Что Вас потрясло в математике?

[Ktina]

Потрясло, помимо всего прочего, то, что путём перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить любую наперёд заданную сумму. На мой взгляд, удивительной красотой обладает сей математический факт. В школе нас учили (и даже заставляли несколько раз подряд произнести вслух), что от перестановки слагаемых сумма не изменяется. А теперь вдруг оказывается, что в школе нам промывали мозги.

[arseniiv]

Ну нет, сумма ряда — это не сумма. Сумма — это функция $\sum$ конечного мультимножества элементов абелевой группы (для каждой группы своя, конечно) такая, что $\sum(A+B) = \sum A + \sum B$ и $\sum\{a\} = a$, где первое вхождение $+$ — сложение мультимножеств (кратности элементов слагаемых складываются). И тут независимость значения от перестановки учтена изначально (из разных перечислений слагаемых получится одно и то же мультимножество). С не сходящимися абсолютно рядами такое проделать (сняв ограничение на конечность) как раз не получится.

[Someone]

Ktina в сообщении #1316794 писал(а):

В школе нас учили (и даже заставляли несколько раз подряд произнести вслух), что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

В школе мы изучаем арифметику, а в арифметике это верно. И, заметьте, нет никаких рядов и вообще сумм бесконечного множества чисел.

А числовые ряды далеко выходят за пределы арифметики.

[Mihr]

Someone в сообщении #1316823 писал(а):

В школе мы изучаем арифметику, а в арифметике это верно. И, заметьте, нет никаких рядов и вообще сумм бесконечного множества чисел.

За единственным исключением. Формула для суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии в школе даётся. Хотя само понятие "ряд" при этом старательно обходится. Правда, убывающая геометрическая прогрессия - абсолютно сходящийся ряд, так что коммутативность сложения сохраняется и здесь.

[Someone]

Mihr в сообщении #1316887 писал(а):

Формула для суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии в школе даётся.

Вообще-то, я выразился неточно. Речь идёт не об арифметике, а об элементарной алгебре. Определить в ней сумму бесконечного числа слагаемых нельзя. В любом варианте такого определения требуется понятие сходимости. А школьная математика вовсе не ограничивается арифметикой и элементарной алгеброй.

[Ktina]

Сегодня меня потрясло, что в веб-дизайне, которым я в эти дни интенсивно увлекаюсь, используются кривые Безье. Это так здорово и красиво! И можно "играться" с параметрами, сколько захочешь, создавая удивительные движения. А раньше-то мне казалось, что под кривыми Безье имеются в виду кривые без $e$

[arseniiv]

Кривые Безье как раз в основном используются лишь в компьютерной графике (но притом не исключительно они, есть куча других хороших сплайнов). И результаты о них — можно сказать, все вызваны приложениями. (Если кому-то нужно работать с ними много и экстенсивно, вот замечательная страница-книга A Primer on Bézier Curves.) И поведение кривых Безье часто именно что неинтуитивно. Так что, ну, сочувствую: если даже они удивляют…

[Aritaborian]

Пользоваться, например, B-сплайнами не в пример удобнее.

[EvgenyNechaev]

То, что для любого нечетного числа выполняется $A^{2^{n-1}}$ $\equiv$ $1$ $\mod 2^n$

[Ktina]

Оказывается, если во втором замечательном пределе заменить бесконечность на «минус бесконечность», всё равно получится $e$. Вроде бы ничего особенного, но как-то контринтуитивно, что ли...

[Gagarin1968]

Ktina в сообщении #1336279 писал(а):

Оказывается, если во втором замечательном пределе заменить бесконечность на «минус бесконечность», всё равно получится $e$

Ktina
Так это ж элементарно. Ещё на первом курсе универа обратил внимание на это:

$\displaystyle \large \lim _{n\to -\infty}\left (1+\frac {1}{n}\right)^n=\lim _{n\to \infty}\left (1+\frac {1}{-n}\right)^{-n}=\lim _{n\to \infty} \frac {1}{\left (1-\frac {1}{n}\right )^n}=\frac{1}{\frac{1}{e}}=e$.

Но да, Вы правы, сначала удивился.

[RIP]

Вообще-то, второй замечательный предел — это $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$. Здесь $x\to\infty$ означает $\lvert x\rvert\to+\infty$, то есть случай «минус бесконечность» является частью второго замечательного.

[Dmitriy40]

RIP в сообщении #1336350 писал(а):

Здесь $x\to\infty$ означает $\lvert x\rvert\to+\infty$,

Вот уж нет, это только плюс можно опускать и сокращать запись $x \to +\infty$ до $x \to \infty$, минус никогда не подразумевается и сокращать запись $x \to -\infty$ до $x \to \infty$ нельзя, как и любой знак, тогда надо писать прямо $x \to \pm \infty$.

[RIP]

Dmitriy40 в сообщении #1336351 писал(а):

Вот уж нет, это только плюс можно опускать и сокращать запись $x \to +\infty$ до $x \to \infty$

Не согласен. По-хорошему, запись $x\to\infty$ — это синоним именно для $x\to\pm\infty$. Использование её в смысле $x\to+\infty$ — это небрежность тех, кто так делает.

На всякий случай открыл док-во второго замечательного предела в Зориче. Там доказываются два равенства: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$. Из этого делается вывод, что $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$. Думаю, что и в других учебниках так же (но проверять лень).

[eugensk]

Dmitriy40 в сообщении #1336351 писал(а):

Вот уж нет, это только плюс можно опускать и сокращать запись $x \to +\infty$ до $x \to \infty$, минус никогда не подразумевается и сокращать запись $x \to -\infty$ до $x \to \infty$ нельзя, как и любой знак, тогда надо писать прямо $x \to \pm \infty$.

В моём любимом Зориче это нет так, $x \to \infty$ означает $|x| \to +\infty$ (например Глава 3 § 2 п.3 b) Предел функции по базе)
----
А, уже написали о Зориче, но пусть будет еще одна отсылка.