Что Вас потрясло в математике?

[Gagarin1968]

Профессор Снэйп в сообщении #427890 писал(а):

Что Вас потрясло в математике?

Уравнение Эйлера (или тождество?) $e^{i\pi}+1=0$.
На втором курсе я был этим ошарашен. Как? Три величины, две из них трансцендентные, одна мнимая единица - и связываются вместе с миром арифметики, с целыми числами.
Удивление осталось до сих пор.

[Aritaborian]

Gagarin1968 в сообщении #1226727 писал(а):

На втором курсе я был этим ошарашен.

Как-то поздновато на втором курсе этим ошарашиваться.

Gagarin1968 в сообщении #1226727 писал(а):

Удивление осталось до сих пор.

Ну а это вообще зря. Если это тождество не является для вас очевидным, вы ничего не смыслите в математике. (Слова не мои, цитирую не то Гильберта, не то Римана, лень искать.)

[Mikhail_K]

Aritaborian в сообщении #1226728 писал(а):

Как-то поздновато на втором курсе этим ошарашиваться.

Да нет, в самый раз.

Aritaborian в сообщении #1226728 писал(а):

Ну а это вообще зря. Если это тождество не является для вас очевидным

Неочевидность и удивительность - разные вещи.

[Aritaborian]

Mikhail_K в сообщении #1226730 писал(а):

Да нет, в самый раз.

Конечно, стоило бы уточнить, на втором курсе чего именно.

Mikhail_K в сообщении #1226730 писал(а):

Неочевидность и удивительность - разные вещи.

Здесь можно завести долгий спор о смысле слов и о том, какого рода удивление испытывает до сих пор Gagarin1968. Удивление, больше похожее на недоумение или больше похожее на восхищение?

-- 18.06.2017, 12:08 --

Aritaborian в сообщении #1226728 писал(а):

(Слова не мои, цитирую не то Гильберта, не то Римана, лень искать.)

Вспоминая, был близок, но не совсем. Дербишир приписывает это Гауссу.

[Sender]

Aritaborian в сообщении #1226728 писал(а):

Ну а это вообще зря. Если это тождество не является для вас очевидным, вы ничего не смыслите в математике.

Боюсь, тут наберётся не так уж много хоть сколько-нибудь смыслящих в математике. Если принять за меру неочевидности утверждения количество шагов, необходимых для его доказательства, к примеру, в системе metamath, начиная от аксиом, можно сказать следующее:
В доказательстве используется 6425 различных лемм, общее число элементарных шагов в доказательстве составляет 147171. Максимальная глубина доказательства равна 241.
Вот ссылка на само утверждение: http://us.metamath.org/mpegif/eulerid.html

[Gagarin1968]

Aritaborian в сообщении #1226728 писал(а):

Как-то поздновато на втором курсе этим ошарашиваться.

Aritaborian в сообщении #1226728 писал(а):

Если это тождество не является для вас очевидным, вы ничего не смыслите в математике.

Aritaborian
Вас, очевидно, уже ничего удивить не может. А жаль. Взгляните-ка сюда: https://books.google.co.il/books?id=GvS ... &q&f=false.
Прочтите слова вступления. (Т.е. не само вступление, а только эпиграф). Эти слова написал профессор математики Стэнфордского университета Кейт Девлин.
Я не профессор, но удивление моё осталось.
Примите и пр.

[grizzly]

Aritaborian в сообщении #1226737 писал(а):

Вспоминая, был близок, но не совсем. Дербишир приписывает это Гауссу
.

Нет! Вы были бесконечно далеки от цитаты Дербишира! Там речь шла о "первоклассных математиках", а не о тех, кто "что-то смыслит в математике". Тем самым, Вы вашу грубость, заносчивость и ЧСВ приписали Дербиширу с Гауссом, нарочно не дав точную ссылку на цитату, а только на обложку книги (почему?!).

[worm2]

Бегло посмотрел на это доказательство, нашёл определение, на которое оно опирается:
http://us.metamath.org/mpegif/df-cos.html.
Понятное дело, что с синусом похожая фигня.
$\pi$ определяется как минимальное положительное число, для которого синус равен 0: http://us.metamath.org/mpegif/df-pi.html.
Ловко! С такими определениями всё становится тривиально.

[Aritaborian]

Gagarin1968 в сообщении #1226752 писал(а):

Вас, очевидно, уже ничего удивить не может.

Неправда.

Gagarin1968 в сообщении #1226752 писал(а):

Прочтите слова вступления. (Т.е. не само вступление, а только эпиграф). Эти слова написал профессор математики Стэнфордского университета Кейт Девлин.

Замечательный человек; регулярно читаю его блог. Gagarin1968, я повторюсь: формула Эйлера меня совершенно не удивляет сейчас, как удивила, разумеется, когда-то. Но восхищаться ею я, безусловно, не перестал. Повторюсь: мы придаём слову «удивляться» разные смыслы, ну что ж тут поделаешь, увы.

[arseniiv]

Gagarin1968 в сообщении #1226727 писал(а):

Удивление осталось до сих пор.

Зря. Это простое следствие формулы Эйлера $\exp ix = \cos x + i\sin x$, и его вообще можно спокойно воспринимать как определение тригонометрических функций. «Урезанная» же формула Эйлера никакого особого значения не имеет (да поправят меня). Утверждение о $2\pi i$-периодичности экспоненты и то полезнее.

[arseniiv]

Узнал, что можно взять гауссовский шум и отфильтровать из него только частоты, лежащие на некоторой окружности (или кольце, я брал гауссово в радиальном направлении размытые кольца). В техническом приближении (заполняем квадратик из пикселей гауссовским шумом, фурьим, умножаем на маску в виде окружности, дефурьим) выглядит занимательно [пример 800×800, 1,2 MiB] [пример 2000×2000, 7,4 MiB].

Кто-нибудь знает, делали ли с этим что-то и есть ли связь с крупномасштабной структурой Вселенной? (Как писал когда-то давно Бёрке*, когда был жив, но ссылок не оставил.)

* Хотя он писал просто про космологию, а не конкретно крупномасштабное распределение вещества. А ещё по ссылке можно прочитать, что

Цитата:

The long range order is interesting and not explained.

— это так до сих пор?

[fronnya]

Буду далеко не первым, кого поразили комплексные числа. Что их можно представлять как самые обычные двумерные векторы (вычитал у Морса и Фешбаха). Конечно, до представления обычными векторами можно было и самому додуматься, но я даже и не задумывался об этом ранее. Вот, что меня удивило: пусть $f=u+iv$ и $g=x+iy$, тогда если ввести векторы $\mathbf{f}=(u,v,0)$ и $\mathbf{g}=(x,y,0)$, то произведение $\overline{f}$ на $g$ содержит в себе скалярное и векторное произведение этих векторов: $\overline{f}g=\mathbf{fg}+i(\mathbf{f}\times\mathbf{g})_3$.
Далее ещё более офигенная вещь, следующая отсюда: если оператор набла чисто формально записать будто бы в базисе $(1,i,0)$, то есть $\nabla=\frac{\partial}{\partial{x}}+i\frac{\partial}{\partial{y}}$ и представлять $g=u(x,y)+iv(x,y)$ как векторное поле, то произведение $\overline{\nabla}$ на $g$ как произведение комплексных чисел, где $\overline{\nabla}$ - комплексно сопряженный к $\nabla$ оператор, содержит в себе всю информацию о векторном поле, то есть его дивергенцию и ротор: $\overline{\nabla}g=\nabla\cdot\mathbf{g}+i(\nabla\times\mathbf{g})_3$, где $\mathbf{g}=(u,v,0)$, $\nabla=(\frac{\partial}{\partial{x}},\frac{\partial}{\partial{y}},0)$. Да простят меня математики за такую нестрогость. Я уверен, что можно это дело описать и более строго.
Удивило ещё, что интегральную теорему Коши можно считать перефразировкой электростатической теоремы Гаусса в терминах аналитических функций.

[arseniiv]

С кватернионами похожая картина (исторически скалярное и векторное произведение векторов оттуда и выделили). А дело, видимо, стоит приписывать тому, что это алгебры Клиффорда, откуда и связь со скалярным и внешним произведениями векторов. Внешнее произведение можно связать с векторным в трёхмерном пространстве и т. н. псевдоскалярным в двумерном (это вот как раз та третья компонента при погружении, как вы описали).

-- Вт фев 06, 2018 20:01:05 --

(Только там может быть лучше рассматривать не алгебры $C\ell_{0,1}(\mathbb R)\simeq\mathbb C$ и $C\ell_{0,2}(\mathbb R)\simeq\mathbb H$, а чётные подалгебры $C\ell^0_{2,0}(\mathbb R)\simeq\mathbb C$ и $C\ell^0_{3,0}(\mathbb R)\simeq\mathbb H$.)

[fronnya]

arseniiv в сообщении #1290610 писал(а):

(Только там может быть лучше рассматривать не алгебры $C\ell_{0,1}(\mathbb R)\simeq\mathbb C$ и $C\ell_{0,2}(\mathbb R)\simeq\mathbb H$, а чётные подалгебры $C\ell^0_{2,0}(\mathbb R)\simeq\mathbb C$ и $C\ell^0_{3,0}(\mathbb R)\simeq\mathbb H$.)

я ничего не понял, но это круто

[arseniiv]

Там на самом деле всё просто, но объяснять долго.