Формула преобразований Лоренца?

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #458626 писал(а):

Или вызывает затруднения у обучающихся, обучающих, да и вообще – у профессионалов?

У обучающихся - вызывает. По этой причине я и рекомендовал обойти. У обучающих и у профессионалов - не вызывает. Но вы явно не из этих категорий.

С.Мальцев в сообщении #458626 писал(а):

Хм – восстановить читателю. Причем, по собственному желанию и разумению.

Нет. Если дано упражнение - его надо выполнить не "по собственному желанию и разумению", а правильно. Иначе вы материала не усвоите.

С.Мальцев в сообщении #458626 писал(а):

В моем представлении, всё упирается в распространение света. И выбор тут невелик:
1. Баллистическое распространение Ритца.
2. Каким-то непостижимым образом свет действительно распространяется равномерно во всех направлениях в каждой из ИСО.
3. Свет распространяется аналогично звуку.

Всё упирается в преобразование координат. Из трёх перечисленных вами вариантов - второй, только безо всяких "непостижимых образов". Надо было СТО выучить, а вы её не выучили, вот и бредите.

С.Мальцев в сообщении #458626 писал(а):

Второй случай порождает такие химеры как две (и более, по количеству ИСО) сферы распространения света.

Нет. Не порождает. Но для этого надо научиться понимать пространственно-временные диаграммы, чего вы так и не научились.

С.Мальцев в сообщении #458626 писал(а):

Кроме того, в таком случае, отпадает необходимость в эффектах СТО, что также не соответствует наблюдениям.

Не отпадает, а именно к ним и приводит.

[С.Мальцев]

Someone в сообщении #458652 писал(а):

Преобразование Лоренца полностью выписано в самом конце § 3 ($x,y,z,t$ - координаты события в "покоящейся" системе, $\xi,\eta,\zeta,\tau$ - в движущейся):

Эйнштейн писал(а):

\begin{gather*}\tau=\beta\left(t-\frac v{V^2}x\right),\\ \xi=\beta(x-vt),\\ \eta=y,\ \ \zeta=z,\end{gather*}

где

$$\beta=\frac 1{\sqrt{1-(v/V)^2}}.$$

А теперь расположите первую формулу на одной стороне листа в конце, а остальные на другой, и она не станет такой очевидной. Мой промах - невнимательность.

Munin в сообщении #458657 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #458626 писал(а):

Кроме того, в таком случае, отпадает необходимость в эффектах СТО, что также не соответствует наблюдениям.

Не отпадает, а именно к ним и приводит.

Странно. Если свет и так, сам по себе, в каждой из ИСО равномерно распространяется во все стороны, то что там делать эффектам СТО?

myhand в сообщении #458636 писал(а):

опишите, пожалуйста, буковки, которые у Вас входят в формулу

$$ t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{vx'}{c^2}=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Что конкретно они обозначают?

В моем понимании – это два варианта одной и той же формулы преобразований времени, только предназначенные для решения различных задач.

Если Вас интересуют показания различных часов ИСО S', движущихся относительно одного покоящегося наблюдателя в ИСО S, то удобнее использовать формулу:

$$ t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

где при фиксированном значении $x$ (точке наблюдения в ИСО S), подставляя отсчеты часов $t$ наблюдателя в ИСО S, получаете показания $t'$ тех часов ИСО S', которые в данный момент находятся напротив наблюдателя.

Если Вас интересуют показания одних и тех же часов, находящихся в точке $x'$ движущейся ИСО S' в различные моменты времени $t$, прошедшего по часам наблюдателей покоящейся ИСО S, то удобнее использовать формулу:

$$ t'=t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{vx'}{c^2}$$

где подставляя различные значения $t$ при фиксированном значении $x'$, напрямую получаете показания времени $t'$ для данных часов в ИСО S'.

Или другой вариант – если Вас интересуют показания различных часов в движущейся ИСО S' в один и тот же момент времени $t$ покоящейся ИСО, подставляя различные значения $x'$, получаете показания времени $t'$ соответствующих часов.

[myhand]

С.Мальцев в сообщении #458722 писал(а):

В моем понимании – это два варианта одной и той же формулы преобразований времени, только предназначенные для решения различных задач.

Нет никаких отдельных "преобразований времени". Так что результат будет зависеть от того, как Вы преобразуете пространственные координаты вообще и от смысла буковок в формуле - в частности.

С.Мальцев в сообщении #458722 писал(а):

Если Вас интересуют

Меня интересует четкий ответ на поставленный мной здесь вопрос. Если Вы, конечно, будете продолжать утверждать, что "это все-таки равенство".

Если все, что Вы хотите сказать - можно взять преобразования Лоренца http://dxdy.ru/post457070.html#p457070 и переписать эту пару соотношений (на $y$ и $z$ внимание не обращаем) тождественным образом - это трюизм. Но Вы не получите ничего нового.

[ИгорЪ]

С.Мальцев
Вы когда нибудь изучали преобразования вращения в двумерном евклидовом пространстве? Там все просто и понятно. Так вот преобразования Лоренца - это просто вращения в псевдоевклидовом пространстве. Все проблемы с форумчанами отсюда. Подумайте или вспомните об этом, если вы не сумасшедший, конечно.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #458722 писал(а):

Мой промах - невнимательность.

Ну вот поэтому детям и не рекомендуют читать умные научные статьи. Серьёзные читатели таких промахов не допускают.

С.Мальцев в сообщении #458722 писал(а):

Странно. Если свет и так, сам по себе, в каждой из ИСО равномерно распространяется во все стороны, то что там делать эффектам СТО?

В частности, обеспечивать именно такое распространение света. Собственно, почти из него одного можно преобразования Лоренца и вывести.

С.Мальцев в сообщении #458722 писал(а):

одной и той же формулы преобразований времени

Не бывает формул преобразования времени. Есть формулы преобразований Лоренца - они преобразуют одновременно и пространственные и временные координаты, и иначе употребляться не могут. Есть формула замедления времени, которая формулой преобразования абсолютно никак не является, и например, обращена быть не может. И кстати, эти формулы между собой разные, хотя вторая из первой может быть выведена.

ИгорЪ в сообщении #458834 писал(а):

Вы когда нибудь изучали преобразования вращения в двумерном евклидовом пространстве?

Очевидно, нет. Давайте попробуем его заставить...

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #458657 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #458626 писал(а):

В моем представлении, всё упирается в распространение света. И выбор тут невелик:
1. Баллистическое распространение Ритца.
2. Каким-то непостижимым образом свет действительно распространяется равномерно во всех направлениях в каждой из ИСО.
3. Свет распространяется аналогично звуку.

Из трёх перечисленных вами вариантов - второй

А у Л-Л, например, совершенно иная точка зрения (Л-Л, т. 2, гл. 1, § 1, стр. 16.):

Цитата:

поскольку точка B движется (относительно системы K) навстречу посланному в нее сигналу, а точка C – по направлению от сигнала (посланного из A в C), то в системе K сигнал придет в точку B раньше, чем в точку C.

Вполне логично.

Someone в сообщении #458652 писал(а):

В СТО - второй вариант.

Свет в СТО не распространяется. Свет распространяется в пространстве, а преобразования Лоренца объясняют, каким именно образом регистрируемая скорость света является константой, благодаря эффектам СТО.
В «плоском» 3-х мерном пространстве вспышка света образует сферу, распространяющуюся в пространстве со скоростью $c$. И этой сфере глубоко безразлично, движутся ли какие-либо ИСО навстречу фронту света, либо от него, либо в произвольном направлении.
Потому полагаю, что возникающие при движении эффекты СТО могут воздействовать только на сами движущиеся объекты таким образом, что обнаружить при измерениях собственную скорость относительно скорости распространения фронта света от вспышки, невозможно, т.к. и регистрируемая скорость света всегда получается $c$.
Таким образом, ничто нам не мешает построить трехмерную модель распространения вспышки света относительно движущегося объекта, скажем, на примере небезызвестного поезда Эйнштейна в изложении Ландау-Румера (Ландау и Румер «Что такое теория относительности» изд. 3, 1975 г. стр. 38 и 62.), а заодно и рассмотреть процесс синхронизации часов в переднем и заднем вагонах движущегося поезда.


Длина покоящейся платформы составляет $L=18$ св. сек., относительно которой движется поезд длиной $L'=18$ св. сек. со скоростью $V=0,8c$ при коэффициенте сокращений $K=0,6$. Вспышка света происходит в середине поезда $X'=0$ напротив здания станции $X=0$, при этом таймер на здании станции и таймер в среднем вагоне поезда сброшены в ноль. В соответствии в точкой положения в собственной ИСО, таймеры автоматически при получении сигнала фотоэлементом, синхронизируют собственные часы с часами в середине поезда. Показания часов в переднем $X'=9$ и заднем вагонах $X'=-9$ пока неопределенны и будут синхронизироваться по мере прохождения света от вспышки.

Зеленый прямоугольник символизирует покоящуюся платформу. Поскольку платформа покоится, все часы на ней синхронизированы, а их показания отображаются над рисунком. Красный прямоугольник символизирует движущийся поезд:




Несложно подсчитать, что действительно, конец заднего вагона встретится с фронтом света от вспышки в точке $X=-3$, а начало переднего вагона противоположный фронт света догонит в точке $X=27$.

В предложенной модели со всей наглядностью продемонстрировано, из-за чего происходит именно такая рассинхронизация часов в движущейся ИСО, которая описывается формулой $\Delta T'=VX'$.

[EEater]

С.Мальцев в сообщении #459084 писал(а):

из-за чего происходит именно такая рассинхронизация часов в движущейся ИСО

Рассинхронизация с чем?
Вообще ужОс. Некоторым вредно читать научные книжки.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #459084 писал(а):

А у Л-Л, например, совершенно иная точка зрения

Теория - это не "точки зрения" авторов учебников. И Л-Л, разумеется, прекрасно знают ровно то же, что написал я. Ищите ошибку у себя (это всегда полезно).

С.Мальцев в сообщении #459084 писал(а):

Л-Л, т. 2, гл. 1, § 1, стр. 16.

Эта цитата не противоречит тому, что я написал.

С остальным возиться лень... Лошадь можно привести к водопою, но нельзя заставить её пить...

[С.Мальцев]

EEater в сообщении #459118 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #459084 писал(а):

из-за чего происходит именно такая рассинхронизация часов в движущейся ИСО

Рассинхронизация с чем?
Вообще ужОс. Некоторым вредно читать научные книжки.

Точно ужОс. Некоторые вообще их не читают. И не только книги. В этой теме (здесь) данный вопрос уже обсуждался. Точно – не читатель.

Munin в сообщении #459126 писал(а):

Ищите ошибку у себя

Искать ошибку, которой нет? Уж проще найти некоторые недоработки в теории.

Проверяем с помощью формул преобразований «из рамочки» (в индексах $v_1$ – передний вагон, $v_0$ – средний вагон, $v_{-1}$ – задний вагон):



$X=\frac{X'+VT'}{\sqrt{1-V^2}}$

$X_{v_0}=\frac{0+0,8\cdot1,8}{\sqrt{1-0,8^2}}=2,4$

$X_{v_{-1}}'=\frac{-9+0,8\cdot9}{\sqrt{1-0,8^2}}=-3$


$T'=\frac{T-VX}{\sqrt{1-V^2}}$

$T_{v_0}'=\frac{3-0,8\cdot2,4}{\sqrt{1-0,8^2}}=1,8$

$T_{v_1}'=\frac{3-0,8\cdot-3}{\sqrt{1-0,8^2}}=9$




$X=\frac{X'+VT'}{\sqrt{1-V^2}}$

$X_{v_1}'=\frac{9+0,8\cdot9}{\sqrt{1-0,8^2}}=27$

$X_{v_0}=\frac{0+0,8\cdot16,2}{\sqrt{1-0,8^2}}=21,6$

$X_{v_{-1}}'=\frac{-9+0,8\cdot23,4}{\sqrt{1-0,8^2}}=16,2$


$T'=\frac{T-VX}{\sqrt{1-V^2}}$

$T_{v_1}'=\frac{27-0,8\cdot27}{\sqrt{1-0,8^2}}=9$

$T_{v_0}'=\frac{27-0,8\cdot21,6}{\sqrt{1-0,8^2}}=16,2$

$T_{v_{-1}}'=\frac{27-0,8\cdot16,2}{\sqrt{1-0,8^2}}=23,4$

Всё верно, вот только одна закавыка – хорошо в формулы преобразований подставлять уже известные значения. А вот для вычисления этих значений, необходимы несколько иные формулы.

[vvb]

С.Мальцев в сообщении #459370 писал(а):

Искать ошибку, которой нет? Уж проще найти некоторые недоработки в теории.

А почему вы не используете пространственно-временные диаграммы?
На ваших графиках вообще нет оси времени, которая в СТО играет такую же роль, как и пространственные оси. Вы лучше ненужную ось Y на время замените.

[Someone]

С.Мальцев в сообщении #459084 писал(а):

Munin в сообщении #458657 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #458626 писал(а):

В моем представлении, всё упирается в распространение света. И выбор тут невелик:
1. Баллистическое распространение Ритца.
2. Каким-то непостижимым образом свет действительно распространяется равномерно во всех направлениях в каждой из ИСО.
3. Свет распространяется аналогично звуку.

Из трёх перечисленных вами вариантов - второй

А у Л-Л, например, совершенно иная точка зрения (Л-Л, т. 2, гл. 1, § 1, стр. 16.):

Цитата:

поскольку точка B движется (относительно системы K) навстречу посланному в нее сигналу, а точка C – по направлению от сигнала (посланного из A в C), то в системе K сигнал придет в точку B раньше, чем в точку C.

Вполне логично.

Да, конечно, поскольку свет в ИСО $K$ распространяется изотропно, то в точку $B$ он придёт раньше, чем в $C$. Это как раз следует из пункта 2. Почему это противоречит пункту 2? (Кстати, что значит "равномерно"? Есть стандартный термин: "изотропно".)

С.Мальцев в сообщении #459084 писал(а):

Someone в сообщении #458652 писал(а):

В СТО - второй вариант.

Свет в СТО не распространяется. Свет распространяется в пространстве

А я где-то писал, что свет распространяется не в пространстве, а в СТО?
Кстати, мой текст был чуть длиннее:

Someone в сообщении #458652 писал(а):

В СТО - второй вариант. Но вообще, это зависит от определённого выбора координат.

При другом способе синхронизации часов изотропии скорости света не будет.

С.Мальцев в сообщении #459084 писал(а):

В «плоском» 3-х мерном пространстве вспышка света образует сферу, распространяющуюся в пространстве со скоростью $c$. И этой сфере глубоко безразлично, движутся ли какие-либо ИСО навстречу фронту света, либо от него, либо в произвольном направлении.

Сфера не распространяется, распространяется свет. А сфера расширяется. То, что Вы пишете - это банальность. Но я просил Вас проделать некое упражнение с уравнением сферы. Где оно?

С.Мальцев в сообщении #459084 писал(а):

Свет распространяется в пространстве, а преобразования Лоренца объясняют, каким именно образом регистрируемая скорость света является константой, благодаря эффектам СТО.
...
Потому полагаю, что возникающие при движении эффекты СТО могут воздействовать только на сами движущиеся объекты таким образом, что обнаружить при измерениях собственную скорость относительно скорости распространения фронта света от вспышки, невозможно, т.к. и регистрируемая скорость света всегда получается $c$.

Извините, но Ваше мнение противоречит принципу относительности, который как раз утверждает, что никакие "эффекты СТО" на движущиеся объекты не действуют. Все эти "эффекты" обнаруживаются только в "неподвижной" ИСО, а в движущейся вместе с объектом ничего обнаружить невозможно. То есть, все эти "эффекты" можно рассматривать как чисто кинематические явления.

С.Мальцев в сообщении #459084 писал(а):

Таким образом, ничто нам не мешает построить трехмерную модель распространения вспышки света относительно движущегося объекта, скажем, на примере небезызвестного поезда Эйнштейна в изложении Ландау-Румера (Ландау и Румер «Что такое теория относительности» изд. 3, 1975 г. стр. 38 и 62.), а заодно и рассмотреть процесс синхронизации часов в переднем и заднем вагонах движущегося поезда.
...
В предложенной модели со всей наглядностью продемонстрировано, из-за чего происходит именно такая рассинхронизация часов в движущейся ИСО, которая описывается формулой $\Delta T'=VX'$.

EEater в сообщении #459118 писал(а):

Рассинхронизация с чем?

С.Мальцев в сообщении #459370 писал(а):

В этой теме (здесь) данный вопрос уже обсуждался.

Извините, но в цитатах из учебника, которые Вы привели, термин "рассинхронизация" не употребляется. Речь идёт о том, что часы, синхронизированные в одной ИСО, не синхронны с часами, синхронизированными в другой ИСО. Но этого никто и не добивался. Однако в каждой ИСО часы остаются синхронными. Поэтому употребление термина "рассинхронизация" здесь бессмысленно.

-- Сб июн 18, 2011 14:48:53 --

С.Мальцев в сообщении #459370 писал(а):

Всё верно, вот только одна закавыка – хорошо в формулы преобразований подставлять уже известные значения. А вот для вычисления этих значений, необходимы несколько иные формулы.

Не понял. Берём координаты события в одной системе координат, подставляем в формулы преобразования координат (в данном случае - преобразование Лоренца), получаем координаты того же события в другой системе координат. Никаких "других формул" не требуется.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #459370 писал(а):

Искать ошибку, которой нет? Уж проще найти некоторые недоработки в теории.

"Найти" - проще. Найти - нет. А что у вас ошибки нет, вы зря уверены.

vvb в сообщении #459382 писал(а):

А почему вы не используете пространственно-временные диаграммы?

Потому что не умеет, и не соображает, насколько это необходимо.

[С.Мальцев]

vvb в сообщении #459382 писал(а):

Вы лучше ненужную ось Y на время замените.

Ну, Вам-то она может быть и ни к чему, а нам ось $Y$ еще очень даже понадобится для рассмотрения общего случая движения относительно распространения света от вспышки, произошедшей в точке совпадения начал координат. Пока рассматривается самый простенький вариант.

Someone в сообщении #459425 писал(а):

Берём координаты события в одной системе координат, подставляем в формулы преобразования координат (в данном случае - преобразование Лоренца), получаем координаты того же события в другой системе координат. Никаких "других формул" не требуется.

Да? Вы часом не оракул или, скажем, не ясновидящий, чтобы без предварительных расчетов знать, например, что показывают часы в заднем вагоне поезда в момент синхронизации часов переднего вагона? Или, скажем, в какой именно точке координат покоящейся ИСО произойдет встреча заднего вагона с началом координат встречной ИСО? Всё же, некоторые предварительные расчеты необходимы.

Итак, для начальных расчетов, необходимы формулы расчета времени, прошедшего в покоящейся ИСО S с момента вспышки до встречи фронта света с соответствующими движущимися часами. Для чего используем хорошо знакомые из классической механики формулы, только слегка модифицированные. Задаем скорость $V$ при $C=1$ и координату часов $X'$ в движущейся ИСО S', которые необходимо синхронизировать с часами, находящимися в начале координат ИСО S'.
Для встречного движения используем формулу:

$$T = \frac{\Delta X'\sqrt{1-V^2}}{C+V}$$

и для сопутствующего движения:

$$T = \frac{\Delta X'\sqrt{1-V^2}}{C-V}$$

либо, соответственно (в данном случае, координата $X'$ при возведении в квадрат избавляется от отрицательного знака):

$$T = \frac{ \sqrt{X'^2-V^2X'^2}}{1+V}$$

$$T = \frac{ \sqrt{X'^2-V^2X'^2}}{1-V}$$

(При расчетах, связанных со сложением скоростей различных ИСО, скорость света $C$ заменяется на $V''$, как и для вычисления разности скоростей при $V'<V''$. В противном случае, при $V'>V''$, в знаменателе подставляется выражение $V'-V''$.)

Теперь, зная время $T$ и координату $X'$, находим показания часов $T '$, находящихся в точке $X'$:

$$T'=T\sqrt{1-V^2}-VX'$$

находим соответствующую координату $X$ в покоящейся ИСО S:

$$X=X'\sqrt{1-V^2}+VT$$

и получаем все необходимые координаты.

Как видим, в данном случае, действительно «рабочими» формулами являются формулы, обратные тем, которые «в рамочках», хотя, возможно, при решении каких-то конкретных задач, формулы «в рамочках» могут быть и востребованы, как, впрочем, и остальные обратные им формулы:

$$T=T'\sqrt{1-V^2}+VX$$

$$X'=X\sqrt{1-V^2}-VT'$$

Тем не менее, для расчетов движения в направлении положительных значений оси $X$, вполне хватает и «рабочих» формул.


Прошу пока дополнительные вопросы не задавать, на уже полученные – отвечу чуть позже.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #459484 писал(а):

Ну, Вам-то она может быть и ни к чему, а нам ось $Y$ еще очень даже понадобится

Проблема в том, что вам ось $T$ "ни к чему", а она уже понадобилась.

С.Мальцев в сообщении #459484 писал(а):

Вы часом не оракул или, скажем, не ясновидящий, чтобы без предварительных расчетов знать, например, что показывают часы в заднем вагоне поезда в момент синхронизации часов переднего вагона?

Для этого не надо быть оракулом, достаточно элементарную геометрию СТО знать. Но вы этого изучать не хотите...

[Someone]

С.Мальцев в сообщении #459484 писал(а):

Да? Вы часом не оракул или, скажем, не ясновидящий, чтобы без предварительных расчетов знать, например, что показывают часы в заднем вагоне поезда в момент синхронизации часов переднего вагона?

Вы что? Какая "синхронизация часов переднего вагона"? Если системы отсчёта заданы, значит, все часы в каждой системе уже синхронизированы как нужно. И мне не нужно знать, "что показывают часы в заднем вагоне". Я сижу на перроне и все приборы у меня там же. Я измеряю координаты нужных мне "вагонов" в нужные мне моменты времени и, если мне это понадобится, с помощью преобразования Лоренца вычисляю соответствующие координаты и показания часов в системе отсчёта, связанной с поездом. Пассажир поезда может поступить точно так же: измерить все нужные координаты и показания часов в своей системе отсчёта и по формулам Лоренца рассчитать координаты и показания часов в системе отсчёта перрона. Никаких "несколько иных формул" не требуется. Преобразования Лоренца в этом смысле самодостаточны: если мы знаем все пространственно-временные координаты в одной системе отсчёта, то можем вычислить пространственно-временные координаты в другой системе отсчёта. Преобразования Лоренца именно для этого и предназначены.