Математическое ожидание максимума независимых с.в.

[marishka82]

Здравствуйте, в ходе решения более крупной задачи возникла необходимость вычислить математические ожидания максимума независимых случайных величин, т.е.
$X_1,...,X_n$ - независимые случайные величины, требуется найти $M(\max\{X_1,...,X_n\})$
для основных законов распределения (Бернули, биномиального, Пуассона, геометрического, нормального, показательного и равномерного). Очень прошу вас помочь советом или ссылкой, где это можно узнать. Наверняка задача уже была решена миллион раз, однако я поискала в интернете и ничего подходящего не нашла, а попытки самостоятельно решить задачу зашли в тупик, поскольку предметом долго не занималась и навыки постепенно покинули мое слабоумное существо.

Заранее спасибо,
Марина.

[Хорхе]

Довольно легко вывести формулу для функции распределения максимума независимых, если есть функция распределения одной величины. Для Пуассона и для биномиального ничего хорошего, чувствую, не выйдет, а для остальных математическое ожидание должно легко считаться.

[Александрович]

marishka82 в сообщении #540004 писал(а):

Очень прошу вас помочь советом или ссылкой, где это можно узнать.

Е.С.Венцель, Л.А.Овчаров "Теория вероятностей и её инженерные приложения" 2000г.
Закон распределения максимальной из n независимых случайных величин. стр. 377.

[marishka82]

Спасибо, мальчики, за ответы. Т.е. все таки необходимо в явном виде найти функцию распределения максимума? Какими-то косвенными способами найти математическое ожидание не получится?

[Александрович]

marishka82 в сообщении #540086 писал(а):

Т.е. все таки необходимо в явном виде найти функцию распределения максимума?

А в чём проблема, если функция распределения случайной величины вам известна?

[--mS--]

marishka82 в сообщении #540086 писал(а):

Какими-то косвенными способами найти математическое ожидание не получится?

Нет, не получится.

Александрович в сообщении #540088 писал(а):

А в чём проблема, если функция распределения случайной величины вам известна?

Думаю, никто не будет против, если Вы покажете здесь отсутствие проблем при нахождении, например, математического ожидания максимума $n$ независимых случайных величин с распределением Пуассона (даже одним и тем же). Функция распределения, полагаю, известна.

[Александрович]

--mS-- в сообщении #540169 писал(а):

marishka82 в сообщении #540086 писал(а):

Думаю, никто не будет против, если Вы покажете здесь отсутствие проблем при нахождении, например, математического ожидания максимума $n$ независимых случайных величин с распределением Пуассона (даже одним и тем же). Функция распределения, полагаю, известна.

Укажите параметр распределения и значение $n$.

[ИСН]

$\lambda=1,\,n=1000$

[Александрович]

ИСН в сообщении #540195 писал(а):

$\lambda=1,\,n=1000$

5,6

[Хорхе]

(Оффтоп)

- Штурман, приборы!
- 16!
- Что 16?
- А что приборы?

Расскажите же нам, как Вы это нашли.

[marishka82]

Хорхе писал(а):

Расскажите же нам, как Вы это нашли.

Возможно воспользовались одним из замечательных продуктов WolframResearch? Но меня к сожалению мало интересуют числовые значения математических ожиданий, мне нужно найти аналитическое выражение для нескольких классов распределений.

Александрович, а что в той книжке, которую вы рекомендовали есть? Там объясняется как найти функцию распределия max{X1,...,Xn}?

[--mS--]

А в чём проблема искать функцию распределения максимума? Если величины независимы и имеют одно и то же распределение с функцией распределения $F(x)$, то

$$\mathsf P(\max(X_1,\ldots, X_n) < x)=\mathsf P(X_1 < x, \ldots, X_n < x)= \mathsf P(X_1 <x)\,\cdot\,\ldots\,\cdot\, \mathsf P(X_n<x) = F^n(x).$$

Да и всё равно не 5,6.

[ИСН]

Проблема в том, что функция невыразима. А численно-то и я умею.

[PAV]

marishka82
фамильярный тон на форуме не поощряется.

По сути вопроса: Вам может помочь книга В.Б. Невзорова "Рекорды. Математическая теория". Там написано и то, как считать распределения порядковых статистик (частным случаем которых является максимум), и приведены явные формулы для моментов.

Однако красивых формул для них может не оказаться. В частности, в соответствующей главе утверждается, что для случая нормального распределения моменты представляются через элементарные функции только для $n\le 7$. Правда, здесь речь идет, видимо, о произвольных моментах для различных порядковых статистик. В частном случае первого момента и максимума, возможно, дело обстоит чуть лучше. В качестве примера в книге приведено явное значение математического ожидания максимума из пяти величин, имеющих стандартное нормальное распределение:

$$ E\max\{X_1,X_2,X_3,X_4,X_5\}=\frac{5}{4\pi^{1/2}}+\frac{15\arcsin(1/3)}{2\pi^{3/2}} $$

[ИСН]

PAV в сообщении #540294 писал(а):

представляются через элементарные функции только для $n\le 7$

Ушёл думать, как такое вообще может быть.