Бесконечность простых чисел-близнецов

[vorvalm]

Спасибо за исправление опечатки.
В своем сообщении я хотел показать механизм образования таких разностей
около близнецов, а для доказательства их существования среди простых чисел
потребуется теорема (не очень сложная).

[vorvalm]

Прежде всего надо показать, что группы вычетов $nM(p_{r-1})\pm(1, p_r)$ существуют в любой ПСВ($p_r \#$).
Для этого ее необходимо представить в форме:(подробности здесь же.стр.4)
$D[4]=\{0, p_r-1, p_r+1, 2p_r\}$
Проходимость группы $K(p)$ надо проверить только по модулю $p=3$. (подробности здесь)
Модули сравнений вычетов группы. Числитель-модули, знаменатель-их число.
$(p_r-1)/2,\;(p_r+1)/2,\;2p_r/1,\;2/1.$
Т.к. $p_r$ из классов $6n\pm 1,$ то в любом случае $m(3)=2,\;K(3)=1$ и группа существует в любой ПСВ.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #607928 писал(а):

Прежде всего надо показать, что группы вычетов $nM(p_{r-1})\pm(1, p_r)$ существуют в любой ПСВ($p_r \#$).

Но это не достаточно для доказательства теоремы.

[vorvalm]

Существование таких групп в ПСВ является необходимым условием того, что
эти группы есть среди простых чисел.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #607952 писал(а):

Существование таких групп в ПСВ является необходимым условием того, что
эти группы есть среди простых чисел.

Да, но не достаточным!

[vorvalm]

Совершенно верно. Для полного доказательства существования указанных групп среди простых чисел потребуется некоторое время.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #608013 писал(а):

Совершенно верно. Для полного доказательства существования указанных групп среди простых чисел потребуется некоторое время.

Наверно потребуется доказательство не только существование указанных групп среди простых чисел, но и доказательство, что других нет, т.е. единственности этих групп среди простых чисел.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #608047 писал(а):

Наверно потребуется доказательство не только существование указанных групп среди простых чисел, но и доказательство, что других нет, т.е. единственности этих групп среди простых чисел.

Извините, не понял, каких других?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #608122 писал(а):

Извините, не понял, каких других?

У которых расстояние между простыми числами и близнецами отлично от $p_{r+1}-1$.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #608142 писал(а):

У которых расстояние между простыми числами и близнецами отлично от $p_{r+1}-1$.

А вы можете привести реальный пример?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #608144 писал(а):

vicvolf в сообщении #608142 писал(а):

У которых расстояние между простыми числами и близнецами отлично от $p_{r+1}-1$.

А вы можете привести реальный пример?

Т.е. вы хотите сказать,что рядом с близнецами всегда простые числа расположены симметрично и расстояние между ними и близнецами -$p_{r+1}-1$?

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #608165 писал(а):

Т.е. вы хотите сказать,что рядом с близнецами всегда простые числа расположены симметрично и расстояние между ними и близнецами $p_{r+1}-1$?

Нет, этого я не хочу сказать. Если рассматривать группу вычетов ПСВ,
состоящую из 4-х вычетов, два из которых - близнецы в центре группы,
то остальные вычеты могут быть расположены несимметрично.
Мы пока рассматриваем симметричный случай.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #606979 писал(а):

В ПСВ на стыках $nM(p_r)$ вычеты $nM(p_r)\pm 1$ могут быть простыми, но разности (пробелы) равны $(p_{r+1}-1).$
Примеры.
ПСВ(210), $2M(30)\pm (1, 7)=(53,59,61,59).$
ПСВ(2310) $5M(210)\pm(1, 11)=(1039,1049,1051,1061)$ и т.д.

Таких близнецов очень мало среди вычетов ПСВ вида $nM(p_r)\pm 1$, тем более их мало среди всех близнецов. Вот Вы привели только 2 примера соеди простых чисел до 1061.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #608289 писал(а):

Таких близнецов очень мало среди вычетов ПСВ вида $nM(p_r)\pm 1$ , тем более их мало среди всех близнецов. Вот Вы привели только 2 примера соеди простых чисел до 1061.

Вообще-то число указанных групп в ПСВ можно вычислить абсолютно точно.

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #608300 писал(а):

Вообще-то число указанных групп в ПСВ можно вычислить абсолютно точно.

Например, число групп вычетов в ПСВ с разностями (4, 2, 4) равно
$2\varphi_4(M)=2\prod_5^{p_r}(p-4)$ при $M>6,\;M=p_r\#.$
Число групп с разностями (6, 2, 6) равно
$4\varphi_4(M)=4\prod_5^{p_r}(p-4)$ при $M>30.$
Число групп с большими разностями определяется сложнее.