Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #584590 писал(а):

Теорема 3 доказывает наличие нулевой строки для любой ПСВ, но это
при наличии 1 в составе ПСВ.
Но в последовательности вычетов после $r $ шагов единицы нет.

Спасибо за замечание! Думаю над его устранением!

[vicvolf]

Следствие 2 (Теоремы 3)
Треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа: $2, 3,…p_r$ и далее подпоследовательность натуральных чисел ПСВ$_M$, начиная с простого числа $p_{r+1}$, будет содержать строку, состоящую из одних нулей.
Доказательство.
В этом случае, подпоследовательность натуральных чисел в основании треугольника Гильбрайта, начиная с простого числа $p_{r+1}$ полностью совпадает с ПСВ$_M$. Поэтому первые и последующие разности в Треугольнике Гильбрайта, с номерами больше r, полностью совпадают с аналогичными разностями в треугольнике Гильбрайта с основанием ПСВ$_M$, а следовательно, и со строкой разностей, содержащей нули ч.т.д.

В качестве примера на рис.4 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием: 2, 3, 5 и далее ПСВ$_{90}$ $(M=90=2*3^2*5)$

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2
1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
1 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2
1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рис.4 Треугольник Гильбрайта с основанием: 2, 3, 5 и далее ПСВ$_{90}$

[vorvalm]

Да, действительно, вычеты любых ПСВ имеют нулевую строку.
Это связано с симметричностью разностей вычетов ПСВ..
Но тогда возникает другой вопрос.
А какой смысл использовать ПСВ, если они совершенно не влияют
на сходимость ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #585267 писал(а):

А какой смысл использовать ПСВ, если они совершенно не влияют на сходимость ?

Например, я исследую сходимость треугольника Гильбрайта, когда в основании его находится подпоследовательность решета Эратосфена. Без учета свойств ПСВ здесь не обойтись.

[vorvalm]

Да, хотя ПСВ и не влияет на сходимость, но то, что в первой ПСВ есть интервал простых чисел
$(p_{r+1},p^2_{r+1})$, намного увеличивает общий интервал $(2,p^2_{r+1})$
Это означает, что с ростом шагов $r$ этот интервал растет неограничено быстрее , чем $r,$
что подтверждает сходимость простых чисел на любом заданном интервале, т.е. до $\infty.$

[vicvolf]

Да, теорема 4 имеет интересное следствие.

Следствие
Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится любое, наперед заданное число последовательных простых чисел: $2, 3,…p_n$ сходится.
Доказательство
На основании теоремы 4 треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого, наперед заданного, числа шагов решета Эратосфена - n, сходится.
Так как последовательные простые числа: $2, 3,…p_n$ входят в подпоследовательность, полученную после n шагов решета Эратосфена, следовательно, для любого, наперед заданного числа n, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится простые числа: $2, 3,…p_n$, сходится ч.т.д.

[vicvolf]

Однако, не все так просто - надо еще подумать!

[vorvalm]

Безусловно.
И прежде всего надо отредактировать теорему 4.
Мне кажется, она несколько перегружена.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #585691 писал(а):

Безусловно.
И прежде всего надо отредактировать теорему 4.
Мне кажется, она несколько перегружена.

Да. я ее уже редактировал.

Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство
Проведем доказательство теоремы 4 методом математической индукции. Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность решета Эратосфена при r=1:

2 3 5 7 и далее вычеты ПСВ по модулю $M=2^n$
1 2 2 …….
1 0 …….
Далее в строках треугольника будет первый элемент - 1, а остальные 0, поэтому треугольник Гильбрайта сходится.
Предположим, что треугольник Гильбрайта сходится для r=k и покажем, что в этом случае он будет сходиться при r=k+1.
Действительно, если треугольник сходится для r=k, т.е с подпоследовательностью, полученной после k шагов решета Эратосфена, то минимальное невычеркнутое число в этой подпоследовательности в основании треугольника Гильбрайта будет простое число $p_{k+1}$ [3], при котором согласно предположению треугольник сходится. Далее за $p_{k+1}$, в основании треугольника Гильбрайта при r=k+1 (после k+1 шага решета Эратосфена) следует ПСВM, начиная с $p_{k+2}$. Поэтому, на основании следствия 2 теоремы 3, треугольник Гильбрайта при r=k+1 (после k+1 шага решета Эратосфена) сходится ч.т.д.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #581172 писал(а):

Теорема 3. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится ПСВ$_M$ содержит строку разностей, состоящую из одних нулей.

Неверно для $M=21$.

(Оффтоп)

Тут, для обнаружения зацикливания достаточно посчитать конечное число строк разностей - 1-я строка ведь периодична, значит все последующие будут периодичны (если охота - можно мысленно склеить строку 1-х разностей в "окружность" и строить "цилиндр" абсолютных разностей.) Число вариантов последовательностей разностей на периоде ("окружностей") конечно, значит, при вычислении либо наткнемся на нулевую строку, либо на зацикливание.
Можно вспомнить статью Арнольда о "сложности" конечных последовательностей нулей и единиц - там тоже аттракторы были либо просто точки, либо циклы

[vorvalm]

Мы рассматриваем ПСВ по модулю $p\#.$
Модуль 21 не является $p\#.$

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #585782 писал(а):

Мы рассматриваем ПСВ по модулю $p\#.$
Модуль 21 не является $p\#.$

В доказательстве не используется тот факт, что $M=p\#$. Значит, либо доказательство должно быть верным для всех $M$, либо оно кривое.

vicvolf в сообщении #581172 писал(а):

Доказательство
На основании теоремы 2 в первой строке треугольника Гильбрайта разности расположены симметрично относительно значения 0,5М.. Во второй строке треугольника Гильбрайта находятся модули разностей элементов первой строки, поэтому они расположены также симметрично относительно середины строки. Аналогично симметрично относительно середины строк, на основании вышесказанного, будут расположены элементы других строк. В предпоследней строке с номером φ(M)-1 будет только два равных (симметричных) элемента. Поэтому в последней φ(M) строке будет находиться 0. Если одинаковые элементы будут находиться раньше предпоследней строки, то в следующей строке уже будут находиться одни нули ч.т.д.

Покажите мне, где тут использовали тот факт, что $M=p\#$. Или это старая версия и где-то есть новая?

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #585751 писал(а):

vicvolf в сообщении #581172 писал(а):

Теорема 3. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится ПСВ$_M$ содержит строку разностей, состоящую из одних нулей.

Неверно для $M=21$.

Все верно!
1 2 4 5 8 10 11 13 16 17 19 20
1 2 1 3 2 1 2 3 1 2 1
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
0 1 1 0 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
1 1 1 1
0 0 0

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #585830 писал(а):

Все верно!

Блин Не то число написал: $M=14$:

$$ \begin{tabular}{cccccccccccccc} 1 & 3 & 5 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 & 19 & 23 & 25 & 27 & 29 & 31 \\ 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{tabular} $$

6-я строка - циклический сдвиг 4-й. Значит зацикливается.

[vorvalm]

$\varphi(14)=6.$