Что такое касательная?

[Doil-byle]

Можно взять точки, $x_0$ и $x_0+\Delta x$ провести секущую через точки $f(x_0)$ и $f(x_0 + \Delta x)$. Очевидно, что угол между секущей и осью $x$ зависит только от величины $\Delta x$ (при данной функции) , поэтому можно ввести функцию $\varphi ( \Delta x)$ , значение которой равно этому углу. Если существует предел $ \lim_{\Delta x \to o}{\varphi ( \Delta x)} $, то прямую, тангенс угла наклона которой равен тангенсу значения этого предела, проходящую через точку $(x_0, f(x_0))$, назовём касательной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #562698 писал(а):

Профессор периодически делает попытки найти противоречие в анализе. Очередная попытка -- незачОт.

Он просто хочет с нами (ну не со мной, с другими) поговорить. И интересно получается, люди высказываются и т.д.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #562799 писал(а):

По-Вашему касательная определена только для гладких кривых?

я дал определение эквивалентное определению из учебика Рашевского. В других учебниках это определение иногда еще распространяют на особенности типа "клюв" (например $y=\sqrt{|x|}$) и еще там есть специальные случаи, когда кривая является образом отрезка и можно определить односторонние производные. Возможно есть еще какие-то нюансы про которые я не поню или не видел.

Padawan в сообщении #562799 писал(а):

Кстати, вопрос "что такое кривая?" гораздо сложнее вопроса "что такое касательная?" :)

а вопроса нет вообще. Есть несколько стандартных определений, что не запрещает придумать какое-то еще дополнительное определение, только оговаривать надо происхождение этого определения и еще желательно цель с которой оно было введено. При этом вопрос:

Профессор Снэйп в сообщении #562554 писал(а):

Возник такой методический вопрос: считать ли прямую $y = 0$ касательной к графику функции $y = | x |$ в точке $(0,0)$.

совершенно банально закрывается стандартными определениями.
А высказывания:

Профессор Снэйп в сообщении #562557 писал(а):

Хотелось бы увидеть определение касательной. А то все о ней говорят, а определения как такового и нет!

вызывают ощущение, что ТС не брал в руки учебник по диф. геометрии вообще никогда.

-- Пн апр 23, 2012 10:38:00 --

Doil-byle в сообщении #562881 писал(а):

Он просто хочет с нами (ну не со мной, с другими) поговорить. И интересно получается, люди высказываются и т.д.

Вы не в курсе истории вопроса.

[BVR]

Чтобы предел существовал, надо, чтобы предел слева равнялся пределу справа. А у $|x|$ они не равны. Поэтому в начале координат у этой линии нету касательной.

[Профессор Снэйп]

Oleg Zubelevich в сообщении #562915 писал(а):

вызывают ощущение, что ТС не брал в руки учебник по диф. геометрии вообще никогда.

Уважаемый! Если Вам не нравится тема, то никто не заставляет Вас поддерживать в ней дискуссию. А зайти в неё лишь для того, чтобы рассказать всем вокруг, какие они дураки...

Проблема ведь не в том, чтоб как-нибудь определить касательное многообразие на спецкурсе по дифгему, а в том, чтобы определить понятие касательной прямой приемлемым для старшеклассников образом, не поступившись при этом формальной строгостью изложения. При чём здесь учебник по дифференциальной геометрии, если о касательных начинают говорить ещё со школы, а потом продолжают решать задачи на их нахождение в первом семестре первого курса. Задолго до всякого дифгема! Если Вы вдруг не обратили внимание, то раздел форума называется "вопросы преподавания"...

[master]

Если прямая и кривая имеет одну общую точку(на отрезке ЦД) и существует участок кривой от А до Б, содержащий данную точку(которая не А, не Б), весь лежащий в одной полуплоскости относительно данной прямой, то прямая является касательной в данной точке.

[Профессор Снэйп]

master в сообщении #563735 писал(а):

весь лежащий в одной полуплоскости относительно данной прямой,

Да ну при чём здесь "одна полуплоскость"?!

Вот у графика кубической параболы $y = x^3$ в нуле какая касательная? И где там одна полуплоскость?

[master]

Хм. Забавно, касательная к дву частям кривой, надо подумать.

[Профессор Снэйп]

master в сообщении #563751 писал(а):

Хм. Забавно касательная к дву частям кривой, надо подумать.

Посмотрите ещё $y = x^2 \sin (1/x)$. Что там с касательной в нуле?

[master]

Профессор Снэйп в сообщении #563753 писал(а):

Посмотрите ещё $y = x^2 \sin (1/x)$. Что там с касательной в нуле?

а функция там есть?

[Профессор Снэйп]

master в сообщении #563755 писал(а):

а функция там есть?

Там - это где? В нуле? Ну доопределите её в нуле нулём, чтоб была.

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #563744 писал(а):

Вот у графика кубической параболы $y = x^3$ в нуле какая касательная? И где там одна полуплоскость?

Я думаю, нужно сначала определить касательную как такую, что кривая (локально) лежит по одну сторону от неё, а потом переопределить для графиков функций, расширяя его для геометрического смысла производной. И обязательно сделать это явно и подчеркнуть различия.

[wallflower]

Профессор Снэйп в сообщении #563625 писал(а):

определить понятие касательной прямой приемлемым для старшеклассников образом, не поступившись при этом формальной строгостью изложения.

Разве производные в школе не проходят?

(Модераторам)

Интересно, а если бы тему открыл не ЗУ, то её бы закрыли по причине троллинга?

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #562850 писал(а):

То есть кривая -- это просто непрерывное отображение отрезка? Или класс эквивалентных отображений? Или образ отрезка при таком отображении? Мутное это дело...

М М Постников Лекции по геометрии Семестр III Гладкие многообразия. Наука 1987

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #563849 писал(а):

М М Постников Лекции по геометрии Семестр III Гладкие многообразия. Наука 1987

Лучше бы процитировали...

[Munin]

Padawan в сообщении #563871 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #563849 писал(а):

М М Постников Лекции по геометрии Семестр III Гладкие многообразия. Наука 1987

Лучше бы процитировали...

Цитата:

Существует несколько различных подходов к четкому определению (экспликации) интуитивного понятия линии, приводящие, вообще говоря, к различным результатам. Однако в простейших ситуациях все подходы дают фактически одно и то же.
Обсудим сначала линии на плоскости.
Множество Г на плоскости называется графиком, если существует такая система (евклидовых или аффинных) координат х, у и такая дифференцируемая (вариант—непрерывная) функция $f\colon I\to\mathbb{R}$, определенная на (замкнутом, полуоткрытом или открытом) интервале I оси R, что точка с координатами х, у тогда и только тогда принадлежит множеству Г, когда $x\in I$ и y = f(x). С интуитивной точки зрения все графики являются, конечно, линиями.
Точка $p_0$ множества С на плоскости называется простой, если существует такой открытый круг U с центром в $p_0$, что пересечение $U\cap C$ является графиком.
Множество С называется связным, если его нельзя разбить на два множества, обладающие тем свойством, что каждая предельная точка одного множества не принадлежит другому. (Наглядно это означает, что множество состоит из одного куска.)
Множество С на плоскости называется простой линией, если оно связно и состоит только из простых точек.



Цитата:

Другой подход к понятию линии, связываемый обычно с именем французского математика Жордана, основывается на представлении о линии как траектории движущейся точки. Линии в смысле Жордана мы будем называть кривыми.
Согласно Жордану, кривой в n-мерном аффинном пространстве $\mathscr{A}$ называется произвольное непрерывное отображение $\gamma\colon I\to\mathscr{A}$, где I — некоторый интервал оси R (открытый, полуоткрытый или замкнутый), т. е. после выбора в $\mathscr{A}$ начала отсчета непрерывная вектор-функция $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t),\quad t\in I$, принимающая значения в ассоциированном линеале $\mathscr{V}$.
...
Подчеркнем, что кривые являются — в отличие от линий!—не множествами, а отображениями.
Однако на практике удобно обращаться с кривыми — по крайней мере в терминологическом отношении — как будто они являются множествами.
...
В случае, когда требуется специально подчеркнуть различие между кривой и множеством ее точек, последнее называют носителем кривой. Таким образом, носитель кривой (8) является не чем иным, как образом у (/) интервала / при отображении (8).
Вообще говоря, носитель кривой может иметь строение, весьма далекое от интуитивного представления о линии. Например, он может иметь внутренние точки и даже — как показывает пример знаменитой кривой Пеано—заполнять собой квадрат.