Обратная задача теоретической физики..

[PSP]

Известно, что через лагранжиан

$$L$$

выражается импульс и энергия:

$$P^2=\left({\sum_i \frac{\partial L}{\partial \vec {v_i}}\right)}^2;E= \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}v_i-L$$

В СТО известно ,что

$$E^2-c^2P^2=(mc^2)^2$$

,иначе

$$F(E,P)=const.$$

Задача: если известна функция

$$F(E,P)=const.$$

, то можно ли найти

$$L$$

?
Можно и по другому: если известен только гамильтониан, можно ли найти соответствующий лагранжиан?

[Котофеич]

Вы неправильно ставите обратную задачу. Ваша задача имеет бесконечно много
решений.

[PSP]

Котофеич писал(а):

Ваша задача имеет бесконечно много
решений.

Не спорю. Возможно. Но как найти конкретно хотя бы одно такое решение?! Можно ли придумать путь?

Добавлено спустя 24 минуты 39 секунд:

Котофеич писал(а):

Вы неправильно ставите обратную задачу.

Кстати, а как ,по Вашему, надо правильно поставить обратную задачу ?

[Котофеич]

Как поставить Сформулируйте чего Вы хотите, на физическом языке. Например
была проблема построения лагранжиана по уравнениям движения. Так давно решена.
В Вашем случае надо задать что то как функции скоростей и решить соответствующую линейную
систему уравнений в частных производных.

[Артур0007]

Я могу ошибаться но для квадрата импульса формула не верна.

[Котофеич]

Артур0007 писал(а):

Я могу ошибаться но для квадрата импульса формула не верна.

Нет Вы не ошибаетесь. Но там скорее всего описка

[PSP]

Котофеич писал(а):

Артур0007 писал(а):

Я могу ошибаться но для квадрата импульса формула не верна.

Нет Вы не ошибаетесь. Но там скорее всего описка

Это где? Будьте любезны, ткните туда меня ... Чегой - то не врублюсь..

[LynxGAV]

$P^2={\left(\sum_i \frac{\partial L}{\partial \vec {v_i}}\right)}^2$

[Аурелиано Буэндиа]

PSP писал(а):

Известно, что через лагранжиан

$$L$$

выражается импульс и энергия:

$$P^2=\sum_i(\frac{\partial L}{\partial v_i})^2 ; E= \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}v_i-L$$

В СТО известно ,что

$$E^2-c^2P^2=(mc^2)^2$$

,иначе

$$F(E,P)=const.$$

Задача: если известна функция

$$F(E,P)=const.$$

, то можно ли найти

$$L$$

?

Пусть у Вас есть $F(E,p)=0$.
Интегрируем дифур

$$ F(xf'(x)-f,f'(x))=0 $$

относительно функции $f(x)$ и строим лагранжиан

$$ L=f(v). $$

[Котофеич]

А как насчет лоренц-инвариантности Потом я так и не понял что хочет PSP

[PSP]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Пусть у Вас есть $F(E,p)=0$.
Интегрируем дифур

$$ F(xf'(x)-f,f'(x))=0 $$

относительно функции $f(x)$ и строим лагранжиан

$$ L=f(v). $$

Привет ,уважаемые коллеги! Аурелиано Буэндиа, я так и сделал, как Вы посоветовали, и в результате возникла необходимость решить дифференциальное уравнение первого порядка, попытался с помощью Мапла, но он почему-то очень долго его считает, и никак не сосчитает. Вот код Мапла:

> restart; ode1 := (x^2*K2^2+x^2*K3)*diff(y(x),x)^6+(-2*x*y(x)*K3-2*x*y(x)*K2^2)*diff(y(x),x)^5+(-K*K3+y(x)^2*K2^2+y(x)^2*K3-K*K2^2-2*x^2*K2)*diff(y(x),x)^4+4*diff(y(x),x)^3*x*y(x)*K2+(-2*y(x)^2*K2-c^2+2*K*K2+x^2)*diff(y(x),x)^2-2*diff(y(x),x)*x*y(x)+y(x)^2-K; ans1 := dsolve(ode1);

У меня 8-я версия. Может , у кого – нибудь комп помощнее или Мапл получше? Или я что-то не так делаю? Если кто может, помогите!
Кстати, оно решается при K2=0 и K3 = 0, получается классический лагранжиан СТО, плюс ещё один изуверский ответ..

Добавлено спустя 3 минуты 24 секунды:

Котофеич писал(а):

А как насчет лоренц-инвариантности

Лоренц-инвариантность обобщается..

Добавлено спустя 3 минуты 44 секунды:

Котофеич писал(а):

Потом я так и не понял что хочет PSP

А что именно конкретно хотите понять?
По этой теме : просто мне известен гамильтониан, хочу по нему лагранжиан найти.. Ещё что?

Добавлено спустя 4 минуты 11 секунд:

LynxGAV писал(а):

$P^2={\left(\sum_i \frac{\partial L}{\partial \vec {v_i}}\right)}^2$

СПАСИБО!

[PSP]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

PSP писал(а):

Известно, что через лагранжиан

$$L$$

выражается импульс и энергия:

$$P^2=\sum_i(\frac{\partial L}{\partial v_i})^2 ; E= \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}v_i-L$$

В СТО известно ,что

$$E^2-c^2P^2=(mc^2)^2$$

,иначе

$$F(E,P)=const.$$

Задача: если известна функция

$$F(E,P)=const.$$

, то можно ли найти

$$L$$

?

Пусть у Вас есть $F(E,p)=0$.
Интегрируем дифур

$$ F(xf'(x)-f,f'(x))=0 $$

относительно функции $f(x)$ и строим лагранжиан

$$ L=f(v). $$

Я так посмотрел, моё уравнение вроде можно решить с помощью касательного
преобразования Лежандра. Никогда им не пользовался. Может, у кого есть опыт и примеры его использования для решения дифуров, хотя бы первого порядка?

[Аурелиано Буэндиа]

PSP писал(а):

Аурелиано Буэндиа, я так и сделал, как Вы посоветовали, и в результате возникла необходимость решить дифференциальное уравнение первого порядка...

А Вы можете написать свою функцию $F(E,p)=0$? .. очень сложно понять откуда у Вас такое злобное уравнение получилось. Напишите, тогда сразу будет ясно есть ли другой, более простой способ.

[Котофеич]

Явный вид уравнения $F(E,p)=0$ имеется в работах по квантовой гравитации. Разумеется такие новые уравнения для массовой поверхности получают не из
элементарных соображений, а из теории квантовых групп
arXiv:hep-th/0204245 v1 29 Apr 2002
Типовой вид уравнения для массовой поверхности, можно прямо отсюда взять.
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0207003
формула 2.16.

[Аурелиано Буэндиа]

PSP писал(а):

Я так посмотрел, моё уравнение вроде можно решить с помощью касательного
преобразования Лежандра. Никогда им не пользовался

Для того чтобы перейти к лагранжевому формализму можно использовать одно уравнение Гамильтона ($\dot{x}=\nabla_p E,\ \ x\in R^3,\ \ p\in R^3$) и уравнение для $L=p\dot{x}-E$. По-сути это и есть преобразование Лежандра.
Например, если у Вас

$$ E^2-p^2=m^2 $$

то

$$ \dot{x}=\nabla_p E=\frac{p}{\sqrt{m^2+p^2}} \ \Rightarrow \ \ p=\frac{m\dot{x}}{\sqrt{1-\dot{x}^2}} $$

тогда сразу получаем, что

$$ L=\frac{m\dot{x}^2}{\sqrt{1-\dot{x}^2}}-\frac{m}{\sqrt{1-\dot{x}^2}} = -m\sqrt{1-\dot{x}^2} $$

Думаю, в случае очень хитрой зависимости $F(E,p)=0$ будет сложно разрешить $p=p(\dot{x})$ в явном виде. Если это уравнение окажется неразрешимым в общем случае, то единственное на что можно будет надеяться это на разрешимость каких-то частных случаев, при фиксированном значении параметров.