Марафон головоломок! [Конкурс с призами]

[Zealint]

photon в сообщении #465999 писал(а):

Zealint в сообщении #465995 писал(а):

(Не верно д-во минимальности)

В правом нижнем углу можно поставить коня так, чтобы он бил две клетки. Конь в позиции f3.

(Ой, промахнулся, должно быть)

Теперь верно : )

[Lyosha]

(photon)

photon в сообщении #465964 писал(а):

Тогда $k$ и $7-k$ должны быть одной четности

Почему так?Я бы написал равны.

[photon]

Lyosha в сообщении #466008 писал(а):

(photon)

photon в сообщении #465964 писал(а):

Тогда $k$ и $7-k$ должны быть одной четности

Почему так?Я бы написал равны.

(Оффтоп)

да. А разве это противоречит утверждению об одинаковости чётности? Меня в данном случае точное равенство не интересует - мне достаточно рассмотрения чётности

[lim0n]

(Решение Задачи №12)

"Мужик на воз - коню тяжелее"? Или, скорее всего, "Баба с возу - кобыле легче", но чем отображена инверсия, не понял.

Задача №14 (простая)
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Zealint тут]

Доказать, что для любого натурального $n$ существует кратное ему число, состоящее из одних нулей и единиц.

[photon]

lim0n в сообщении #466080 писал(а):

(Решение Задачи №12)

"Мужик на воз - коню тяжелее"? Или, скорее всего, "Баба с возу - кобыле легче", но чем отображена инверсия, не понял.

Правильно

(Оффтоп)

А кто сказал, что все головоломки должны быть строгими в математическом плане? - просто перевертыш в картинках, этакий кубрай

[Zealint]

(Решение задачи №14)

Будем выписывать последовательности чисел

$1$

$11$

$111$

$\underbrace{11\ldots1}_{n}$

Если одно из них делится на $n$, то доказано.
Если нет, то найдутся два числа из этой последовательности,
которые имеют одинаковый остаток при делении на $n$.
Когда вычтем из большего меньшее, получим какое-то такое число
$1\ldots10\ldots0$ из нулей и единиц которое делится на $n$

Задача №15
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил photon тут]

Есть 6 спичек без головок. Уложить их на столе так, чтобы каждая из них касалась всех остальных.

[photon]

(Решение задачи № 15)

и тогда логично
Задача №16
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Zealint тут]

Решить задачу № 15 для 7 спичек или доказать, что это невозможно

[Zealint]

photon в сообщении #466113 писал(а):

(Решение задачи № 15)

Верно.

[Dan B-Yallay]

(Вопрос к задаче 16)

Попробовал уложить 8 спичек вместо 7-ми:

$$\begin{picture}(250,100) \multiput(0,20)(5,5){3}{\line(1,0){200}} \multiput(0,20)(100,0){3}{\line(1,1){10}} \multiput(0,0)(100,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(0,0)(0,10){3}{\line(1,0){200}} \multiput(200,0)(5,5){3}{\line(0,1){20}} \multiput(200,0)(0,10){3}{\line(1,1){10}} \end{picture}$$

Касаются ли друг друга диагональные спички в одном слое? A диагональные в разных слоях? Как вообще определяется "касание"?

[photon]

Dan B-Yallay в сообщении #466289 писал(а):

(Вопрос к задаче 16)

Попробовал уложить 8 вместо 7-ми:

$$\begin{picture}(250,100) \multiput(0,20)(5,5){3}{\line(1,0){200}} \multiput(0,20)(100,0){3}{\line(1,1){10}} \multiput(0,0)(100,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(0,0)(0,10){3}{\line(1,0){200}} \multiput(200,0)(5,5){3}{\line(0,1){20}} \multiput(200,0)(0,10){3}{\line(1,1){10}} \end{picture}$$

Касаются ли друг друга диагональные спички в одном слое? A диагональные в разных слоях? Как вообще определяется "касание"?

Занумерую спички, начиная с левой верхней ближней к нам по часовой стрелке 1-4, а правые, аналогично 5-8. Для реальных объектов, если есть касание по всей грани, скажем 5 и 7, то 6 и 8 уже не соприкасаются, и наоборот. Так что "нет" - это не решение, ввиду того, что точка касания тут не является точкой в математическом смысле - тут у нее есть некий (малый) размер. Или, того хуже - спички могут не быть такими угловато-квадратными. Давайте доопределим, чтобы не было разночтений и разномыслий: спички - цилиндры

[Zealint]

(Решение задачи №16)

photon в tml#p466293]сообщении #466293 писал(а):

Давайте доопределим, чтобы не было разночтений и разномыслий: спички - цилиндры

Вам нужно было сразу сказать, что это сигареты, а не спички, если знали решение.
Вот ответ из той же книжки : )

Задача №17
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил photon тут]

В тёмной комнате стоит чёрный стол. На столе лежат 500 фишек. Каждая фишка с одной стороны красная, с другой - белая. Известно, что 120 фишек из 500 точно лежат красной стороной вверх, а остальные - белой. Разрешается только двигать фишки по столу и переворачивать их. Требуется разбить множество фишек на две кучи так, что в обеих кучах было поровну красных фишек.

[photon]

Zealint в сообщении #466305 писал(а):

(Решение задачи №16)

Верно

(Оффтоп)

К сожалению, маловато пока что оригинальных новых задач :( - вы ведь тоже не придумываете, а находите или вспоминаете задачи

[Zealint]

photon в сообщении #466322 писал(а):

(Оффтоп)

К сожалению, маловато пока что оригинальных новых задач :( - вы ведь тоже не придумываете, а находите или вспоминаете задачи

(Оффтоп)

Да, я беру задачи из книжки, вспоминаю из детства, либо переформулирую что-нибудь известное в форме головоломки. Очень трудно не перейти за линию между трудной задачей и головоломкой.

Вообще, я сегодня утром придумал такую вещь: создать параллельно тему, в которой каждая из решённых здесь головоломок будет названа "баяном", если кто-либо даст ссылку на такую же или похожую задачу, и чтобы из этой ссылки было понятно, что задача достаточно старая. Возможно, к сентябрю появится "не баян", который в список не попадёт.

[photon]

(Решение задачи №17)

Откладываем во вторую кучку $120$ фишек. Пусть $x$ из них красные, тогда $120-x$ - белые, а в оставшейся кучке будет $120-x$ красных и $380-(120-x)$ белых. Переворачиваем полностью вторую кучку и получаем в обоих кучках по $120-x$ красных фишек

Задача №18
${\color[HTML]{00C234} \boxed{\text{РЕШЕНО}}}$ [Первым правильно решил Clever_Unior тут]

Существуют ли два квадратных трехчлена $ax^2+bx+c$ и $(a+1)x^2+(b+1)x+(c+1)$ с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

(баян)

думаю, что загадки про Мишеля Фуко и бабу с возу вы не найдете

[VAL]

photon в сообщении #466328 писал(а):

Задача № 18

Существуют ли два квадратных трехчлена $ax^2+bx+c$ и $(a+1)x^2+(b+1)x+(c+1)$ с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?

(Оффтоп)

$a=-1/2, \ b=1/2, \ c=0$. С меня головоломка?