори и может быть вычислена любым методом вполне законно. И я не вижу здесь никакого "надувательства".

[arseniiv]

(Оффтоп)

Integrall в сообщении #566958 писал(а):

А для так называемых - спремляемых кривых.

Нее, так называемых точно нет!

Вот про спрямляемые где-то слышал…

[Ales]

Integrall в сообщении #566958 писал(а):

Для окружности спремляемость очевидна

Понятное дело. Раз не можем доказать - очевидно.

Собственно речь и идет о строгом доказательстве спрямляемости окружности,
а совсем не о спрямляемости каких-то там экзотических непрерывных, но совсем не гладких кривых.

Предлагаю Вам дать определение длины алгебраической кривой.
Я докажу, что либо оно неадекватно, либо сводится к интегралу.

[shwedka]

Ales в сообщении #567012 писал(а):

Предлагаю Вам дать определение длины кривой.
Я докажу, что либо оно неадекватно, либо сводится к интегралу.

Пожалуйста.

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.
Подробнее, если Вам непонятно, что такое 'вписанная ломаная', посмотрите в учебниках. Например,
Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), стр 560.

Теперь Вам требуется свести это определение к интегралу. В частности, доказать, что во всех точках, кроме конечного числа, существует производная, которую Вы интегрировать собрались.

Ждем-с!!

[Ales]

shwedka в сообщении #567022 писал(а):

Теперь Вам требуется свести это определение к интегралу. В частности, доказать, что во всех точках, кроме конечного числа, существует производная, которую Вы интегрировать собрались.

Ждем-с!!

Я специально написал "алгебраической кривой".
А так конечно, пришлось бы повозиться.

Я вообще принципиально не рассматриваю случаи не кусочно аналитических кривых (мне это не интересно).

Речь шла изначально о окружности и длине окружности, поэтому все ОК.

-- Чт май 03, 2012 22:10:06 --

Надеюсь мои оппоненты знают, что такое алгебраическая кривая.
Если нет, готов посоветовать почитать учебник.
Я тоже с радостью даю полезные советы :)

[shwedka]

Ales в сообщении #567024 писал(а):

Надеюсь мои оппоненты знают, что такое алгебраическая кривая.
Если нет, готов посоветовать почитать учебник.

Да, да, ссылочку, пожалуйста!!


А Вы еще и жулик к тому же!! В первоначальном заявлении ничего об алгебраичности не было. Задним числом исправили!

shwedka в сообщении #567022 писал(а):

Ales в сообщении #567012 писал(а):
Предлагаю Вам дать определение длины кривой.
Я докажу, что либо оно неадекватно, либо сводится к интегралу.

Именно, определение!!! И не пытайтесь жульнически подменить, по своему обыкновению,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ формулой для вычисления.

-- Чт май 03, 2012 20:50:35 --

Цитата:

Я вообще принципиально не рассматриваю случаи не кусочно аналитических кривых (мне это не интересно).

Ваш личный неинтерес и Ваша персональная безграмотность не могут служить основанием для огульных обвинений в жульничестве.

[Ales]

shwedka в сообщении #567041 писал(а):

В первоначальном заявлении ничего об алгебраичности не было. Задним числом исправили!

Не надо так торопиться и будете лучше успевать.
И вообще математики должны быть более выдержанными и более вежливыми :)