Математическое ожидание максимума независимых с.в.

[marishka82]

--mS-- в сообщении #540620 писал(а):

поскольку расстояния между соседними порядковыми статистиками суть независимые в совокупности случайные величины с показательным распределением $X_{(1)}\sim E_{n\alpha}$, $X_{(2)}-X_{(1)}\sim E_{(n-1)\alpha}$, $X_{(k+1)}-X_{(k)}\sim E_{(n-k)\alpha}$. Поэтому $\mathsf EX_{(n)}=\frac{1}{\alpha}\left(\frac1n+\frac{1}{n-1}+\ldots+\frac{1}{2}+1\right)$. Дисперсия - соответственно сумма дисперсий.

Простите, вот этот участок мне не понятен, не могли бы Вы более детально объяснить, что тут происходит?

-- Вс фев 19, 2012 23:37:56 --

И что такое $\alpha$? Это коэффициент из плотности показательного распределения?

[--mS--]

marishka82 в сообщении #540731 писал(а):

Простите, вот этот участок мне не понятен, не могли бы Вы более детально объяснить, что тут происходит?
И что такое $\alpha$? Это коэффициент из плотности показательного распределения?

Складываются математические ожидания соответствующих показательных распределений, т.к. $X_{(n)}=(X_{(n)}-X_{(n-1)})+(X_{(n-1)}-X_{(n-2)})+\ldots+(X_{(2)}-X_{(1)})+X_{(1)}$ - сумма показательно распределённых с указанными параметрами случайных величин. Независимых, к тому же. Давайте конкретно, что именно непонятно.

Да, альфа - параметр показательного распределения (величина, обратная к его матожиданию).

[marishka82]

--mS-- в сообщении #540760 писал(а):

Складываются математические ожидания соответствующих показательных распределений, т.к. $X_{(n)}=(X_{(n)}-X_{(n-1)})+(X_{(n-1)}-X_{(n-2)})+\ldots+(X_{(2)}-X_{(1)})+X_{(1)}$ - сумма показательно распределённых с указанными параметрами случайных величин. Независимых, к тому же. Давайте конкретно, что именно непонятно.

Да, альфа - параметр показательного распределения (величина, обратная к его матожиданию).

Спасибо, теперь ясно.

[Александрович]

С равномерным распределением нет проблем?

[--mS--]

Нет, с равномерным распределением проблем нет. Предвосхищая следующий вопрос: с распределением Бернулли - тоже нет.

[marishka82]

marishka82 в сообщении #540731 писал(а):

--mS-- в сообщении #540620 писал(а):

поскольку расстояния между соседними порядковыми статистиками суть независимые в совокупности случайные величины с показательным распределением $X_{(1)}\sim E_{n\alpha}$, $X_{(2)}-X_{(1)}\sim E_{(n-1)\alpha}$, $X_{(k+1)}-X_{(k)}\sim E_{(n-k)\alpha}$. Поэтому $\mathsf EX_{(n)}=\frac{1}{\alpha}\left(\frac1n+\frac{1}{n-1}+\ldots+\frac{1}{2}+1\right)$. Дисперсия - соответственно сумма дисперсий.

Простите, вот этот участок мне не понятен, не могли бы Вы более детально объяснить, что тут происходит?

-- Вс фев 19, 2012 23:37:56 --

И что такое $\alpha$? Это коэффициент из плотности показательного распределения?

Вот еще вопрос, получится ли что-то подобное сделать для случая, когда мы пытаемся вычислить моменты максимума независимых случайных величин, имеющих одинаковое показательное или равномерное распределение, однако помноженных на коэффициенты, т.е.
$Y = \max\{a_1 X_1, \ldots, a_n X_n\}$,
где $X_i$ - независимые одинаково распределенные случайные величины (предполагается показательный или равномерный закон распределения), $a_i$ - числовые константы.
У меня, что-то так сразу вычислить моменты для такой конструкции не получилось :(

[--mS--]

Для равномерно распределённых величин $X_i \sim U(0, a_i)$ распределение максимума считается так же просто, только функцию распределения на каждом из интервалов $(a_{(k)}, \, a_{(k+1)})$ надо отдельно выписывать, потом плотность. Потом матожидание.
Для показательных с разными параметрами фокус как выше уже, вроде как, не пройдёт.

[marishka82]

--mS-- в сообщении #543236 писал(а):

Для равномерно распределённых величин $X_i \sim U(0, a_i)$ распределение максимума считается так же просто, только функцию распределения на каждом из интервалов $(a_{(k)}, \, a_{(k+1)})$ надо отдельно выписывать, потом плотность. Потом матожидание.
Для показательных с разными параметрами фокус как выше уже, вроде как, не пройдёт.

Но ведь придется перебирать все возможные перестановки $a_i$, я ведь не могу сказать какой из множителей $a_i$ соответствует $n$-ой (т.е. максимальной) порядковой статистике. Или я не права? У меня получается, что приходится суммировать всюду не просто по $i = 1,\ldots,n$, а по всем возможным перестановкам $\tau(1),\ldots,\tau(n)$, которых всего $n!$.

[--mS--]

Не поняла. Числа $a_i$ Вам известны? Значит известны распределения $a_iX_i$. Функцию распределения максимума нескольких независимых с.в. с известными функциями распределения написать можете?

[marishka82]

--mS-- в сообщении #543474 писал(а):

Не поняла. Числа $a_i$ Вам известны? Значит известны распределения $a_iX_i$. Функцию распределения максимума нескольких независимых с.в. с известными функциями распределения написать можете?

Да, числа известны. Но ведь, когда Вы записали

--mS-- в сообщении #543474 писал(а):

$X_{(1)}\sim E_{n\alpha}$, $X_{(2)}-X_{(1)}\sim E_{(n-1)\alpha}$, $X_{(k+1)}-X_{(k)}\sim E_{(n-k)\alpha}$.
Поэтому $\mathsf EX_{(n)}=\frac{1}{\alpha}\left(\frac1n+\frac{1}{n-1}+\ldots+\frac{1}{2}+1\right)$

то получается, что мы просто находим математическое ожидание $n$-ой порядковой статистики, и поскольку они у нас упорядочены по возрастанию, то это как раз и есть математическое ожидание $\max\{X_1,\ldots,X_n\}$, и поскольку все эти величины имеют одинаковое распределение, то проблем не возникало. Однако теперь я ищу математическое ожидание величины
$\max\{a_1 X_1,\ldots, a_n X_n\}$, где $a_1, \ldots , a_n$ - числа. Соответственно, снова рассматриваем реализации этих случайных величин и строим порядковые статистики. Однако мне не понятно, какой из коэффициентов $a_1, \ldots , a_n$ будет соответствовать $X_{(n)}$ порядковой статистике? Я так полагаю, это будет даже не какой-то конкретный коэффициент из набора $a_1, \ldots , a_n$, а возможно некоторое хитрое их преобразование?

[--mS--]

Ещё раз: какая разница, какой коэффициент отвечает порядковой статистике? Вы же не спрашивали на предыдущих страницах - как мне найти матожидание, я же не знаю, какой номер у икса, отвечающего последней порядковой статистике?

Во-вторых, зачем Вы приводите рассуждение для максимума выборки из одинаковых показательных распределений, когда мы говорим о равномерных?

Ну и наконец. Давайте конкретно: какое предложение из предыдущего сообщения непонятно:

1) Пусть $X_i$ имеют функцию распределения $F(x)$ - например, как у равномерного на $[0,1]$. Распределения $a_iX_i$ найти можете? Напишите функцию распределения.
2) Функцию распределения максимума нескольких независимых с.в. с известными функциями распределения из предыдущего пункта написать можете?

[marishka82]

--mS-- в сообщении #543560 писал(а):

Ещё раз: какая разница, какой коэффициент отвечает порядковой статистике? Вы же не спрашивали на предыдущих страницах - как мне найти матожидание, я же не знаю, какой номер у икса, отвечающего последней порядковой статистике?

Во-вторых, зачем Вы приводите рассуждение для максимума выборки из одинаковых показательных распределений, когда мы говорим о равномерных?

Ну и наконец. Давайте конкретно: какое предложение из предыдущего сообщения непонятно:

1) Пусть $X_i$ имеют функцию распределения $F(x)$ - например, как у равномерного на $[0,1]$. Распределения $a_iX_i$ найти можете? Напишите функцию распределения.
2) Функцию распределения максимума нескольких независимых с.в. с известными функциями распределения из предыдущего пункта написать можете?

Про показательное распределение я вообще не говорила, я сказала, что они имеют одинаковое распределение. Относительно ваших вопросов. Отвечаю, да, записать подобные вещи я в состоянии.
$Y = \max\{ a_1 X_1, \ldots, a_n X_n \}$ тогда $G(y) = P(a_1 X_1 < y, \ldots, a_n X_n < y) = P(X_1 < y/a_1, \ldots, X_n < y/a_n) = F(y/a_1, \ldots, y/a_n) = \prod_{i=1}^{n}F(y/a_i)$
отсюда

\[ \rho(y) = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} f(y/a_i) \prod_{j=1, j \neq i}^{n} F(y/a_j) \]

Тогда для равномерного распределения получим, что

\[ \rho(y) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\frac{1}{a_i}}{\frac{y}{a_i}} \prod_{j=1}^{n} \frac{y}{a_j} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y^{n-1}}{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n} = \frac{n y^{n-1}}{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n} \]

Далее вычислим математическое ожидание.

\[ E Y = n \int_0^1 y (\frac{y^n}{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n})^{n-1} \frac{n y^{n-1}}{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n} dy = \] \[ n \int_0^1 \frac{n y^{1+(n-1)n + n-1}}{(a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{n-1+1}} dy = \frac{n^2}{(a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{n}} \int_0^1 y^{n^2} dy = \frac{n^2}{(a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{n}} \frac{1}{n^2 + 1} \]

Если я нигде не ошиблась с вычислениями, то получится примерно это. Однако мне так и остается неясным, как сделать тоже самое вашим методом.

[--mS--]

$0 < y/a < 1$ тогда и только тогда, когда $0 < y < a$, где $a>0$. Поэтому и плотность найдена неверно, и тем более матожидание.


В который уже раз предлагаю Вам:
1) написать, какое распределение будет у величины $a_iX_i$, если $X_i$ имеет равномерное распределение на единичном отрезке: выпишите сюда, чему в точности равна $F(y/a_i)$, и при каких $y$.

(Оффтоп)

Остальное скрываю в оффтоп: не ответив который раз на 1-й пункт, Вы снова и снова берётесь за остальные.

2) на каждом из участков $(a_{(k-1)}, a_{(k)})$, где $a_{(1)} \leq \ldots \leq a_{(n)}$, выписать, чему равна функция распределения максимума;
3) на каждом из участков продифференцировать;
4) на каждом из участков проинтегрировать, вычисляя матожидание.

[marishka82]

--mS-- в сообщении #543849 писал(а):

$0 < y/a < 1$ тогда и только тогда, когда $0 < y < a$, где $a>0$. Поэтому и плотность найдена неверно, и тем более матожидание.


В который уже раз предлагаю Вам:
1) написать, какое распределение будет у величины $a_iX_i$, если $X_i$ имеет равномерное распределение на единичном отрезке: выпишите сюда, чему в точности равна $F(y/a_i)$, и при каких $y$.

(Оффтоп)

Остальное скрываю в оффтоп: не ответив который раз на 1-й пункт, Вы снова и снова берётесь за остальные.

2) на каждом из участков $(a_{(k-1)}, a_{(k)})$, где $a_{(1)} \leq \ldots \leq a_{(n)}$, выписать, чему равна функция распределения максимума;
3) на каждом из участков продифференцировать;
4) на каждом из участков проинтегрировать, вычисляя матожидание.

В чем конкретно ошибка? Зачем отвечать мне вопросами?
$F_{a X}(y) = P(a X <y) = F_{X}(y/a)$
Получаем, что

\[ F_{a X}(y) = \begin{cases} y/a, &y \in [0,1]; \\ 0, &\text{ иначе}. \end{cases} \]

Отсюда плотность

\[ \rho_{a X}(y) = \begin{cases} \frac{1}{a}, &y \in [0,1]; \\ 0, &\text{ иначе}. \end{cases} \]

Цитата:

2) на каждом из участков $(a_{(k-1)}, a_{(k)})$, где $a_{(1)} \leq \ldots \leq a_{(n)}$, выписать, чему равна функция распределения максимума;

Для того, чтобы все это выписать, нужно все возможные варианты перебрать взаимного расположения коэффициентов $a_{i}, i = 1,\ldots,n$. Я ведь не знаю, какие коэффициенты куда встанут при их упорядочении.

В предыдущем посте я не отбросила участки на которых функция распределения и плотность обнулются, видимо получится нечто похожее на следующее

\[ \rho(y) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\frac{1}{a_i}}{\frac{y}{a_i}} \prod_{j=1}^{n} \frac{y}{a_j} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y^{n-1}}{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n} = \frac{n y^{n-1}}{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n}, y \in [0, \min\{a_1,...,a_n\}] \]

Далее вычислим математическое ожидание.

\[ E Y = n \int_0^{\min\{a_1,...,a_n\}} y (\frac{y^n}{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n})^{n-1} \frac{n y^{n-1}}{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n} dy = \] \[ = n \int_0^{\min\{a_1,...,a_n\}} \frac{n y^{1+(n-1)n + n-1}}{(a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{n-1+1}} dy =\] \[ = \frac{n^2}{(a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{n}} \int_0^{\min\{a_1,...,a_n\}} y^{n^2} dy = \frac{n^2}{(a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{n}} \frac{(\min\{a_1,...,a_n\})^{n^2}}{n^2 + 1} \]

Только в этом ошибка или есть что-то более серьезное?

[--mS--]

marishka82 в сообщении #544006 писал(а):

--mS-- в сообщении #543849 писал(а):

$0 < y/a < 1$ тогда и только тогда, когда $0 < y < a$, где $a>0$. Поэтому и плотность найдена неверно, и тем более матожидание.


В который уже раз предлагаю Вам:
1) написать, какое распределение будет у величины $a_iX_i$, если $X_i$ имеет равномерное распределение на единичном отрезке: выпишите сюда, чему в точности равна $F(y/a_i)$, и при каких $y$.

В чем конкретно ошибка? Зачем отвечать мне вопросами?
$F_{a X}(y) = P(a X <y) = F_{X}(y/a)$
Получаем, что

\[ F_{a X}(y) = \begin{cases} y/a, &y \in [0,1]; \\ 0, &\text{ иначе}. \end{cases} \]

Отсюда плотность

\[ \rho_{a X}(y) = \begin{cases} \frac{1}{a}, &y \in [0,1]; \\ 0, &\text{ иначе}. \end{cases} \]

Неверно. Первая - не функция распределения, вторая - не плотность. Вообще никакого распределения.

А чем Вам отвечать? Нарисовать ответ? Так уж не один раз нарисован полный порядок действий, но Вы не можете реализовать даже первый шаг. Причем что должно получиться в результате первого шага, ТОЖЕ уже было написано. В чём ошибка - написано в самой первой строчке. Могу ещё раз повторить:

$0 < y/a < 1$ тогда и только тогда, когда $0 < y < a$, где $a>0$. Поэтому и плотность найдена неверно, и тем более матожидание.