Что такое касательная?

[epros]

ewert в сообщении #562635 писал(а):

Я не очень удачно выразился: у этой функции в нуле было бы бесконечно много касательных. Собственно, любая прямая с наклоном, не превосходящим единицы, была бы касательной.

Я не понял, мы про одну функцию говорим? Как я понимаю, $x \sin x$ в нуле сильно похож на $x^2$, так что никаких проблем с касательными (или секущими) у него не предвидится.

ewert в сообщении #562635 писал(а):

Чем похожа?... Разве что тем, что тоже прямая. Вы ведь про наклоны ни слова даже не намекнули.

А причём тут наклоны? Моё эстетическое чувство позволяет называть касательной, например, к $|x|$ в нуле любую прямую с наклоном от $-45^{\circ}$ до $+45^{\circ}$.

[ewert]

epros в сообщении #562648 писал(а):

Я не понял, мы про одну функцию говорим? Как я понимаю, $x \sin x$

Прошу прощения. Про разные; я имел в виду, конечно, функцию $x \sin\frac1x$.

epros в сообщении #562648 писал(а):

Моё эстетическое чувство позволяет называть касательной, например, к $|x|$ в нуле любую прямую с наклоном от $-45^{\circ}$ до $+45^{\circ}$.

Эстетическое чувство, может, и позволяет, но Ваше определение -- нет. Ни одна из этих прямых (кроме двух крайних) не имеет вообще точек пересечения.

[Oleg Zubelevich]

Профессор Снэйп в сообщении #562554 писал(а):

Возник такой методический вопрос: считать ли прямую $y = 0$ касательной к графику функции $y = | x |$ в точке $(0,0)$.

где-то в другой ветке, спрашивали как Профессор Снэйп создает такие популярные темы. Учитесь! Профессор, вообще-то есть определение кривой и определение касательной, если в них заглянуть...
Касательной к кривой $x(t),y(t)$ в точке $(x(t_0),y(t_0))$ называется прямая заданная уравнением $X(\xi)=x(t_0)+\dot x(t_0)\xi,\quad Y(\xi)=y(t_0)+\dot y(t_0)\xi,\quad \xi\in\mathbb{R}$ естессна это определение подразумевает гладкость функций $x,y$ и что $(\dot x(t_0),\dot y(t_0))\ne 0$. Это определение корректно: при любой параметризации данной кривой такой, что $(\dot x,\dot y)\ne 0$ получается одна и таже прямая, и эта прямая не зависит от выбора координат $xy$
Задача: доказать, что кривая $y=|x|$ не допускает указанной параметризации в окрестности точки $(0,0)$

-- Вс апр 22, 2012 14:40:04 --

Профессор Снэйп в сообщении #562583 писал(а):

Пусть $C \subseteq \mathbb{R}^n$ - некоторое множество, являющееся "кривой" (что это в точности значит, определить, конечно, проблематично). И пусть $r_0 \in C$. Пусть теперь $l$ - прямая в $\mathbb{R}^n$, содержащая $r_0$. Что означает фраза "$l$ является касательной к $C$ в точке $r_0$"?

это все пишут в стандартных курсах дифференциальной геометрии, проблем нет.
Профессор периодически делает попытки найти противоречие в анализе. Очередная попытка -- незачОт.

[Munin]

epros
Проверьте ваше определение на касательной к прямой линии :-)

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #562714 писал(а):

epros
Проверьте ваше определение на касательной к прямой линии

Ну на прямой-то пройдёт. Правда, сперва надо дать хоть какое-никакое, но определение.

[Munin]

ewert в сообщении #562721 писал(а):

Ну на прямой-то пройдёт.

Не все варианты из увиденных мной в этой теме :-)
Кстати, а как вы считаете, имеет смысл определять касательную к области или её замыканию?

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #562728 писал(а):

как вы считаете, имеет смысл определять касательную к области или её замыканию?

Я скромно так считаю, что касательную следует определять как производную (грубо говоря). Всё остальное -- явная ловля блох.

[epros]

ewert в сообщении #562654 писал(а):

Прошу прощения. Про разные; я имел в виду, конечно, функцию $x \sin\frac1x$.

А, ну для такой функции я согласен любую прямую считать касательной в нуле.

ewert в сообщении #562654 писал(а):

Эстетическое чувство, может, и позволяет, но Ваше определение -- нет. Ни одна из этих прямых (кроме двух крайних) не имеет вообще точек пересечения.

Почему же? Если взять прямую $y=\varepsilon$, то она будет 1) секущей, 2) при достаточно малом $\varepsilon$ очень похожа на касательную. Конечно, среди множества таких секущих в строгом смысле не будет прямой $y=0$, однако нормальному человеку, в отличие от «чистого математика», и «достаточно большого сходства» наверняка хватит.

[ewert]

epros в сообщении #562761 писал(а):

А, ну для такой функции я согласен любую прямую считать касательной в нуле.

И напрасно. Даже не говоря о том, что (в Вашем понимании) не совсем любую -- даже и при этом никто ни одну прямую касательной считать тут не будет. Ибо касательные интересны вовсе не из праздного любопытства, а из сугубо практических надобностей.

epros в сообщении #562761 писал(а):

Почему же? Если взять прямую $y=\varepsilon$, то она будет 1) секущей,

Не будет, ни фига она не сечёт. Да и не она одна, кажется...

[epros]

ewert в сообщении #562766 писал(а):

epros в сообщении #562761 писал(а):

Почему же? Если взять прямую $y=\varepsilon$, то она будет 1) секущей,

Не будет, ни фига она не сечёт. Да и не она одна, кажется...

$(-\varepsilon,+\varepsilon)$ и $(+\varepsilon,+\varepsilon)$ - точки пересечения с линией $y=|x|$.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #562698 писал(а):

Касательной к кривой $x(t),y(t)$ в точке $(x(t_0),y(t_0))$ называется прямая заданная уравнением $X(\xi)=x(t_0)+\dot x(t_0)\xi,\quad Y(\xi)=y(t_0)+\dot y(t_0)\xi,\quad \xi\in\mathbb{R}$ естессна это определение подразумевает гладкость функций $x,y$ и что $(\dot x(t_0),\dot y(t_0))\ne 0$.

По-Вашему касательная определена только для гладких кривых?

Кстати, вопрос "что такое кривая?" гораздо сложнее вопроса "что такое касательная?" :)

[ewert]

Padawan в сообщении #562799 писал(а):

По-Вашему касательная определена только для гладких кривых?

В общем да. Зачем она для других-то?...

Padawan в сообщении #562799 писал(а):

Кстати, вопрос "что такое кривая?"

-- вообще не вопрос. Это нечто непрерывно так параметризуемое.

[Joker_vD]

ewert
Вообще-то в алгебраической геометрии спокойно определяют касательные в особых точках кривой.

[Padawan]

ewert в сообщении #562821 писал(а):

Padawan в сообщении #562799 писал(а):

По-Вашему касательная определена только для гладких кривых?

В общем да. Зачем она для других-то?...

Вот Вам не гладкая кривая

Профессор Снэйп в сообщении #562573 писал(а):

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin (1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} $$

В точке $x=0$ для нее не определена касательная?

Вообще-то, гладкая кривая -- это такая кривая, которая в каждой своей точке имеет касательную, непрерывно вращающуюся при движении по кривой. То есть уже в самом определении подразумевается, что касательную могут иметь и не гладкие кривые.

ewert в сообщении #562821 писал(а):

Padawan в сообщении #562799 писал(а):

Кстати, вопрос "что такое кривая?"

-- вообще не вопрос. Это нечто непрерывно так параметризуемое.

То есть кривая -- это просто непрерывное отображение отрезка? Или класс эквивалентных отображений? Или образ отрезка при таком отображении? Мутное это дело... Можно просто сказать: кривая -- это непрерывный и взаимно-однозначный образ отрезка. Но это очень частный случай кривой. А, например, две непересекающиеся окружности -- это кривая или нет?

[ewert]

Padawan в сообщении #562850 писал(а):

А, например, две непересекающиеся окружности -- это кривая или нет?

Нет, это не кривая. Это схоластика.

Padawan в сообщении #562850 писал(а):

В точке $x=0$ для нее не определена касательная?

Как Вашей душеньке будет угодно.

Вообще-то касательная -- это всего-навсего то, что в первом приближении совпадает с кривой. А уж марафет на неё какой угодно можно наводить.